在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中發(fā)展思維

筆者最近有幸聆聽了特級老師董樂華執(zhí)教的“解直角三角形應(yīng)用”一課。董老師引導(dǎo)學(xué)生探索解題規(guī)律，構(gòu)建模型，讓基本圖形“活”起來，讓學(xué)生能運用基本圖形解決實際問題。本節(jié)課也是一堂數(shù)學(xué)探究式學(xué)習(xí)活動課，通過創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生去進行自主探究式的學(xué)習(xí)，教學(xué)過程實質(zhì)上就是一個不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題和反思問題的過程。

以疑引思，初構(gòu)模型

[問題1] 要求測量某佛塔的高度，手上只有如下測量工具：皮尺、測角儀（能測量仰角和俯角的儀器， 測角儀的高度不計）。如圖1，你能利用手中的工具設(shè)計出測量方案嗎？如果能，請畫出測量方案示意圖。在你所畫出的測量方案中，你需要測量示意圖中哪些數(shù)據(jù)？

生1：如圖2，在佛塔的前方A處測出塔頂C的仰角為α，用皮尺測出AD的長度。

生2： 這種方法可以測量底部能直接到達物體的高度。此題中佛塔的底部不能直接到達，AD的長度無法測量，所以這種方法不行。

師：再試試別的方法可以嗎？

生3：在佛塔的前方A點測得塔頂C的仰角為30°，向前走一段路程到達B點時，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，用皮尺測出AB的長度為a m（A，O，B在一條直線上），便可求出佛塔CD的高。

生4：由∠ACB=∠A=30°，得CB= AB=a m，則CD=a sin∠CBD=■a m。

師：根據(jù)你的測量，∠A與∠CBD的度數(shù)、AB的長度可取不同的值?。?我們建立了一個解直角三角形的數(shù)學(xué)模型問題。測量底部能直接到達物體的高度可用第一種方法， 測量底部不能直接到達物體的高度可用第二種方法。

賞析數(shù)學(xué)來源于生活，董老師用生活問題激活學(xué)生的思維。在設(shè)計方案時，學(xué)生很容易想到第一種方法，經(jīng)過分析，這種方法不行，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心和強烈的求知欲，去探索測量底部不能直接到達物體的高度的方法，給學(xué)生成功的體驗、探索的樂趣。讓學(xué)生在生動具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。以疑問引發(fā)學(xué)生思考，師生互動啟迪思維。最后提示∠A與∠CBD的度數(shù)、AB的長度可取不同的值——為下面的變式探索埋下伏筆。

以變啟思，拓展模型

師：剛才給出的數(shù)學(xué)模型中，∠A與∠CBD可以取不同的值，形成不同的模型。

[變式一]如圖2，在RtΔACD中，∠A=30°，∠CBD=45°，AB=10 m，CD⊥AB于D，求CD的長。

生：可設(shè)CD=x m，則BD=x m，AD=（x+10） m。由tanA=■得：■=■，從而解得x=5■+5（m）。

師：還能進行什么變式？

[變式二] 如圖2，在RtΔACD中，∠A=45°，∠CBD=60°，AB=10 m，CD⊥AB于D，求CD的長。

師：解法與變式一相同嗎？

生：解法類似。

可設(shè)CD=x m，則AD=x m，BD=（x-10） m。由tan∠CBD=■得：■=■，從而解得x=5■+15（m）。

師：這3種模型的解法有何特征？

（學(xué)生積極討論）

生1：在第一個模型中，利用了等腰三角形的兩腰相等這一性質(zhì)，把已知的邊和已知的角轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，再用銳角三角函數(shù)的知識進行解題。

生2：在第二個和第三個模型中，利用了等腰直角三角形的兩直角邊相等這一性質(zhì)，把相關(guān)的邊長用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，把相關(guān)的邊與角轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，再用銳角三角函數(shù)的知識進行解題，

師：還能想到什么變式？

生3：我發(fā)現(xiàn)把變式二的圖重新擺放，又能成為一個變式。

（老師用鼓勵的目光請同學(xué)說下去）

[變式三] 如圖3，在RtΔACD中，∠D=90°，∠BCD=45°，∠ACD=60°，CD=10 m，求AB的長。

[變式四]如圖4，在ΔABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=4■m，求BC的長。

[變式五]如圖4，在ΔABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=（1+■）m，求AB的長。

（由學(xué)生獨立分析畫圖，互幫互學(xué)，并感悟方法。教師對學(xué)生活動進行巡視點撥，感悟如何構(gòu)建直角三角形。）

賞析董老師引導(dǎo)學(xué)生從“靜態(tài)”轉(zhuǎn)化為“動態(tài)”，在運動過程中總結(jié)出如何構(gòu)建直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。對基本模型進行變式分析，通過引導(dǎo)、提示、評價，在關(guān)鍵處進行點撥，啟迪學(xué)生的思維，真正把課堂還給學(xué)生。

董老師引導(dǎo)學(xué)生對問題的現(xiàn)象和本質(zhì)進行延伸與拓展，促進發(fā)散性思維的發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。通過5個變式訓(xùn)練， 歸納出同一類問題的解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三的能力。

以型激思，化歸成規(guī)

師：同學(xué)們總結(jié)了6種基本模型，能從特殊到一般嗎？能升華成基本圖形嗎？大家不妨試一試。（學(xué)生互相討論，老師巡視指導(dǎo)）

生1：如圖5，已知點A、B、D在同一直線上，且A、B在點D的同側(cè)，CD⊥AD于D，AB=a，∠CAD=α，∠CBD=β ，求CD的長。

（老師引導(dǎo)學(xué)生歸納解決這個模型題的途徑是：設(shè)CD=x，用含x的代數(shù)式表示出BD；把相關(guān)的邊與角轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，再用銳角三角函數(shù)的知識進行解題）

生2：如圖6，已知點A，B，D在同一直線上，且A、B在點D的異側(cè)，CD⊥AD于D，AB=a，∠CAD=α，∠CBD=β ，求CD的長。

（老師引導(dǎo)學(xué)生交流解決這個模型題的途徑，并請學(xué)生進行解法歸納）

賞析董老師引導(dǎo)學(xué)生歸納，從特殊到一般，由6個數(shù)學(xué)模型升華成兩個基本圖形，這是一個自然的、合理的、科學(xué)的提升過程。本節(jié)課的重點不在于講解解題時的注意點，而在于如何做？用什么方法做？為什么要這樣做？這一類問題怎樣做？整個教學(xué)過程董老師讓學(xué)生經(jīng)歷了一次從外到內(nèi)的洗禮，有利于發(fā)現(xiàn)題目深層次的本質(zhì)內(nèi)涵，有利于學(xué)生的總結(jié)提煉。（作者單位：江西省南昌市育新學(xué)校）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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