星敏感器星點能量分布數(shù)學模型及其對精度的影響分析*

高精度乃至甚高精度星敏感器作為目前精度最高的姿態(tài)敏感器[1-2]，被廣泛應用于當今航天器中，其測量精度直接決定航天器姿態(tài)角測量精度、光軸指向精度和系統(tǒng)的噪聲等效角.而星敏感器的測量精度主要是由單星測量精度[3]決定的，這不僅與硬件特性(如視場、像元數(shù)目等)有關，更取決于質(zhì)心提取的算法.可以說星點的提取算法是星敏感器整體精度的基礎[4].因此研究高精度星敏感器星點提取算法是高精度星敏感器提高性能的關鍵技術途徑，而為了優(yōu)化和驗證星點提取算法的精度，不能把星點能量分布假設得太理想，需要建立貼近實際的星點能量分布模型.

目前星敏感器研究者在研究分析星點提取算法時通常都采用高斯能量分布表示理想情況下星點能量分布函數(shù)，但是未見該假設的出處、合理性、對于星點提取精度的影響程度以及是否適用于要求甚高精度的星敏感器等的充分論證，也很少見有文獻按照實際采樣特點建立光電轉(zhuǎn)換后的星點能量分布模型，而大多是直接采用高斯能量分布.而模型建立的準確性直接關系到精度分析的準確性，因此有必要對此進行研究.

本文首先論證高斯能量分布的合理性；再根據(jù)光電采樣信號放大特點和去噪聲通常處理方法提出兩種典型的經(jīng)過光電轉(zhuǎn)換處理后的星點能量分布數(shù)學模型，并對其進行精度仿真分析，經(jīng)過比較，探索模型的合理性和對星點提取精度的影響.

1 理想星點能量高斯分布假設驗證

對星敏感器而言，恒星可以視為無限遠點光源，因此理論上星敏感器成像即為無限遠點光源光學成像系統(tǒng)，其感光單元即為光學成像系統(tǒng)的焦平面.理想情況下，星敏感器成像可以等同于夫瑯和費圓孔衍射.例如，對于零視場夫瑯和費圓形孔衍射，感光平面上P點的光強分布公式[5]為

(1)

由于式(1)的形式較為復雜，所以星敏感器研究者一般將星點能量分布函數(shù)近似為高斯函數(shù)，即假設星點能量分布函數(shù)I滿足高斯分布[4]

(2)

其中，(x,y)為像面上P點的坐標，(xc,yc)為高斯能量分布中心位置坐標，σ為高斯半徑，表示能量的集中程度.

可見(1)和(2)顯然不同.雖然高斯能量分布假設被廣泛用于分析質(zhì)心提取算法中，但尚未見有文獻對該假設的合理性及可用性進行明確地分析論證.

為此，將式(2)化成類似式(1)的形式，即令r2=(x-xc)2+(y-yc)2，有

(3)

根據(jù)高斯半徑的含義，即能量大部分集中在距中心3σ內(nèi)，則可以理解為3σ對應夫瑯和費圓孔衍射能量分布的第一極小值點1.22π，有

則式(3)化為

(4)

式(1)與式(4)相減有

ΔI=|I(P)-I(x,y)|.

對其求導后可知ΔI在z=1.2σ處有最大值0.0516I0.可見，式(1)與式(4)的形式相似，存在較小系數(shù)差別.雖然從理論上進一步證明二者完全等效較為困難，但由于二者的最大誤差值較小，且最大值點唯一，因此用高斯能量分布代替夫瑯和費圓孔衍射能量分布存在可行性.兩種分布表達式的接近程度將在下文通過仿真進行驗證.

2 去噪后星點能量分布數(shù)學模型研究

由于光電轉(zhuǎn)換過程中以及后續(xù)的星圖去噪預處理過程都會改變原有星點能量分布形式，因此在建立星點能量分布進行精度仿真分析時需要考慮這種影響因素，本節(jié)將就常見的兩種情況進行研究.

2.1 線性轉(zhuǎn)換去噪后的星點能量分布數(shù)學模型

首先分析線性光電轉(zhuǎn)換，即敏感器輸出電壓與光強成正比時對噪聲進行預處理的情況.通常的去噪預處理是采用閾值方法，即把低于閾值的能量值記為零，其函數(shù)為

2.2 非線性轉(zhuǎn)換后的星點能量分布數(shù)學模型

由于受探測器特性限定，并非所有的星敏感器在光電轉(zhuǎn)換過程中都是線性放大的；但是較少有文獻考慮存在非線性放大的情況，而這種情況會使亮星輸出飽和，因此有必要對其進行研究.兩種典型的非線性放大示意圖如圖 1所示.其中左圖中的Q1、Q2為兩次轉(zhuǎn)折點，放大倍率兩次變小.右圖為放大倍率成對數(shù)變小.這樣高斯能量分布函數(shù)的頂部將會被削弱.

