淺談指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題歸類

程科

【摘要】 數(shù)學(xué)是人類歷史上最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，如果離開(kāi)了數(shù)學(xué)，那么人類社會(huì)的發(fā)展絕對(duì)比現(xiàn)在滯后幾百年。但是數(shù)學(xué)的內(nèi)容繁多龐雜，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)存在著比較大的困難。指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)作為數(shù)學(xué)知識(shí)的重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)候不可避免卻必須克服的障礙。在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生對(duì)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)理解并不透徹，經(jīng)常出現(xiàn)混淆錯(cuò)誤，本文針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)候常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行歸類。

【關(guān)鍵詞】 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 問(wèn)題歸類

【中圖分類號(hào)】 G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962（2013）01（a）-0087-01

1 概念性問(wèn)題

概念是對(duì)一個(gè)知識(shí)性質(zhì)高度的概括，如果對(duì)概念的理解足夠透徹，那么對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)就能有一個(gè)大概的了解，函數(shù)的類型就不再是一個(gè)難以明白的問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明一般學(xué)生在面對(duì)概念性問(wèn)題的類型。

在陜西2010高考時(shí)候有一道題，如下：下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對(duì)任意的X>0，Y>0函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）”的是，對(duì)于結(jié)論我們并不重視，要重視的是學(xué)生面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)候會(huì)犯的錯(cuò)誤。

面對(duì)此類問(wèn)題，只有熟練的掌握對(duì)基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì)之后才會(huì)變得簡(jiǎn)單，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)概念經(jīng)常會(huì)被學(xué)生混淆，所以本來(lái)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題被學(xué)生用復(fù)雜的方式計(jì)算，既浪費(fèi)時(shí)間又增加錯(cuò)誤的幾率。

2 忽略對(duì)底數(shù)的辨別

函數(shù)底數(shù)是一個(gè)重要的概念，對(duì)底數(shù)如何能夠清楚的辨別決定了函數(shù)的正確率高低。

如下：求函數(shù)的值域，學(xué)生面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)候，往往都沒(méi)有考慮指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是，這類型的函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，于是在運(yùn)行不等運(yùn)算的時(shí)候需要將等號(hào)改變方向。這類問(wèn)題其實(shí)很多時(shí)候是細(xì)心就能避免的，面對(duì)此類型的問(wèn)題，主要還是要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目的重視意識(shí)，不能一眼帶過(guò)就斷定結(jié)論。

3 忽視函數(shù)定義域

在2010年廣東文科高考的數(shù)學(xué)題目里面有一個(gè)就是考核學(xué)生對(duì)定義域的了解程度。如下：函數(shù)f（x）=lg（x-1）的定義域是，這道題看起來(lái)雖然是很簡(jiǎn)單，但它是基礎(chǔ)的表現(xiàn)，很多時(shí)候考核不會(huì)直接的對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是以該知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)進(jìn)行展開(kāi)，來(lái)對(duì)其他知識(shí)點(diǎn)的考核。所以定義域的問(wèn)題值得我們的重視。

在應(yīng)對(duì)定義域的時(shí)候，最基本的方法就是抓住對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零的概念進(jìn)行解答。但是在實(shí)際解答的時(shí)候，很多學(xué)生還是會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，主要是誤以為對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)該是大于或者等于零。其實(shí)只要牢牢的記住“零與負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)”這句話，定義域的問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單直接，再也不會(huì)對(duì)學(xué)生造成很大的困擾。

4 忽視指數(shù)值的取值范圍

函數(shù)指數(shù)值是一個(gè)相對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，無(wú)論是學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候還是教師在講課的過(guò)程中，指數(shù)值的問(wèn)題都是一個(gè)很大的困擾。當(dāng)然這也是學(xué)生發(fā)錯(cuò)的頻繁領(lǐng)域，如果對(duì)于指數(shù)值的問(wèn)題不能有效的解決，學(xué)生在函數(shù)領(lǐng)域就始終有所障礙。

