高等數(shù)學(xué)在《量子力學(xué)》中的作用

李永峰 陳 華

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 數(shù)理與生物工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，它主要研究原子、分子等微觀客體的運(yùn)行規(guī)律。由于量子力學(xué)的出現(xiàn)，材料的半導(dǎo)體性、超導(dǎo)性、磁性都有了突破性的進(jìn)展，除此之外它在化學(xué)等有關(guān)學(xué)科和許多近代技術(shù)中也得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界的重要工具，通過(guò)抽象、概括及推理來(lái)描述自然科學(xué)中各種量的變化關(guān)系。高等數(shù)學(xué)是理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生都要學(xué)的基礎(chǔ)課程，“高等”是相對(duì)學(xué)生中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)而言的，它比中學(xué)數(shù)學(xué)更抽象，但邏輯更為嚴(yán)密和應(yīng)用更為廣泛。它的抽象性、邏輯性在量子力學(xué)中得到充分的應(yīng)用。想要學(xué)好量子力學(xué)，理解量子力學(xué)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是必不可少的。

1 量子力學(xué)的建立與數(shù)學(xué)密不可分

量子力學(xué)是在波爾氫原子理論、德布羅意物質(zhì)波理論基礎(chǔ)上，先由薛定諤和海森堡獨(dú)立提出，又經(jīng)過(guò)狄拉克等人補(bǔ)充完善而建立的。

微分方程與薛定諤理論。1923年德布羅意根據(jù)類(lèi)比的關(guān)系提出電子如同光子一樣具有波粒二象性，給出了著名的德布羅意關(guān)系:E=?ω，p→=?k→，結(jié)合駐波理論可以解釋波爾氫原子理論中穩(wěn)定的電子軌道。物質(zhì)波被戴維孫和革末在實(shí)驗(yàn)上所證實(shí)，但它的本質(zhì)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律卻不清楚。薛定諤把電子看成一團(tuán)帶電物質(zhì)作松緊振動(dòng)的實(shí)體波，從經(jīng)典力學(xué)出發(fā)導(dǎo)出這種物質(zhì)波滿(mǎn)足的微分方程——薛定諤方程，它以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式描述了物質(zhì)波在空間中隨時(shí)間的演化規(guī)律，是量子力學(xué)的重大突破。利用薛定諤方程方程，不需要波爾的三種假設(shè):定態(tài)假設(shè)、躍遷條件和角動(dòng)量條件，可以得到和波爾氫原子理論相同的結(jié)果，使人類(lèi)認(rèn)識(shí)微觀世界脫離了波爾那種半經(jīng)典半量子模型，量子力學(xué)觀念迅速的被接受和認(rèn)可。

矩陣與海森堡理論。海森堡認(rèn)為解開(kāi)原子之謎，只能從可觀察的數(shù)量入手。海森堡接受波爾理論中被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)量子化的概念，如能級(jí)、定態(tài)、量子躍遷等概念，忽略了電子軌道的觀點(diǎn)。他從經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，指出原子穩(wěn)定態(tài)的理論需要電子坐標(biāo)、動(dòng)量等物理量必須用厄米矩陣描述，由于經(jīng)典力學(xué)中的乘法與矩陣乘法有巨大的區(qū)別，導(dǎo)致力學(xué)量之間存在對(duì)易關(guān)系，接受這種對(duì)易規(guī)則，微觀體系中包括能量在內(nèi)的確定值和平均值都能給出，還可以計(jì)算出兩個(gè)定態(tài)之間的躍遷概率。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣力學(xué)在量子力學(xué)中的應(yīng)用更為廣泛。

薛定諤在提出波動(dòng)力學(xué)之后，接著證明了它與海森堡的矩陣力學(xué)是等價(jià)的。量子力學(xué)更普遍的表述是由狄拉克等人完成的，他們仔細(xì)分析了波動(dòng)力學(xué)和矩陣力學(xué)的本質(zhì)特征，結(jié)合數(shù)學(xué)中矢量運(yùn)算中的坐標(biāo)系選取的觀點(diǎn)，認(rèn)為不同的物理問(wèn)題需要不同量子力學(xué)形式描述更為方便，整理出表象理論，使量子力學(xué)體系更加完美。

