打造“悟”的三步曲

《說文》曰：“悟，覺也?！蔽虿皇歉嬖V，而是激勵，是喚醒，是點化，是體驗。在一次骨干教師培訓(xùn)交流課上，劉榮嬌老師在“找次品”這節(jié)課上充分展示教師的主導(dǎo)作用，引領(lǐng)學(xué)生通過觀察、對比、分析、反思、運用，在分三個層次運用天平“找次品”中體驗“悟”的過程。

在充分感悟中尋找最優(yōu)策略

師：三瓶口香糖中有一瓶次品，它更輕一些，你有辦法把它找出來嗎？

生：通過觀察外包裝，可以找出次品。

師：這是采用了觀察法。如果外包裝區(qū)別不大，怎么辦？

生：稱一下。

師：你會采用什么工具來稱？

生：天平。

師：誰愿意來表演一下天平，稱出這瓶次品？

[一名學(xué)生在同學(xué)的笑聲中上臺，打開雙手模仿天平]

師：一邊放兩瓶，一邊放一瓶，能找出這瓶次品嗎？

生：不能。

師：那應(yīng)該怎么做？

生1：天平兩邊各放一瓶。

生2：天平兩邊要放的瓶數(shù)必須一樣多。

師：如果天平是平衡的，次品在哪里？

生：次品肯定就是天平外的那一瓶。

師：如果一邊翹起，次品又在哪里？

生：翹起的那一邊就是次品。

師：要稱幾次才能找到？有幾種可能？

生：有兩種可能，只需要稱一次。

我們加大難度，現(xiàn)在有5個棋子，其中一個是次品，次品輕一些，請用天平找出來。

[生在小組合作中解決問題]

生1：我們是分成5（1、1、1、1、1），先稱兩個，如果不平衡，只需要稱一次。如果平衡，再放另兩個，需要稱兩次。

生2：我們是把5個分成5（2、2、1），天平一邊放兩個，如果平衡，剩下那個是次品，稱一次。如果不平衡，把翹起的一邊中的兩個分開來再稱一次，需要稱兩次。

師：我們發(fā)現(xiàn)，不管運氣好壞，兩次都能找出次品。

師：這批零件有2187個，其中有一個次品更輕一些，猜猜看，你認為要稱多少次？

生1：100次。

生2：30次。

生3：1000次。

……

師：“天下難事必作于易，天下大事必作于細?！?187個太多了，我們可以采用化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，找到最好的策略來解決。

找次品最優(yōu)策略的發(fā)現(xiàn)不可能一蹴而就，劉老師采取了“溫水煮青蛙”的方式，從最簡單的三瓶中找一瓶次品，再過渡到五個棋子，最后再引出下面片段二的九個零件。這樣有梯度的設(shè)計有效地降低了學(xué)生尋找最優(yōu)策略的難度，尊重了學(xué)生的學(xué)習方式和發(fā)展規(guī)律，為學(xué)生探究最優(yōu)策略搭好了“腳手架”。而從2187個零件中找一個次品，她讓學(xué)生大膽對所需次數(shù)進行猜想。數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者波亞利曾說：“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的、負責任的態(tài)度?！边@樣的猜想可以激發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望，形成積極的思維態(tài)勢，從而一步步進行數(shù)學(xué)知識的思考，感悟數(shù)學(xué)思想在解決實際問題中的初步運用。

在操作對比中領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)最優(yōu)策略

師：9個零件中有1個次品，次品重一些，至少稱幾次就一定能找出？你能找出題目中的關(guān)鍵詞嗎？

生1：一定。

生2：至少。

師：你怎么體會這兩個詞？

生：用天平稱的時候，要保證能找到次品的最少的次數(shù)。

師：再用天平稱的時候，有時會因為運氣好而提前找到，但這并不能保證我們每一次都能有這么好的運氣，所以在尋找規(guī)律時，我們要做最壞的打算。請小組合作，拿出學(xué)習單，完成表格。