圖1 非線性放大示意圖

這里取一種極限情況，即將兩種非線性放大簡化為不考慮Q1，只取Q2的折線放大.此時建立的無噪聲情況下的非線性光電轉(zhuǎn)換星點能量分布數(shù)學模型為

由于實際星敏感器一定存在噪聲，所以需要對其進行去噪處理，則有非線性光電轉(zhuǎn)換與去噪預處理后的星點能量分布數(shù)學模型為

其中b>c，否則光斑將不存在.定義該模型為高斯頂?shù)拙シ植寄Ｐ?

3 仿真分析

為了得到高斯能量分布假設與夫瑯和費圓孔衍射能量分布的接近程度、基于高斯去底分布模型的星點噪聲去除屬性、高斯頂?shù)拙シ植寄Ｐ偷男屈c噪聲去除屬性和飽和屬性以及對于星點提取精度影響特性，下面進行仿真分析.

3.1 高斯分布模型的合理性仿真驗證

為了進一步驗證星點能量高斯分布模型的合理性，在理想情況下，對高斯能量分布與夫瑯和費圓孔衍射能量分布進行仿真對比.為了仿真方便，對式(1)修改如下：

取能量分布中心所在像元中心為坐標原點，即xc=yc=0進行仿真.兩種能量分布剖面對比如圖2所示,其中I′=I/I0.

圖2 高斯能量分布與夫瑯和費圓孔衍射能量分布剖面對比圖

用原始加權(quán)質(zhì)心法分別對兩種能量分布進行仿真，計算星點質(zhì)心位置，進而計算兩種能量分布對質(zhì)心提取誤差的影響.

原始加權(quán)質(zhì)心法質(zhì)心計算公式為

其中δx、δy分別為x、y方向質(zhì)心提取誤差.

由于兩種能量分布的光斑都是圓形，因此其x方向與y方向質(zhì)心提取誤差對稱.所以可以只研究x方向的星點質(zhì)心提取誤差.

定義δg為高斯能量分布質(zhì)心提取誤差，δf為夫瑯和費圓孔衍射能量分布質(zhì)心提取誤差，其相對質(zhì)心提取誤差為

δgf=|δg|-|δf|

其含義為同等條件下，δgf>0時，高斯能量分布的質(zhì)心提取誤差較大；δgf<0時，夫瑯和費圓孔衍射能量分布的質(zhì)心提取誤差較大；δgf=0時，兩種能量分布的質(zhì)心提取誤差相當.后面幾種相對誤差含義均與該相對誤差含義相似.

不同高斯半徑時兩種能量分布的質(zhì)心提取誤差隨能量分布中心位置的變化關系如圖3所示，其相對誤差隨能量分布中心位置的變化關系如圖4所示.

圖3 δg與δf對比圖

圖4 δgf隨能量分布中心位置變化的關系

由圖2～4可知，在理想情況下，高斯能量分布與夫瑯和費圓孔衍射能量分布不僅在能量分布形式上基本相似，而且在不同高斯半徑，質(zhì)心提取誤差隨能量分布中心位置的變化關系也相似，且相對誤差較少，所以用高斯能量分布表示理想星點能量分布函數(shù)是合理的.但是當高斯半徑小于0.7時，該假設會使質(zhì)心提取誤差相對增大，最大相對誤差約為0.01像元.高斯半徑大于0.7時，該假設可以使質(zhì)心提取誤差相對減小.因此高斯能量分布假設在精度要求一般的情況下完全適用于表示理想星點能量分布，而在精度要求甚高時，只適用于大高斯半徑的情況.

3.2 仿真分析高斯去底分布模型

由于高斯去底模型在選擇合適的去底率時可以將噪聲剔除，所以在仿真中不再加入噪聲，認為去底率均大于閾值，只分析該模型質(zhì)心提取精度是否能高于無噪聲情況下未進行星圖預處理時高斯能量分布的質(zhì)心提取精度.

定義δd為高斯去底能量分布質(zhì)心提取誤差，高斯能量分布與高斯去底能量分布的相對質(zhì)心提取誤差為

δgd=|δg|-|δd|

在3像元窗口下，取xc=-0.25，利用原始加權(quán)質(zhì)心法分別對理想高斯能量分布和高斯去底能量分布進行質(zhì)心提取，當σ為0.3～1.0時，其相對質(zhì)心提取誤差隨去底率的變化關系如圖 5所示.

