GPS 高程擬合模型在工程勘測(cè)中的應(yīng)用研究

楊新國(guó)

(中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710053)

1 GPS水準(zhǔn)高程的原理

由于GPS高程所表示的是大地高h(yuǎn)，但是我國(guó)高程系統(tǒng)采用的高程是正高H正高或者是正常高H正常高，這就需要兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到我們所需要的高程值。

上式是大地高與正常高、大地高與正高之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，其中，ζ為高程異常值;N0為大地水準(zhǔn)面之間的差距。

2 GPS水準(zhǔn)擬合常用的方法

目前在區(qū)域較小或者平坦的區(qū)域內(nèi)，GPS擬合的精度有所提高，能夠滿足工程一定精度的需要，但是還是要比相應(yīng)等級(jí)的水準(zhǔn)測(cè)量精度要低很多，如果要更加精確的得到高區(qū)域各GPS點(diǎn)的正高或者是正常高，那就必須獲得各點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面的差距值和各點(diǎn)的高程異常值。

求得各點(diǎn)的高程異常值，經(jīng)GPS測(cè)量得到各點(diǎn)的大地高，那么就可以根據(jù)式(1)求得各點(diǎn)的正常高。

目前外業(yè)測(cè)量所常見(jiàn)的方法有以下幾種:

1)GPS測(cè)量與水準(zhǔn)測(cè)量相結(jié)合;2)短距離三角高程測(cè)量和GPS相結(jié)合;3)經(jīng)緯儀測(cè)量和GPS相結(jié)合;4)重力測(cè)量與水準(zhǔn)測(cè)量相結(jié)合。

后三種方法由于受儀器設(shè)備、觀測(cè)條件、已有數(shù)據(jù)資料、精度等因素的限制在實(shí)際測(cè)量工作中很難使用，而第一種方法，由于只需在GPS點(diǎn)上再測(cè)一定數(shù)量的水準(zhǔn)高程就可求解，因此在實(shí)際測(cè)量工作中應(yīng)用最為廣泛。

3 GPS水準(zhǔn)擬合的模型

截止到現(xiàn)在，用于計(jì)算高程異常擬合的數(shù)學(xué)模型很多，歸納起來(lái)有以下三種擬合模型:平面擬合模型、曲面擬合模型和常數(shù)擬合模型。

各個(gè)模型有各個(gè)模型的特點(diǎn)，我們可以利用各個(gè)模型的特點(diǎn)為我們?cè)诠こ虦y(cè)量中解決各種問(wèn)題，以上三種模型可以根據(jù)實(shí)際的地理地形情況選擇合適的模型為我們服務(wù)，從而滿足工程高程測(cè)量的精度要求。

3.1 平面擬合模型(平面擬合法)

如果我們所需的控制點(diǎn)在范圍較小或者地形起伏不大的范圍內(nèi)，我們就可以認(rèn)為該區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面等同于或者近似于平面。

假設(shè)控制區(qū)域內(nèi)公共點(diǎn)的高程異常和各個(gè)點(diǎn)之間的坐標(biāo)有如下的關(guān)系:

或者為 ζi=a1+a2B+a3L。

其中，a1，a2，a3均為模型參數(shù)。

如果公共點(diǎn)的數(shù)目大于3個(gè)，則可以列出相應(yīng)的誤差方程為:

平面擬合模型所需要的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一般大于3個(gè)，根據(jù)文獻(xiàn)記載，該方法在120 km2平原地區(qū)，擬合精度可達(dá)3 cm～4 cm。

3.2 曲面擬合模型(二次曲面擬合法)

在某些區(qū)域由于地理或者地形條件變化突出，在該區(qū)域內(nèi)高差變化較大引起大地水準(zhǔn)面變化不規(guī)則，那么采用平面擬合模型會(huì)引起較大的測(cè)量誤差，達(dá)不到所要求的測(cè)量精度，不能滿足工程設(shè)計(jì)或施工需要，這樣我們就采用曲面擬合法對(duì)該區(qū)域進(jìn)行曲面擬合達(dá)到我們所需要的精度，曲面擬合法的方法也有幾種，我們一般采用二次曲面擬合法，也就是在該區(qū)域內(nèi)所有公共點(diǎn)的高程異常和各點(diǎn)的平面坐標(biāo)之間建立相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，它們之間存在如下的數(shù)學(xué)模型:

或者 ζi=a0+a1B+a2L+a3B2+a4L2+a5BL。

其中，a0，a1，…，a5均為模型所需要求得的參數(shù)，用曲面擬合法求得該模型參數(shù)一般至少需要6個(gè)公共點(diǎn)或以上。當(dāng)所求模型區(qū)域內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于6個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，誤差方程表示如下:

按照最小二乘法可以求得模型所需要求得的參數(shù)。

該擬合方法在丘陵地區(qū)或者高差變化較大的地區(qū)，擬合精度可優(yōu)于3 cm甚至更佳。

除了二次曲面擬合法以外，還可以進(jìn)一步的擴(kuò)展，也就是多項(xiàng)式曲面擬合法，多項(xiàng)式曲面擬合法的數(shù)學(xué)模型為:

其誤差方程仍然為:

其中，X為方差矩陣。

在GPS曲面擬合時(shí)，三次曲面擬合法實(shí)用性不強(qiáng)，隨著高差變化的加大，各點(diǎn)的高程異常變化就會(huì)越來(lái)越復(fù)雜，計(jì)算精度也會(huì)越來(lái)越低。

