數(shù)列的通項(xiàng)公式

在數(shù)列的通項(xiàng)公式教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)在給定數(shù)列前幾項(xiàng)的情況下，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為其通項(xiàng)公式只有一種表示形式。針對(duì)上述問(wèn)題，我采取了如下的教學(xué)方式：

給出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為1，3，5，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。

生A：太簡(jiǎn)單了，都是奇數(shù)，an=2n-1.（學(xué)生表示贊同，并且不再思考）

師：的確是簡(jiǎn)單了，我們把這個(gè)題目改一改，前提不變，請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)列的前六項(xiàng)。（學(xué)生剛開(kāi)始認(rèn)為：那不是更簡(jiǎn)單？后來(lái)發(fā)現(xiàn)了不同，提起興趣，紛紛動(dòng)筆或思考）不如這樣，我們分成八個(gè)小組，看哪個(gè)小組找得最多！

（下面一段時(shí)間，學(xué)生進(jìn)行激烈的討論，研究出成果來(lái)還“保密”，害怕被其他小組“竊取”）

師：我看大家研究得差不多了，誰(shuí)先來(lái)展示一下研究成果？

生A：我還是堅(jiān)持上次的觀點(diǎn)，寫出1，3，5，7，9，11，肯定對(duì)吧?。ㄎ尹c(diǎn)頭微笑表示同意）

師：其實(shí)，你寫出的這列數(shù)除了都是奇數(shù)外還有什么特點(diǎn)？

生A：后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都是2.

師：能不能再嚴(yán)密點(diǎn)？

生A：噢，第一項(xiàng)沒(méi)前項(xiàng)，應(yīng)該說(shuō)從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是2.

師：太棒了，這恰好是我們后面將要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的特點(diǎn)，看來(lái)只要我們動(dòng)動(dòng)腦筋，許多新知識(shí)都可以自己總結(jié)出來(lái)！除了這個(gè)，你們還有其他的結(jié)果嗎？（還想寫成1，3，5，5，5，5，行嗎？）

師：完全可以呀！能解釋你們的設(shè)計(jì)意圖嗎？（生A極力推舉B來(lái)回答）

生B：我就是想這樣挺簡(jiǎn)單的，后面都是5。

師：思路很好，你能不能再想一想你所寫的數(shù)列的通項(xiàng)公式？（生B稍猶豫）其他同學(xué)有沒(méi)有類似的答案？（學(xué)生表示有類似答案，只不過(guò)后面的數(shù)有的是0，有的是7，等等）那我們一起幫他想?。ㄌ崾旧鶥）看看這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)。

生B：從第三項(xiàng)起，后面都是5，像常數(shù)列。

師：很好，想一想常數(shù)列的通項(xiàng)公式。

生B：an=5。

師：那前兩項(xiàng)是否符合這個(gè)規(guī)律呢？

生B：不符合，可以寫成a1=1，a2=3，an=5（n=3，4，5，…）

師：大家同意嗎？（同意?。┖茫∑渌〗M還有沒(méi)有不同方法？

生C：我們組寫出1，3，5，11，21，43。

師：這個(gè)挺有意思，這些數(shù)之間有什么規(guī)律嗎？

生C（很自豪）：當(dāng)然有了，1×2+3=5，3×2+5=11，5×2+11=21，11×2+21=43。

師：你很聰明，思路很好，有什么公式可以表示這個(gè)數(shù)列嗎？（見(jiàn)學(xué)生思考有困難）可以試著把C說(shuō)的規(guī)律中的數(shù)與它對(duì)應(yīng)的項(xiàng)聯(lián)系上，大家一起說(shuō)！

生：a1×2+a2=a3，a2×2+a3=a4，a3×2+a4=a5，a4×2+a5=a6，…an-2×2+an-1=an。

師：這個(gè)公式與通項(xiàng)公式一樣嗎？（不一樣）這是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式。

（學(xué)生還有很多不同的方法，由于時(shí)間有限，將其余部分答案留到課后研究，并試著寫出不同的通項(xiàng)公式。）

師：現(xiàn)在我們考慮一下，給出數(shù)列前幾項(xiàng)后，它的通項(xiàng)公式只有一個(gè)嗎？

生：不是。有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：這次我們的分組比賽哪組最好啊？（部分學(xué)生小聲說(shuō)都挺好）

