遮談立體幾何教學(xué)中哲學(xué)認(rèn)識觀的融入

沈良

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展是與哲學(xué)緊密相連的，哲學(xué)作為一切運(yùn)動最普遍規(guī)律的學(xué)科，滲透到數(shù)學(xué)發(fā)展的各個階段和各個領(lǐng)域.同時，數(shù)學(xué)作為一門經(jīng)典科學(xué)，其理論的產(chǎn)生、發(fā)展與完善又很好闡釋了哲學(xué)的各理論.數(shù)學(xué)教學(xué)中需要從哲學(xué)的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，從哲學(xué)的角度探討數(shù)學(xué)中的辯證思想：自覺地滲透辯證的思維方法、辯證的認(rèn)識論，從而有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，更好地理解先人發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷程與艱難，并進(jìn)而更有助于開拓學(xué)生視角、優(yōu)化學(xué)生思維.

何以需要把哲學(xué)認(rèn)識觀融入立體幾何的教學(xué)中，究其因，一方面，哲學(xué)認(rèn)識觀給數(shù)學(xué)教學(xué)送來了獲得智慧的經(jīng)驗(yàn)與方法，能高屋建瓴的認(rèn)識立體幾何，給統(tǒng)領(lǐng)立體幾何教學(xué)的觀點(diǎn)、方法與思想帶來了一個高度；另一方面，立體幾何中諸多的知識與方法素材更是詮釋哲學(xué)思想、哲學(xué)認(rèn)識論的良好契機(jī)，如空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題、幾何關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的互化都昭示了事物的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化.本文結(jié)合實(shí)際，從四個方面談?wù)勅绾卧诹Ⅲw幾何教學(xué)中融入哲學(xué)認(rèn)識觀.

1 對立與統(tǒng)一地認(rèn)識問題

唯物主義哲學(xué)告訴我們，對立統(tǒng)一規(guī)律是辯證法的實(shí)質(zhì)與核心.唯物辯證法認(rèn)為，事物聯(lián)系的根本內(nèi)容就是互相區(qū)別、相互對立的矛盾雙方之間的聯(lián)系.用這個觀點(diǎn)考查立體幾何就容易發(fā)現(xiàn)，在立體幾何中，處處都存在著典型的、深刻的矛盾辯證法.空間由點(diǎn)、線（直線與曲線）、面（平面與曲面）、體元素構(gòu)成，點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體，從這個角度上說，這四者體現(xiàn)的是部分與整體的關(guān)系.當(dāng)我們在具體判斷這些元素位置關(guān)系時，它們卻是對立統(tǒng)一的：線線、線面、面面等位置關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)對立統(tǒng)一之態(tài).

例如，在判斷線面平行時，可以轉(zhuǎn)化為線線平行（線面平行判定定理）思考，抑或可以轉(zhuǎn)化為面面平行（面面平行性質(zhì)）思考.線線平行、線面平行、面面平行既對立又統(tǒng)一.對立體現(xiàn)的是相互的區(qū)別性、統(tǒng)一體現(xiàn)的是相互的聯(lián)系性，這聯(lián)系性展現(xiàn)了“降維”與“升維”的數(shù)學(xué)思想.

例1 如圖1所示，三棱錐ABCD？被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：/ /CD平面EFGH.

評析 本題很好體現(xiàn)了這種辯證統(tǒng)一關(guān)系，要證/ /CD平面EFGH，只要證線線平行，如嘗試證/ /CDGH，而要證/ /CDGH，不妨嘗試證線面平行，即/ /GH平面ACD，而事實(shí)上，由

/ / GHEF知/ /GH平面ACD成立，從而問題得證.

在這樣的例題教學(xué)中，一方面，教師應(yīng)幫助學(xué)生提煉出這些平行關(guān)系轉(zhuǎn)化的內(nèi)在聯(lián)系；另一方面，教師應(yīng)有意識培養(yǎng)學(xué)生從辯證統(tǒng)一的視角思考問題，需讓學(xué)生充分感悟：要證線面平行，可證線線平行；而要證線線平行，可證線面平行……環(huán)環(huán)相扣、緊緊相連、對立統(tǒng)一，這也正是哲學(xué)世界蘊(yùn)涵的大智慧.

