善用數(shù)學(xué)歸納法 巧證數(shù)列綜合題

陳光穎

【摘要】本文主要是探討如何巧用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合題型，以替代傳統(tǒng)的復(fù)雜證明方法，并且探討如何運用數(shù)學(xué)歸納法證明看似不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合題型，從而使更多同學(xué)能從容面對這類復(fù)雜的證明問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 不等式證明

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）05-0137-02

美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會在2000年修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時，主張數(shù)學(xué)教育宜強調(diào)平等的原則，每一位學(xué)生的潛力都應(yīng)該獲得相當(dāng)?shù)闹匾暎瑢τ趯W(xué)生有所不足時，要給予補救教學(xué)。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題的證明往往是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，很多的證明方法無從下手且難以運用，從而使眾多學(xué)生對該類題型產(chǎn)生了負(fù)面情緒，甚至對這類證明題產(chǎn)生排斥的態(tài)度。

數(shù)學(xué)歸納法——這種用以證明當(dāng)n屬于所有自然數(shù)時一個表達(dá)式的成立的證明方法，卻能以其獨有的特點能讓大多數(shù)學(xué)生容易接受并正確運用。近些年來，數(shù)學(xué)歸納法在高中的數(shù)學(xué)教材中不僅占據(jù)著非常重要的地位，同時也是高考中不可或缺的一種解題方法。所以探討如何正確使用數(shù)學(xué)歸納法并擴大數(shù)學(xué)歸納法的使用范疇，便有著重要的意義了。

下面我們先來看一個試題：

已知數(shù)列{an}的通項an=3n-1（n∈N*），且數(shù)列{bn}滿足an（2bn-1）=1，并記Tn為{bn}的前n項和，求證：3Tn+1>log2（an+3），n∈N*。

一般資料提供的常用的證明方法或用比較法以結(jié)合數(shù)列的增減性，或用放縮法對其進行證明。這些方法雖然是不等式證明中的重要方法，然而掌握起來并不輕松，尤其在考試中很難輕易運用。

其實，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)被證明的結(jié)論最簡化的形式為“f（n）>g（n）”，便應(yīng)該想到運用數(shù)學(xué)歸納法。因為數(shù)學(xué)歸納法不僅可以減少思考時間，而且由其固定程式，可使解題變得輕松。以下我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明該題。

不難發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明該題，不僅不需要復(fù)雜的思維過程，甚至連運算也變得機械化，只需按照固定的程式按部就班地進行證明便可得到完美的結(jié)果。

數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)于數(shù)列與不等式的部分綜合題型固然是簡單易行，但在以往，我們總覺得它有很多涉及不到的地方。下面我們以《2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷》的壓軸題為例：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和Sn=■an-■×2n+1+■，n=1，2，3…

①求首項a1與通項an；

②設(shè)Tn=■，n=1，2，3…證明：■Ti<■。

其解題方法讀者可以參照《2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷》標(biāo)準(zhǔn)答案，事實上，很多學(xué)生在證明該題的過程中，一般會得到Tn=■=■而很難得到Tn=■=■×■的形式，從而無法用裂項的辦法來處理這個求和的問題。此時，我們是否也能用數(shù)學(xué)歸納法對這類命題進行論證呢？

我們由題中的不等式■Ti<■（n∈N*）不難看出，由于不等式的左邊從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)換過程中數(shù)值在增大，而不等式的右邊卻是一個常數(shù)，所以即使假設(shè)n=k時，不等式成立，也無法證明n=k+1時不等式仍然成立。也就是說一般的形如f（n）

我們知道，數(shù)學(xué)歸納法是使用數(shù)學(xué)歸納法原理，經(jīng)由演繹以證明一些由特例所推導(dǎo)出來的數(shù)學(xué)敘述的證明方法（朱綺鴻，1999）。在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)中，若能顧及到“觀察、歸納、臆測、證明”而安排先歸納出結(jié)果再以數(shù)學(xué)歸納法證明之，而不是讓學(xué)生只做證明題的敘述恒為真而已，那將能融入歸納與演繹互相支持與互補的精神。

就以上論述，下面我們觀察■■Ti，并計算該數(shù)列的前幾項：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們可以猜想出■Ti=■（1-■）<■，因為■（1-■）<■，所以我們只需證明■Ti=■（1-■）成立，就能得到結(jié)論成立。下面我們就用數(shù)學(xué)歸納法對猜想的結(jié)果進行證明，證明如下：

以上證明的過程是通過觀察、歸納并猜想出其求和，從而輕松地運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的一個實例。在很大程度上可操作性變得更強，也是大多學(xué)生能夠接受的一種解題辦法。

所以當(dāng)我們很好地運用數(shù)學(xué)歸納法，合理地顧及到“觀察、歸納、臆測、證明”而安排先歸納出結(jié)果再以數(shù)學(xué)歸納法證明，這對于證明數(shù)列與不等式的綜合題型是有著非常重要意義的。

參考文獻：

[1]陳建蒼、柳賢主 《數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)之探究》

[2]朱綺鴻《高中師生對數(shù)學(xué)歸納法了解的情況與教學(xué)因應(yīng)之道》