立體式教學(xué)模式的研究與實(shí)踐——以《實(shí)變函數(shù)》課程為例

文 斌 劉春妍 康兆敏

（佳木斯大學(xué)理學(xué)院 黑龍江佳木斯 154007）

目前，高等師范院校大學(xué)生就業(yè)難與用人單位“人才”難覓的悖論促使高等教育工作者不得不深思：如何立足專業(yè)課程體系改革教學(xué)方法、創(chuàng)新教學(xué)模式、適時(shí)更新教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)出適應(yīng)社會(huì)需求的高層次人才。為適應(yīng)大類招生的需要，根據(jù)多年的教學(xué)管理與實(shí)踐，筆者從創(chuàng)新教學(xué)模式入手，在我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)的課程教學(xué)中進(jìn)行大膽的探索與研究，以《實(shí)變函數(shù)》這門公認(rèn)的數(shù)學(xué)專業(yè)課程體系中既難教又難學(xué)的課程為例，通過2005-2008級(jí)等四屆學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐與效果反饋，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其獨(dú)立思考問題、分析問題與解決問題的能力方面有所體悟。

《實(shí)變函數(shù)》是高等院校數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生的一門重要的專業(yè)課程。它是《數(shù)學(xué)分析》的延續(xù)和發(fā)展，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)之一；它的任務(wù)是使學(xué)生掌握近代抽象分析的基本思想，系統(tǒng)掌握Lebesgue測(cè)度與積分理論，著重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力。其中的Lebesgue測(cè)度與積分理論已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者的基礎(chǔ)知識(shí)。然而，由于該課程概念性強(qiáng)、內(nèi)容抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)，在學(xué)術(shù)界一直被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)專業(yè)課程體系中的兼教師難教與學(xué)生難學(xué)為一體的課程之一。

一、立體式教學(xué)模式的涵義

立體式教學(xué)是新形勢(shì)下的一種全新的教學(xué)方式，它是在教學(xué)活動(dòng)中能使學(xué)生的認(rèn)知過程、情感過程和意志過程等得到協(xié)調(diào)發(fā)展的一種教學(xué)方法。立體式教學(xué)模式不僅僅是現(xiàn)代化教學(xué)手段的變革，還是教育觀念的變革，教育理論的變革，對(duì)教育模式和教育體系的改革具有積極的作用。本文的立體式教學(xué)模式是指針對(duì)學(xué)生的情況和所講授課程的內(nèi)容設(shè)計(jì)出立體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，交叉運(yùn)用多種教學(xué)手段和輔助設(shè)備，使學(xué)生有目的、感興趣、自覺地完成問題的發(fā)現(xiàn)和解決，并通過教學(xué)反饋及時(shí)完善的一種教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)“學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)化、資源整合多元化、課程講授多樣化、學(xué)習(xí)支持立體化”。

二、立體式教學(xué)模式的實(shí)踐探索

（一）立體化夯實(shí)課程基礎(chǔ)

通過多媒體課件形象生動(dòng)地展現(xiàn)本門課程創(chuàng)立的主要過程：首先介紹本門課程的起源和主要?jiǎng)?chuàng)始人創(chuàng)立本課程的目的、簡(jiǎn)單過程及其主要成果；同時(shí)建立其與其它課程的聯(lián)系，使學(xué)生了解本課程的研究目的和發(fā)展過程，消除其對(duì)新課的陌生感?！秾?shí)變函數(shù)》是十九世紀(jì)末、二十世紀(jì)初，主要由法國(guó)數(shù)學(xué)家Lebesgue創(chuàng)立的。它是普通微積分學(xué)的繼續(xù)。Lebesgue針對(duì)Riemann可積暴露出的一些不足創(chuàng)立了Lebesgue測(cè)度和積分。Riemann積分的不足主要表現(xiàn)為以下兩個(gè)方面：其一，Riemann意義下可積函數(shù)類太小。只有具有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)或個(gè)別具有可數(shù)多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù) （例如區(qū)間 [0,1]上的 Riemann函數(shù)）是Riemann可積的，而許多形式非常簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如[0,1]上的Dirichlet函數(shù)都不可積這一不足；其二，有些條件過于嚴(yán)格，影響了Riemann積分的實(shí)踐應(yīng)用。例如，積分與極限運(yùn)算交換次序的條件過于嚴(yán)格。在《數(shù)學(xué)分析》中我們知道【2】，要求函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于fn(x)，每一fn(x)都在[a,b]上連續(xù)，才有這樣通過鋪設(shè)問題環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）立體化搭建知識(shí)框架