如下：現(xiàn)已知道關(guān)于x的方程4x+2x+a=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。面對(duì)這道問(wèn)題，都是先將2x設(shè)為一個(gè)未知數(shù)，在將原方程化為未知數(shù)的方式即t2+t+a=0，若要這個(gè)方程有解，則可以得出a是大于或等于這樣的答案。但是這樣的解答方式卻是因?yàn)楹鲆暳?x的取值范圍，如果推算下去可以得出假設(shè)的未知數(shù)不是任意實(shí)數(shù)的結(jié)論，也就等于走入了一個(gè)誤區(qū)。

指數(shù)值的取值范圍計(jì)算是一個(gè)比較麻煩的過(guò)程，因?yàn)橐紤]到各種情況和結(jié)果，這就要求學(xué)生對(duì)于這個(gè)問(wèn)題需要對(duì)概念有熟悉的理解和運(yùn)用。

5 奇偶性問(wèn)題

指數(shù)函數(shù)跟對(duì)數(shù)函數(shù)本身是屬于非奇非偶函數(shù)，但是他們本身卻是可以通過(guò)跟其他函數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合變成奇函數(shù)或者是偶函數(shù)，這樣的變通可以讓學(xué)生方便解答問(wèn)題。

如下：是一個(gè)奇函數(shù)，問(wèn)其中a的取值為？

這道題考驗(yàn)的就是學(xué)生對(duì)于函數(shù)的奇偶性掌握，如果奇偶的概念熟練掌握的話，這樣的問(wèn)題當(dāng)然不會(huì)難住學(xué)生。這樣的問(wèn)題，關(guān)鍵還是在于對(duì)函數(shù)奇偶性質(zhì)的判斷，如兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)，這個(gè)概念也包含了即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)。奇函數(shù)在x=0處時(shí)函數(shù)值是0。當(dāng)然，如果不運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)來(lái)解開(kāi)問(wèn)題，也可以直接運(yùn)用偶函數(shù)的定義式f（-x）=f（x）來(lái)對(duì)應(yīng)，但是這就要求學(xué)生做題的時(shí)候有足夠的細(xì)心，因?yàn)樵诨?jiǎn)的時(shí)候常常會(huì)因此發(fā)生錯(cuò)誤。

6 變形過(guò)程不等價(jià)

對(duì)等原則是科學(xué)的基本原則，物理里面的基本定律：能量守恒定律，化學(xué)也有相關(guān)的公式，在函數(shù)里面，守恒也是重要的原則，在變形過(guò)程之中，如果兩個(gè)方面不守恒的話，就會(huì)出現(xiàn)荒謬的錯(cuò)誤。

如下：算出的值域。很多學(xué)生在解決這道題的時(shí)候，對(duì)于變形過(guò)程的等價(jià)概念沒(méi)有清楚的把握。大多數(shù)在變形過(guò)程里面，由變形換得，這并不是一個(gè)等價(jià)變換的過(guò)程，而事實(shí)上，應(yīng)該是由變形換得，如果按照前者的變形來(lái)看的話，錯(cuò)解中的范圍就被變大，自然是得不到正確的答案了。

7 結(jié)語(yǔ)

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分，甚至在以后的數(shù)學(xué)知識(shí)里面也占據(jù)著很重要的地位，它的復(fù)雜成份讓學(xué)生對(duì)它的學(xué)習(xí)充滿了困難。老師在講授函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，不能再用傳統(tǒng)的講解方法，而是應(yīng)該積極的思考新的教育思路，讓學(xué)生對(duì)于函數(shù)不再是望而生畏，興趣是教學(xué)最好的推動(dòng)力，如果學(xué)生不能對(duì)函數(shù)的知識(shí)有興趣而只是心存畏懼，那么函數(shù)的教育只能是事倍功半。對(duì)指數(shù)函數(shù)的經(jīng)常錯(cuò)誤問(wèn)題做出歸類，也是方便學(xué)生和老師在學(xué)習(xí)時(shí)候能夠有清晰的思維。

參考文獻(xiàn)

[1] 李清州.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)剖析[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版）2010（7）.

[2] 張由濤.對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)解法例析[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版）2010（7）.