用數(shù)學(xué)“感知”信號(hào)

“壓縮感知是2006年才開(kāi)始興起的研究方向，它主要是借助自然信號(hào)的規(guī)律性，從而可大大減少觀測(cè)次數(shù)。這在很多領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用前景。對(duì)于自然信號(hào)的規(guī)律性，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以做很多種描述，比較流行的一種就是自然信號(hào)在一組基底表示下是稀疏的?！?/p>

中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院許志強(qiáng)在采訪中這樣向記者介紹他最近的研究課題。這是一位對(duì)自己的工作有著強(qiáng)烈熱情的數(shù)學(xué)新秀。相比其他研究數(shù)學(xué)的學(xué)者，他更喜歡接觸不同的數(shù)學(xué)分支，并從中尋找“火花”?！叭藗兿矚g到不同地方去旅游，因?yàn)槊咳ヒ粋€(gè)地方感覺(jué)都是不一樣的。而做研究也如此，每接觸一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，我都會(huì)有不同的感覺(jué)，而這種感覺(jué)會(huì)激發(fā)我的求知欲與熱情?！彼@樣向記者介紹他喜歡涉足多個(gè)不同學(xué)科的原因。

確實(shí)，在這種感覺(jué)的驅(qū)動(dòng)下，他先后涉足了逼近論、數(shù)值分析、組合、交換代數(shù)、壓縮感知等多個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支，并且在這些不同分支之間發(fā)現(xiàn)了令人意想不到的關(guān)聯(lián)，撰寫(xiě)了多篇數(shù)學(xué)論文。“人們往往在不同的領(lǐng)域里面，做著同樣的事情，卻又渾然不覺(jué)。起源不同的數(shù)學(xué)支流，往往意想不到地發(fā)生著交叉與關(guān)聯(lián)，從而讓人感受到數(shù)學(xué)的另外一種魅力！”他這樣形容自己的交叉研究。而對(duì)于這種交叉，許志強(qiáng)向我們講述了一個(gè)具體例子：2007年他在德國(guó)訪問(wèn)，來(lái)自Berkeley的代數(shù)學(xué)家Bernd Sturmfels在討論班上提到一個(gè)代數(shù)方面的問(wèn)題。雖然并非從事代數(shù)方面的研究，而許志強(qiáng)立刻意識(shí)到了這一問(wèn)題與他熟知的逼近論中Box樣條函數(shù)的關(guān)聯(lián)，并從而給出了一個(gè)解答。這令B.Sturmfels很感興趣，所以兩人合作解決了代數(shù)中的多個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，并撰寫(xiě)了學(xué)術(shù)論文。

除了這種與“真實(shí)”數(shù)學(xué)家的合作，許志強(qiáng)也向我們介紹了他與“虛擬”數(shù)學(xué)家的合作。2006年，他在研究小波中的尺度方程問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，他意識(shí)到問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)“數(shù)冪模1”問(wèn)題的深入理解?！皵?shù)冪模1”問(wèn)題是數(shù)論中的經(jīng)典問(wèn)題，有大量的研究結(jié)果可查，但卻沒(méi)有為他“量身定制”的結(jié)果。于是，他通過(guò)Email向?qū)Ｑ小皵?shù)冪模1”問(wèn)題的數(shù)論學(xué)家A.Dubickas求助。在Email中，他從數(shù)論角度對(duì)他所研究的問(wèn)題進(jìn)行了描述。幾天之后，他收到了A.Dubickas的回復(fù)及對(duì)問(wèn)題的解答?；谶@個(gè)回復(fù)，兩人合作對(duì)尺度方程做出了很好的進(jìn)展。雖然論文完成并發(fā)表了有一段時(shí)間，但兩人卻從未見(jiàn)面。許志強(qiáng)認(rèn)為這要比他自己學(xué)習(xí)“數(shù)冪模1”然后作出進(jìn)展效率要高很多，而且結(jié)果也更漂亮?！斑@樣做的前提是互相信任，如果沒(méi)有對(duì)對(duì)方的信任，是不可能開(kāi)展這種類(lèi)型的合作的。”他這樣向記者介紹他的理念。