布魯納總結(jié)出的四個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理，其中關(guān)聯(lián)原理是指應(yīng)把各種概念、原理聯(lián)系起來，在同一的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)。我們首先通過一個(gè)實(shí)例弄清本門課程的研究思路：根據(jù)函數(shù)Riemann積分存在的一個(gè)充要條件，即若函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]上插入分點(diǎn) a=x0＜x1＜ …＜xn-1xn＝b

把[a,b]分成 n 和小區(qū)間[xi-1,xi](i＝1,2…，n)，記

有

可知Dirichlet函數(shù)：

在任意區(qū)間上的振幅，從而對(duì)于積分區(qū)間[0,1]上的任何Riemann定義下的分劃后所求得的振幅和得到此函數(shù)Riemann不可積。究其原因可能是出在Riemann積分中對(duì)于積分區(qū)域的分劃要求過于狹隘。如果根據(jù)Dirichlet函數(shù)在有理點(diǎn)取1，無理點(diǎn)取0這一特點(diǎn)把積分區(qū)間[0,1]簡(jiǎn)單的分劃成兩個(gè)集合：E1={[0,1]上的有理數(shù)}和E2={[0,1]上的無理數(shù)}，則函數(shù)在這兩個(gè)集合上的振幅和就滿足可積的條件了。據(jù)此我們是否可以考慮定義一個(gè)新的積分，通過分劃被積函數(shù)的值域：m=y0＜y1＜…yn-1＜yn＝M，令 Ek=E[yk-1≤f≤yk](k=1,2,…n)則振幅和變成（yk-yk-1）·mEk，其中表示的測(cè)度（現(xiàn)可簡(jiǎn)單理解為一種“長(zhǎng)度”）。由于此時(shí)的不再是簡(jiǎn)單的區(qū)間。這提示我們應(yīng)當(dāng)首先要研究一般集合的性質(zhì)及其何時(shí)存在測(cè)度。這應(yīng)該看成是《實(shí)變函數(shù)》的第一、二部分內(nèi)容——集合論和測(cè)度論（包括集合的測(cè)度和函數(shù)的測(cè)度）。接下來研究滿足什么要求的函數(shù)才可積，即《實(shí)變函數(shù)》的第三部分內(nèi)容——積分論。這三個(gè)板塊都是后者以前者為基礎(chǔ)，環(huán)環(huán)緊扣。以大家熟悉的集合知識(shí)為起點(diǎn)，以我們熟知的Riemann可積函數(shù)為基礎(chǔ)，由淺入深，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）立體化設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)

結(jié)合所講授內(nèi)容的實(shí)際，選定不同的教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐步訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。特別注意以下教學(xué)環(huán)節(jié)的運(yùn)用。

1.重視有助于獨(dú)立思考與合作的自學(xué)

自20世紀(jì)50年代中期以來，數(shù)學(xué)家華羅庚曾多次倡導(dǎo)“要學(xué)會(huì)自學(xué)”、“要學(xué)會(huì)讀書”，他認(rèn)為“學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間，學(xué)會(huì)讀書與學(xué)得必要的專業(yè)知識(shí)是同等重要的。學(xué)會(huì)讀書不但保證我們?cè)谛W(xué)習(xí)好，而且保證我們將來永遠(yuǎn)不斷地提高”。布置自學(xué)內(nèi)容，學(xué)生利用課外時(shí)間研讀和小組內(nèi)討論，最后在課堂上由小組選派代表進(jìn)行講解。講授期間允許提問和討論。通過學(xué)生的講解和討論，充分鍛煉學(xué)生積極思考、發(fā)現(xiàn)問題、獨(dú)立和合作解決問題的能力。

2.引入有助于知識(shí)理解與應(yīng)用的史料

通過多媒體課件展示、提供相關(guān)的網(wǎng)址或鏈接，介紹部分定理或定義的產(chǎn)生背景和耐人尋味的實(shí)際應(yīng)用背景。史料的引入使學(xué)生體會(huì)到《實(shí)變函數(shù)》這門課程在整個(gè)學(xué)科課程體系中的地位和作用，同時(shí)也讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的過程。通過潛移默化的熏陶，啟迪學(xué)生的科學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生探索新知識(shí)的意識(shí)和掌握獨(dú)立解決問題的能力。