圖5 δgd隨去底率變化的關系

由圖 5可知在一定去底率內(nèi)，相同條件下，高斯去底能量分布的質(zhì)心提取精度要高于高斯能量分布的質(zhì)心提取精度，且隨著高斯半徑的增大，可用去底率(即δgd>0時的最大去底率)逐漸增大，可提高質(zhì)心提取精度程度增大.但是在高斯半徑較小時，只能小幅度提高質(zhì)心提取精度，且可用去底率很小.當高斯半徑大于0.6后可以有效地減小質(zhì)心提取誤差.所以該模型在不同高斯半徑、不同信噪比下選擇不同的去底率時，可以提高質(zhì)心提取精度.

該模型在一定去底率的情況下，可以很好地提高質(zhì)心提取精度的原因是星點能量模型底部的灰度值較為分散.在窗口固定的情況下，采用去底處理之后可以使能量更為集中，使得窗口邊緣的像元灰度值比例變大，可以有效降低質(zhì)心向像元中心偏離的現(xiàn)象.但是當高斯半徑較小時，由于星點光斑不能覆蓋整個窗口，去底后使得可用像元數(shù)減少，因此，不能使用較大的去底率.也就是說對于實際系統(tǒng)，當高斯半徑較小時，對信噪比較低的星點，不能在去除噪聲的同時提高質(zhì)心提取精度；當高斯半徑較大時，二者可以同時滿足.

3.3 仿真分析高斯頂?shù)拙シ植寄Ｐ?/h3>

首先對無噪聲情況下，高斯去頂模型進行仿真分析，以確定非線性放大是否有利于提高提取精度.

定義δq為高斯去頂能量分布質(zhì)心提取誤差，高斯能量分布與高斯去頂能量分布的相對質(zhì)心提取誤差為

δgq=|δg|-|δq|

在3像元窗口下，取xc=-0.25，利用原始加權(quán)質(zhì)心法分別對理想高斯能量分布與高斯去頂能量分布進行質(zhì)心提取，當σ為0.3～1.0時，其相對質(zhì)心提取誤差隨去頂率的變化關系如圖 6所示.

圖6 δgq隨去頂率變化的關系

由圖 6可知，理想情況下，高斯去頂模型的質(zhì)心提取精度隨著去頂率的增大先變大，再變小.隨著高斯半徑增大，可用去頂率(即δgq>0時的最大去頂率)逐漸變小.當高斯半徑增大到1之后可用去頂率幾乎為零.

該模型在高斯半徑較小時，可以很好地提高質(zhì)心提取精度的原因是星點能量模型頂部的灰度值相對于附近灰度值過高，使得計算的質(zhì)心向像元中心偏離.進行去頂處理后可以使頂部高灰度更平均，在一定范圍內(nèi)可以有效提高質(zhì)心提取精度.當高斯半徑過大時，頂部能量幾乎水平，去頂處理無效.

因此可以根據(jù)實際情況設計不同去頂率的星敏感器感光器件以提高質(zhì)心提取精度.

定義δj為高斯頂?shù)拙ツ芰糠植假|(zhì)心提取誤差，高斯能量分布與高斯頂?shù)拙ツ芰糠植嫉南鄬|(zhì)心提取誤差為

δgj=|δg|-|δj|

由于3像元窗口在σ=0.45時，用原始質(zhì)心法對高斯能量分布進行質(zhì)心提取，其誤差最小.所以選擇x=-0.25,σ=0.45用原始加權(quán)質(zhì)心法分別對高斯能量分布與不同去頂率、去底率時的高斯頂?shù)拙ツ芰糠植歼M行質(zhì)心提取，其相對誤差如圖7所示.

圖7 δgj隨去底率與去頂率變化的關系

由圖7可知，在噪聲較小時，通過選擇合適的去底率與去頂率，可以有效降低噪聲影響并且提高質(zhì)心提取精度.在噪聲較大時，選擇較大的去底率可以減小噪聲的影響，同時通過選擇合適的去頂率可以避免質(zhì)心提取精度下降過多.

4 結(jié) 論

本文通過研究確認了星點高斯能量分布假設的合理性，為后續(xù)使用高斯能量分布假設提供依據(jù).建立了更接近實際處理過程的高斯去底與高斯頂?shù)拙煞N能量分布數(shù)學模型，并仿真分析了這兩種模型對于星點提取精度的影響程度.仿真所得數(shù)據(jù)可以作為提高星敏感器星點提取算法的改進依據(jù)，同時也可以為設計新型星敏感器提供參考，具有實際參考價值.

參 考 文 獻

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