2 量子力學(xué)與數(shù)學(xué)工具

量子力學(xué)中的狀態(tài)用波函數(shù)來(lái)描述，每一個(gè)波函數(shù)可以看成數(shù)學(xué)中的希爾伯特空間的一個(gè)矢量?？臻g的運(yùn)算法則，如矢量的加法、數(shù)乘、內(nèi)積也是量子力學(xué)中基本運(yùn)算，基矢量的線(xiàn)性無(wú)關(guān)和完全性與力學(xué)量的本征態(tài)的特點(diǎn)對(duì)應(yīng)。量子力學(xué)中的力學(xué)量用算符或者矩陣來(lái)描述，數(shù)學(xué)中的微分方程和矩陣運(yùn)算對(duì)與量子力學(xué)就尤為重要。此外作為可觀測(cè)的力學(xué)量，它的取值有確定值和期望值兩種，理解確定值需要學(xué)好數(shù)學(xué)中本正值與本整函數(shù)理論，期望值的概念涉及到數(shù)學(xué)中與概率相關(guān)的知識(shí)。在表象理論中波函數(shù)在坐標(biāo)表象下和動(dòng)量表象下的描述可以看成是數(shù)學(xué)中的傅里葉變換，表象變換就是線(xiàn)性代數(shù)中的幺正變化。

想學(xué)好量子力學(xué)，以下相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)需要特別留意。

厄米方程與諧振子模型。任意在平衡位置附近的小振動(dòng)都可以用諧振子模型來(lái)描述，如果選擇合適的坐標(biāo)系，該物理模型可以分解成一系列相互獨(dú)立的一維諧振動(dòng)。諧振子是量子力學(xué)中為數(shù)不多的可以精確求解的例子，研究清楚諧振子問(wèn)題，對(duì)理解量子和應(yīng)用量子力學(xué)都有巨大的幫助。有關(guān)諧振子問(wèn)題就需我們掌握厄米方程相關(guān)問(wèn)題，要知道厄米方程:

球諧函數(shù)與氫原子理論。氫原子問(wèn)題被薛定諤方程嚴(yán)格求解，是量子力學(xué)建立初期的巨大成就。有關(guān)氫原子問(wèn)題，其本質(zhì)是電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，涉及到的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)是與角動(dòng)量算符本征方程:

理解球諧函數(shù)Ylm（θ，φ）的特征,有利于相關(guān)知識(shí)的掌握。

δ函數(shù)。波函數(shù)的歸一化在量子力學(xué)中非常重要，本正值是連續(xù)譜的情況下，波函數(shù)的歸一化就是δ函數(shù)，要想熟練地進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，δ函數(shù)的特征必須熟悉:

3 量子力學(xué)與數(shù)學(xué)相輔相成。

綜上所述，量子力學(xué)的產(chǎn)生、完善都與高等數(shù)學(xué)密切相關(guān)，其中涉及到了大部分高等數(shù)學(xué)知識(shí)，如數(shù)學(xué)分析、線(xiàn)性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、微分方程等。學(xué)生想要學(xué)好量子力學(xué)，相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)必須掌握扎實(shí)。同時(shí)學(xué)生在本科期間所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，在量子力學(xué)中都能得到應(yīng)用。量子力學(xué)這門(mén)課程一般都開(kāi)設(shè)在本科第三學(xué)年，正是高等數(shù)學(xué)都已學(xué)完，學(xué)生開(kāi)始準(zhǔn)備考研的關(guān)鍵時(shí)期，如果能利用量子力學(xué)這門(mén)課程，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)方面的訓(xùn)練，不僅能提高量子力學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合科研素質(zhì)也有幫助。

［1］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué):卷 I[M].3 版.科學(xué)出版社，2000.

［2］喀興林.高等量子力學(xué)[M].2 版.高教出版社，2001.