3.布置有助于知識(shí)拓展的課后思考題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生受本身知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維定勢(shì)以及知識(shí)點(diǎn)的難易程度、周圍環(huán)境的干擾等因素的影響，對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)可能不能當(dāng)堂領(lǐng)會(huì)。作為課堂教學(xué)的補(bǔ)充與深化，教師有針對(duì)性的布置課后思考題。這樣做既能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握，又能鍛煉學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新能力，同時(shí)對(duì)激發(fā)學(xué)生的求知欲，完成學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)【3】的過程。例如，在研究 Cantor集【4】的基數(shù)（或稱勢(shì)）時(shí)，學(xué)生往往因?yàn)閷?duì)此集合所包含元素了解不夠全面，會(huì)產(chǎn)生只包含分點(diǎn)（k/3n，其中n為正整數(shù)，k為小于3n的某些正整數(shù)）的錯(cuò)覺。讓學(xué)生在課后根據(jù)Cantor集是閉集這一性質(zhì)，設(shè)法找到分點(diǎn)以外的點(diǎn)（如1/4等）。引發(fā)學(xué)生的探索和創(chuàng)造靈感。

4.強(qiáng)化有助于知識(shí)融會(huì)貫通的小結(jié)

在完成一章的學(xué)習(xí)后，要求每一名學(xué)生寫出本章小結(jié)。要求以最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言列出本章所學(xué)到的主要內(nèi)容；用自己的語(yǔ)言說明定理；掌握本章的重點(diǎn)及其與以上章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系。通過學(xué)生自我將本章內(nèi)容化繁為簡(jiǎn)，鍛煉其學(xué)會(huì)動(dòng)腦和動(dòng)手。在全部完成本課程的講授時(shí)，要求學(xué)生根據(jù)每章內(nèi)容之間的關(guān)系繪出一個(gè)交叉網(wǎng)絡(luò)圖，使學(xué)生將全部知識(shí)融會(huì)貫通，減輕學(xué)生期末復(fù)習(xí)的壓力。

三、校驗(yàn)教學(xué)效果

通過教學(xué)反饋可以校驗(yàn)課程的教學(xué)效果，我們通過多種方式、多種途徑對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行全方位收集與分析總結(jié)。

（一）教師可以通過課堂上觀察學(xué)生的身體反應(yīng)（主要是面部反應(yīng)）和提問來了解學(xué)生對(duì)每個(gè)問題的掌握情況。課后及時(shí)將針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)好的教學(xué)手段（或方法）和沒收到預(yù)期效果的知識(shí)點(diǎn)記錄下來，設(shè)法通過以后章節(jié)的教學(xué)彌補(bǔ)不足。

（二）通過定期的調(diào)查問卷及時(shí)掌握教師在每個(gè)章節(jié)教學(xué)進(jìn)度的快慢、學(xué)生的理解程度和學(xué)生自主學(xué)習(xí)遇到的困難。

（三）通過期末考試了解絕大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過本門課程的學(xué)習(xí)后的整體掌握情況和出現(xiàn)問題的知識(shí)點(diǎn)（或章節(jié)）。

（四）考研與工作中，這些第一手材料都是下一輪教學(xué)的重要參考資料，經(jīng)過幾輪的修訂與嘗試不斷完善我們的教學(xué)。

盡管我們對(duì)立體式教學(xué)模式進(jìn)行了初步的實(shí)踐探索與研究，但隨著學(xué)生自身狀況與社會(huì)現(xiàn)實(shí)需求的不斷變化，對(duì)教學(xué)模式的研究也將永無止境。“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江河”，我們將繼續(xù)對(duì)立體式教學(xué)模式進(jìn)行深入研究與推廣，力爭(zhēng)培養(yǎng)出適應(yīng)時(shí)代需求的高層次專業(yè)人才。

[1]周興和，葉惟寅.實(shí)踐中的好課與好課的實(shí)踐，[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，（2）：80-82.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，陳傳璋等.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].高等教育出版社，2004,70-71.

[3]鄭君文，張恩華.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].廣西教育出版社，1996,27-28.

[4]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京大學(xué)出版社，2001,55-57.