當(dāng)測(cè)區(qū)范圍地形變化復(fù)雜但是測(cè)區(qū)面積較小時(shí)可采用的四參數(shù)擬合方法，其數(shù)學(xué)模型如下式:

3.3 常數(shù)擬合模型

常數(shù)模型擬合的基本思想是該測(cè)區(qū)內(nèi)高程異常基本一致，不考慮參考橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的差距變化情況，這種方法只適用于極小區(qū)域且要求該區(qū)域內(nèi)似大地水準(zhǔn)面與參考橢球面相對(duì)吻合，實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中一般不用這種方法。

4 GPS水準(zhǔn)擬合精度評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)和計(jì)算方法

4.1 GPS水準(zhǔn)擬合精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)

GPS水準(zhǔn)擬合精度評(píng)定的結(jié)果是直接影響我們使用成果的標(biāo)準(zhǔn)，所以我們從單位權(quán)中誤差，內(nèi)符合精度和外符合精度幾方面來(lái)對(duì)GPS水準(zhǔn)擬合精度進(jìn)行檢驗(yàn)，一般來(lái)說(shuō)在控制區(qū)域內(nèi)，我們一般只選擇一部分已知點(diǎn)來(lái)求得擬合模型的幾個(gè)參數(shù)，其余的已知點(diǎn)只是作為檢核點(diǎn)來(lái)評(píng)定擬合曲面與區(qū)域(似)大地水準(zhǔn)面的逼近程度。

4.2 單位權(quán)中誤差的計(jì)算方法

GPS觀測(cè)的是大地高，經(jīng)過(guò)同步觀測(cè)所得到的各點(diǎn)大地高差精度較高，這樣給出網(wǎng)內(nèi)某點(diǎn)的大地高作為起始大地高，就可以求出其他點(diǎn)相對(duì)于起始點(diǎn)的高精度的大地高，采用相應(yīng)等級(jí)的聯(lián)測(cè)方法聯(lián)測(cè)GPS可以求得各點(diǎn)的正常高，根據(jù)式(1)就可以求得各點(diǎn)的高程異常，高程異常變化趨勢(shì)平緩，可利用簡(jiǎn)單曲面進(jìn)行擬合，以二次曲面擬合為例:

其矩陣形式為:

假設(shè)全網(wǎng)共布設(shè)n個(gè)GPS點(diǎn)，觀測(cè)了m個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)(m＜n)，則擬合的誤差方程式為:

設(shè)為等權(quán)觀測(cè)，根據(jù)最小二乘法求得系數(shù):

通過(guò)上式即可計(jì)算任意擬合點(diǎn)的高程異常值。

由誤差方程可以計(jì)算擬合點(diǎn)殘差向量V，計(jì)算單位權(quán)中誤差:

4.3 內(nèi)部符合精度的計(jì)算方法

根據(jù)參與擬合計(jì)算的已知點(diǎn)ζi值與擬合值ζi'，用v=ζi－ζi'求擬合殘差，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)擬合計(jì)算的內(nèi)符合精度:

其中，n為v的個(gè)數(shù)。

4.4 外部符合精度的計(jì)算方法

根據(jù)檢核點(diǎn)ζi值與擬合值ζi'之差，可以按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)擬合計(jì)算的外符合精度:

其中，n為檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù);μ，M可以近似地認(rèn)為是擬合點(diǎn)的高程中誤差。

5 實(shí)例分析

5.1 案例概況

檢驗(yàn)段內(nèi)選擇了該40 km作為高程擬合區(qū)域，該區(qū)域共有21個(gè)GPS點(diǎn)，我們選其中11個(gè)點(diǎn)作為擬合的基準(zhǔn)點(diǎn)(訓(xùn)練點(diǎn))，其余點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)，這11個(gè)點(diǎn)均勻分布于測(cè)區(qū)，且代表了測(cè)區(qū)內(nèi)的高差變化情況，所采集的外業(yè)測(cè)量數(shù)據(jù)，在計(jì)算中，采用以下兩種計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比。

平面擬合整個(gè)測(cè)區(qū)。

分段采用二次曲面擬合，對(duì)于重合區(qū)域采用雙三次樣條函數(shù)進(jìn)行重新取值。

5.2 兩個(gè)模型擬合后精度比較

由表1中可以看出，曲面擬合精度較好，因?yàn)榍鏀M合可以根據(jù)地形起伏情況對(duì)高程異常面進(jìn)行重新組合，并對(duì)區(qū)與區(qū)之間進(jìn)行光滑連接，從而使擬合曲面盡量符合實(shí)際分布。

表1 擬合精度比較表 cm

6 GPS擬合精度提高的措施

GPS外業(yè)測(cè)量受到多種因素的影響導(dǎo)致GPS高程擬合精度的下降，所以我們必須對(duì)GPS外業(yè)的觀測(cè)和GPS內(nèi)業(yè)的作業(yè)來(lái)提高GPS高程的擬合精度，GPS外業(yè)觀測(cè)的方法和GPS內(nèi)業(yè)擬合模型的選擇成為GPS擬合后精度提高的作業(yè)關(guān)鍵，為了這個(gè)目的，我們可以采取以下幾種方法:

1)GPS外業(yè)數(shù)據(jù)采集質(zhì)量的提高和外業(yè)數(shù)據(jù)采集數(shù)量的增加;

2)星歷狀況要良好以提高測(cè)站測(cè)定大地高精度;

3)觀測(cè)條件適宜以提高聯(lián)測(cè)幾何水準(zhǔn)的精度;

4)選擇合適的模型以提高擬合計(jì)算的精度。

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