在采訪中，我們逐漸了解了許志強(qiáng)研究員的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。其實(shí)他從小學(xué)習(xí)成績(jī)并不優(yōu)秀，尤其在數(shù)學(xué)科目上沒(méi)有什么優(yōu)勢(shì)，中學(xué)時(shí)也就讀了一所非重點(diǎn)中學(xué)。然而，因?yàn)楦赣H是中學(xué)數(shù)學(xué)老師，家中藏有許多數(shù)學(xué)故事書(shū)籍，其中那些數(shù)學(xué)家的傳記漸漸引起了他的注意，并在私下里讀了很多數(shù)學(xué)史方面的書(shū)籍。因此，盡管在學(xué)校不喜歡聽(tīng)老師講課，但他卻自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本知識(shí)，自己找課外習(xí)題鍛煉，數(shù)學(xué)成績(jī)也有了顯著提高。高考順利地考上了大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)系。大學(xué)期間，他仍然延續(xù)了中學(xué)自己讀書(shū)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，并年年取得優(yōu)異成績(jī)。大學(xué)三年級(jí)時(shí)，他自學(xué)了微分方程數(shù)值解與相關(guān)的海洋學(xué)方面的知識(shí)，編寫(xiě)軟件對(duì)大連一個(gè)海灣的潮流進(jìn)行了數(shù)值模擬。這個(gè)工作獲得了當(dāng)年的全國(guó)大學(xué)生“挑戰(zhàn)杯”競(jìng)賽二等獎(jiǎng)。這些學(xué)習(xí)風(fēng)格與方式培養(yǎng)了他獨(dú)立做事情的能力?！拔覐牟缓ε逻M(jìn)入一個(gè)新的分支學(xué)習(xí)新的知識(shí)，因?yàn)槲业闹袑W(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)也主要是自己看書(shū)學(xué)的”他這樣介紹當(dāng)年的學(xué)習(xí)方式對(duì)他今天研究的影響。但他也同時(shí)意識(shí)到了對(duì)他不利影響的一面：有一段時(shí)間，他不習(xí)慣聽(tīng)別人講解數(shù)學(xué)，也不習(xí)慣與人討論問(wèn)題，而更喜歡通過(guò)讀書(shū)或者讀論文去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在研究過(guò)程中，面對(duì)浩繁的文獻(xiàn)，他逐漸意識(shí)到了這種工作方式帶給他的局限。因而，他現(xiàn)在越來(lái)越意識(shí)到從交流中學(xué)習(xí)的重要。而且在德國(guó)期間，B.Sturmfels教授的工作方式對(duì)他的研究行為方式產(chǎn)生了較大的影響。許志強(qiáng)從他的身上看到了一些西方數(shù)學(xué)學(xué)者的科研行為品質(zhì)：耐心、熱情、活躍且善于合作。這影響了他的一些科研行為方式。如今，除了繼續(xù)“發(fā)揚(yáng)”他獨(dú)立研究的特點(diǎn)外，他也同各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家開(kāi)展了合作。在他的合作者名單中，我們可看到多個(gè)工作與完全不同數(shù)學(xué)分支的數(shù)學(xué)家的名字……

如今，為了在壓縮感知中做出進(jìn)展，他學(xué)習(xí)了數(shù)論、有限域與隨機(jī)矩陣等方面的知識(shí)。而且，在國(guó)家自然科學(xué)基金支持下，已經(jīng)用數(shù)論方面的知識(shí)對(duì)壓縮感知中觀測(cè)矩陣的構(gòu)造作出了進(jìn)展?！拔液芟矚g接觸新的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且能將其應(yīng)用到我當(dāng)前的研究課題中。壓縮感知有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，而且我能在研究中接觸很多不同的數(shù)學(xué)，所以我很喜歡。”許志強(qiáng)向我們介紹他的研究前景，“希望能對(duì)壓縮感知一些基本理論與算法問(wèn)題取得進(jìn)展，從而可用數(shù)學(xué)更好的感知信號(hào)”。