生D：我認(rèn)為把大家的結(jié)論合在一起，就最好了?。▽W(xué)生鼓掌表示認(rèn)同）（增強(qiáng)了團(tuán)結(jié)協(xié)作精神）

師：說(shuō)得很好，我們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)或工作中，一定要學(xué)會(huì)分工合作，分享別人的成果和快樂(lè)！謝謝大家的合作！

本節(jié)課結(jié)束后，我進(jìn)行了教學(xué)反思。我覺(jué)得數(shù)學(xué)是很容易創(chuàng)造的一門學(xué)科，它實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化。教師不必將各種規(guī)則、公式灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，提供具體的例子，讓學(xué)生在實(shí)踐的過(guò)程中，自己去發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律。因而我在教學(xué)中先提出一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻很有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的研究熱情，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。針對(duì)各個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的不同，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯l(fā)，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)反思，使學(xué)生的創(chuàng)造活動(dòng)由不自覺(jué)的狀態(tài)發(fā)展為有意識(shí)的活動(dòng)。讓合作、創(chuàng)新、探究的理念貫穿于整個(gè)課堂，以便更有效地提高課堂教學(xué)效率。

我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該更加注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。這要求教師應(yīng)首先更新教學(xué)觀念，從傳統(tǒng)的應(yīng)試教育的圈子跳出來(lái)，具備明晰而深刻的創(chuàng)新教學(xué)理念，具有創(chuàng)新精神和不斷進(jìn)取精神。傳統(tǒng)的教育觀的基本特點(diǎn)是以知識(shí)的傳授為中心，過(guò)分強(qiáng)調(diào)老師的作用，而新的教育要求在教學(xué)中要尊重學(xué)生的人格及創(chuàng)造精神，把教學(xué)的重心和立足點(diǎn)轉(zhuǎn)移到引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的“學(xué)”上來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生想學(xué)、會(huì)學(xué)、善學(xué)。并且我覺(jué)得教學(xué)的整個(gè)過(guò)程學(xué)生都應(yīng)該積極參與，教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供廣闊的天地，聽(tīng)任各種不同的思維、不同的方法自由發(fā)展，絕不可以對(duì)內(nèi)容作任何限制，更不應(yīng)對(duì)其發(fā)現(xiàn)設(shè)置任何預(yù)先的圈套。教學(xué)環(huán)境應(yīng)當(dāng)為每個(gè)學(xué)生提供自由思考的空間，讓學(xué)生大膽地想象甚至可以異想天開(kāi)。因?yàn)閷W(xué)生能否自主選擇研究方向和研究方法也是在課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新教育的關(guān)鍵。教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)愉悅、和諧、民主、寬松的人際環(huán)境，要努力以自己對(duì)學(xué)生的滿腔熱情去引發(fā)學(xué)生積極的情感反應(yīng)，營(yíng)造師生情感交融的氛圍。使學(xué)生在輕松、和諧的學(xué)習(xí)氛圍中產(chǎn)生研究的興趣，積極主動(dòng)地去探究、發(fā)現(xiàn)，從而使學(xué)生敢創(chuàng)造，同時(shí)迸發(fā)出創(chuàng)造思想的火花。教師應(yīng)在課堂上多為學(xué)生創(chuàng)造表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在自我表現(xiàn)的過(guò)程中增強(qiáng)自信，提高創(chuàng)新能力。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神不是一朝一夕就可以取得明顯成效的，它是一個(gè)系統(tǒng)的過(guò)程，在教學(xué)中必須循序漸進(jìn)，長(zhǎng)期堅(jiān)持，需要教師在教學(xué)中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷取長(zhǎng)補(bǔ)短，改進(jìn)自己的教學(xué)理念和教學(xué)方法，以達(dá)到為學(xué)生服務(wù)的目的。

總之，在課堂教學(xué)這片土地上，給學(xué)生留出一片空地，讓他們自己去耕種，體驗(yàn)過(guò)程的艱辛，從而體會(huì)豐收的快樂(lè)，收到意想不到的效果。

（作者單位 黑龍江省齊齊哈爾市富拉爾基區(qū)一重五中）