2 具體到抽象地認(rèn)識問題

辯證唯物主義的認(rèn)識論指出，人們的認(rèn)識過程總是經(jīng)歷了從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程，這個轉(zhuǎn)化過程是產(chǎn)生了由量變到質(zhì)變的飛躍.一定程度上，立體幾何源于生活、源于實(shí)例，呈現(xiàn)出一種具體性；但因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門經(jīng)過高度概括的學(xué)科，呈現(xiàn)在立體幾何內(nèi)容上即是具有高度的抽象性，學(xué)習(xí)上要求學(xué)生具有較好的空間想象能力.所以，立體幾何教學(xué)中我們主張由具體到抽象地認(rèn)識事物.

具體與抽象是相互依存的關(guān)系，具體是抽象的源頭，為抽象提供了一定的基礎(chǔ)；抽象是具體的發(fā)展，為具體提供更高的境界.可以說具體培養(yǎng)的是感性思維，抽象培養(yǎng)的理性思維.古語有云：“皮之不存，毛將焉附”，放之立體幾何教學(xué)上即是問題的探索與研究離不開具體的情景.同時，當(dāng)我們用發(fā)展的觀點(diǎn)看待問題時，就要求在具體情景中去尋求隱含的、內(nèi)在的、本質(zhì)的、抽象的一般性聯(lián)系與特征.而這個具體到抽象過程的實(shí)現(xiàn)，可以通過模型展示、實(shí)驗(yàn)操作等方法，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、感知、判斷、猜想、歸納、證明等操作過程與思維過程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)具體到抽象、感性到理性的飛躍.

例2 如圖2，正方形ABCD的邊長為a，請設(shè)計三條虛線，沿虛線翻折后，形成側(cè)面為三個直角三角形，底面為等腰三角形的三棱錐.設(shè)三棱錐頂點(diǎn)

記為E點(diǎn).（1）試畫出這三條虛線，并找出這個三棱錐中互相垂直的面；（2）求該三棱錐的體積.

評析 在這樣的例題教學(xué)中，倘若學(xué)生因缺乏空間想象感而陷入困境，不妨花點(diǎn)時間讓學(xué)生去動動手、折折紙，從體驗(yàn)中去感悟運(yùn)動中包含不變關(guān)系（特別指一些垂直關(guān)系的不變性），從體驗(yàn)中去培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

當(dāng)然，這里可能還會有另外一種觀點(diǎn)：對于高中學(xué)生我們需要培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，要求學(xué)生具有較好的空間想象能力和抽象思維能力，而一味的折紙、一味的操作、一味的淺層次思維可能會影響學(xué)生這些能力的培養(yǎng).顯然，這種觀點(diǎn)也不無道理.所以，筆者在此特指的是在立體幾何入門教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的空間感應(yīng)是一個循序漸進(jìn)的過程，思維需要逐步深刻，倘若，操之過急勢必物極必反.待學(xué)生有一定空間想象能力之后，再力求深層思維更佳.

3 歸納與類比地認(rèn)識問題

歸納法與類比法是人們認(rèn)識事物的最基本方法之一，它們既是一種思維形式，也是一種推理方法，它們在人們認(rèn)識和改造客觀世界的活動中具有重要意義，正如數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：數(shù)學(xué)本身賴以獲得真理的重要手段就是歸納和類比.立體幾何中，歸納與類比同樣是獲得新知、認(rèn)識新問題的好方法.

類比法在立體幾何教學(xué)中，體現(xiàn)出來的是局部與整體相結(jié)合的教學(xué)方法.例如，在線面平行、面面平行的教學(xué)中，整個框架的展開為：由線面平行判定定理至線面平行性質(zhì)定理，再類比到面面平行判定定理至面面平行性質(zhì)定理，這是一個“平行的局部世界”；但我們不妨將這個“局部世界”類比推廣開去，即在開展線面垂直、面面垂直的教學(xué)中，也是由判定定理的學(xué)習(xí)到性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，這是“垂直的局部世界”，而這兩個局部世界構(gòu)成了“判定與性質(zhì)這個整體世界”.再比如，在空間角的學(xué)習(xí)中，即是由線線角、線面角再至面面角，從“一維角”類比到“二維角”的學(xué)習(xí)，而后再整體思考時可以發(fā)現(xiàn)這些角的本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化為線線角.

歸納法在立體幾何教學(xué)中，體現(xiàn)出來的是特殊與一般地關(guān)系，往往通過對特殊位置的研究可以歸納猜想出一般位置的情況.

