一類二維拋物型方程的ADI格式

【摘 要】本文針對一類二維拋物型方程，建立了一個(gè)在空間和時(shí)間方向上均具有二階精度的ADI格式，并分析其穩(wěn)定性. 比較以往算法，此格式具有精度較高，無條件穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，該方法通過求解兩個(gè)線性代數(shù)方程得到原問題的解，避免了非線性迭代運(yùn)算，提高了計(jì)算效率.

【關(guān)鍵詞】二維拋物型方程；ADI格式；穩(wěn)定性；截?cái)嗾`差

1.引言

拋物型偏微分方程在研究熱傳導(dǎo)過程、一些擴(kuò)散現(xiàn)象及電磁場傳播等許多問題中都有廣泛的應(yīng)用，對這一類方程數(shù)值解法的研究一直是科研工作者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越來越多的重視. 考慮如下的初邊值問題[1]：

其中，為常數(shù).

在文獻(xiàn)[1]中對問題（1）建立了差分格式，格式的截?cái)嗾`差階為.本文將在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究問題（1）的高效差分格式，建立了一個(gè)高精度的交替方向隱式差分格式（即ADI格式），提高了時(shí)間方向上的精度，并給出相應(yīng)的穩(wěn)定性分析。

2.差分格式的建立

為了得到問題（1）的有限差分格式，首先將求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，結(jié)點(diǎn)為. 選取正整數(shù)L和N，并令為方向上的網(wǎng)格步長，為方向上的網(wǎng)格步長，記

假定第層的已知，則由第（Ⅰ）步，通過解一個(gè)三對角線性代數(shù)方程組求出，再由第（Ⅱ）步，再解一個(gè)三對角線性代數(shù)方程組即可求出. 所以，只要利用追趕法求解兩個(gè)三對角線性代數(shù)方程組即可，此時(shí)計(jì)算量與儲(chǔ)存量都較小. 另外，在處理邊界條件時(shí)，為了提高精度，采取中心差分，這樣會(huì)出現(xiàn)虛擬值，此時(shí)，只要再與格式中的方程聯(lián)立，即可消去虛擬值[2].

3. 穩(wěn)定性分析

下面采用von Newmann方法[3]對上述D格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析. 一般地，低階項(xiàng)不影響差分格式的穩(wěn)定性，所以不妨略去項(xiàng)，并對（3）、（5）式消去中間變量得：

利用Taylor展開式求誤差，可知此處建立的D格式的截?cái)嗾`差階為.

參考文獻(xiàn)：

[1]管秋琴.一類二維拋物型方程的有限差分格式[J]. 赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）. 2010，26（1）：7.

[2]Richtmyer R D ， Morton KW. Difference methods for initial - value problems （2nd edition） [J ] . John wiley &sons.; 1967.

[3]戴嘉尊，邱建賢. 微分方程數(shù)值解法[M]. 南京：東南大學(xué)出版社 .2002.

作者簡介：

舒阿秀（1977—），女，安徽旌德人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事偏微分方程數(shù)值解的研究。

基金項(xiàng)目：

安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2010A224）；安慶師范學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目（KJ201020）