立體教學(xué)中，運(yùn)用歸納與類比的方法認(rèn)識立體幾何問題，有助于學(xué)生抓住整個立體幾何的線索、理清知識展開的脈絡(luò)、把握知識推理的關(guān)系，進(jìn)而能培養(yǎng)學(xué)生從一定的高度認(rèn)識問題、分析問題、解決問題，達(dá)到一覽眾山小的境界.

4 簡單到復(fù)雜地認(rèn)識問題

事物的發(fā)展往往是由簡單到復(fù)雜，所謂“一生二，二生三，三生萬物”即是如此；而復(fù)雜之后人們又在不斷追求著簡單，所謂“大道至簡”便是體現(xiàn).簡單中蘊(yùn)含了事物的簡練性、樸素性，復(fù)雜中蘊(yùn)含了事物的發(fā)展性、整合性.立體幾何教學(xué)中，同樣需要滲透由簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生能循序漸進(jìn)的認(rèn)識事物，而簡單到復(fù)雜的終極目標(biāo)該是為了使學(xué)生能從復(fù)雜背景中把握簡單地本質(zhì)，從復(fù)雜中發(fā)現(xiàn)簡單地方法要領(lǐng)，也即“深入淺出”.

那么，如何在立幾教學(xué)中展開深入淺出的教學(xué)呢？立足于立體幾何結(jié)構(gòu)的特征，可以通過變式教學(xué)等方式對立體幾何結(jié)構(gòu)的由簡單到復(fù)雜的進(jìn)行變化與呈現(xiàn)，從而去發(fā)現(xiàn)復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含的簡單本質(zhì)與一般性方法.

例3 在人教版必修二中有這樣的一個探究題：如圖3，已知PA⊥平面ABC，且BCAB⊥，問圖中有哪些平面互相垂直？

本題的結(jié)構(gòu)形式在立體幾何中是一種經(jīng)典模式，很多的問題都是以此為素材建構(gòu)，所以，教學(xué)中，教師可以對此結(jié)構(gòu)進(jìn)行挖掘拓展延伸.如：

評析 本例通過對課本探究的改造使用，由簡單到復(fù)雜地去認(rèn)識空間結(jié)構(gòu)圖，既能明白事物發(fā)展的源起，又能把握事物的本質(zhì).這也正是變式教學(xué)的魅力所在，在變中尋求不變性，在變中尋求發(fā)展性.

5 總結(jié)與反思

唯物主義哲學(xué)觀是一種大智慧，既有科學(xué)的世界觀、價值觀，又有具體的方法論，它對數(shù)學(xué)教學(xué)有著非常重要的指導(dǎo)作用.而哲學(xué)地認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，從哲學(xué)認(rèn)識觀展開數(shù)學(xué)教學(xué)，其內(nèi)涵也非常豐富，不僅包含了本文所探討的一些觀點(diǎn)，還包括許多經(jīng)典的思想方法.比如，從有限到無限地領(lǐng)略數(shù)學(xué)神奇，從量變到質(zhì)變地體驗(yàn)數(shù)學(xué)變化，從靜態(tài)到動態(tài)地感悟數(shù)學(xué)規(guī)律，等等，這需要我們不斷實(shí)踐摸索.

融入哲學(xué)認(rèn)識觀，既指一些具體的操作，如實(shí)驗(yàn)的方法、變式的教學(xué)等；也指一些哲學(xué)的智慧，如辯證統(tǒng)一的思想；更指哲學(xué)觀下的數(shù)學(xué)思想方法，如歸納、類比、轉(zhuǎn)化的方法等.教學(xué)中，教師需要站在哲學(xué)的高度認(rèn)識數(shù)學(xué)，需要適度地從哲學(xué)角度闡釋數(shù)學(xué)、開展教學(xué)，從而使學(xué)生也能高屋建瓴的看待數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題.

立體幾何的認(rèn)識源于人們對其“形”、“度量”與“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)知，意在通過研究這些問題來認(rèn)識自然、適應(yīng)自然、改造自然，這展現(xiàn)了一種樸素的哲學(xué)認(rèn)識觀.這種樸素的認(rèn)識觀對今日立體幾何教學(xué)依然有十分重要的導(dǎo)向作用，它依然展示著無窮魅力，值得我們?nèi)?shí)踐創(chuàng)新.