師：現(xiàn)在你能看出哪種分法能最快找出次品嗎？

生：第三種分法。

師：它是怎么分的呢？

生：這種分法是把9個平均分成了三份。

師：是不是平均分成三份的方法最好？你能不能舉例驗證？

在教學(xué)中采用小組合作學(xué)習的方式，形成了師生、生生之間的全方位、多層次、多角度的交流模式，通過小組合作探究找到了用天平在9個物品中找一個次品的各種方法，再通過比較發(fā)現(xiàn)了找次品的最優(yōu)策略，進而有一種“豁然開朗”的感覺，達到領(lǐng)悟的效果。

四至六年級學(xué)段的學(xué)習目標指出：在解決問題的過程中，能進行有條理的思考，能對結(jié)論的合理性作出有說服力的說明，能表達解決問題的過程，并嘗試解釋所得的結(jié)果。學(xué)生通過合作探索、歸納總結(jié)出了“找次品”的最優(yōu)策略，劉老師并不滿足，而是讓學(xué)生舉例說明，以解釋這個最優(yōu)策略，利用不完全歸納法誘發(fā)學(xué)生自覺地分類、比較及運用，使得學(xué)生真正把握了找次品的方法，從而對得出的結(jié)論從感性認識上升為理性認識。在發(fā)現(xiàn)最優(yōu)策略的過程中完成了“悟”的第二步。

在反思運用中證實最優(yōu)策略

師：最優(yōu)策略是把物品總數(shù)平均分成3份。可是為什么平均分成3份，所稱的次數(shù)最少呢？請認真觀察表格，每一種分法在第一次稱后，一次可以排除幾個正品？第一種分法，在天平兩邊各放兩個，如果平衡，次品在哪里？

生：在剩下的5個之中。

師：那在天平上的4個就是正品，占總數(shù)的幾分之幾？

生：九分之四。

師：第二種分法可以排除幾個正品？占總數(shù)的幾分之幾？

生1：九分之五。

師：第三種分法呢？

生2：九分之六。

師：第四種？第五種？第六種？

生3：九分之四。

師：最后一種？

生4：九分之二。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：第三種能排除的正品占總數(shù)的比率最高。

師：一次可以排除的個數(shù)越多，那么稱的次數(shù)就越少。

師：我們再來解決從2187個零件中找一個次品的問題，至少幾次一定能找出次品？

……

通常的數(shù)學(xué)課堂里，在找到最優(yōu)策略后，接著就是反復(fù)的練習以促進學(xué)生加深對方法的記憶和運用?？墒莿⒗蠋煵]有急于讓學(xué)生去練習，而是采取了回顧反思的形式。“為什么平均分成3份，所需要的次數(shù)會最少？”這樣的一個問題讓學(xué)生陷入了沉思，也讓我們陷入了沉思——數(shù)學(xué)廣角中學(xué)習的內(nèi)容是不是學(xué)生知道方法并會運用方法就夠了？需要不需要讓學(xué)生弄懂為什么這樣做是最佳的？如何讓知識點升華？劉老師采取的方式是讓學(xué)生去證明自己找到的最優(yōu)策略的合理性，引導(dǎo)學(xué)生用“一次稱量后，排除的正品個數(shù)占總個數(shù)的幾分之幾”來驗證最優(yōu)策略，這種“證明感悟”的環(huán)節(jié)不僅加深了學(xué)生對最優(yōu)策略的理解，而且豐富了學(xué)生的情感體驗，使生澀的數(shù)學(xué)知識變得容易理解，更培養(yǎng)了學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習態(tài)度。學(xué)生在經(jīng)歷迷惑和挫折以后，在劉老師的引導(dǎo)點撥下真正明白了最優(yōu)策略的本質(zhì)，經(jīng)過思考后才產(chǎn)生覺悟。當然，個人認為“排除正品”的說法有一些別扭，是否可以改為“確定正品”，或是在第一次稱后將次品的范圍縮小到幾個，學(xué)生理解起來會更容易一些。

教育家馬寅初說：“對于書本知識，要深入鉆研，過細咀嚼，獨立思考，切忌囫圇吞棗，人云亦云，隨波逐流，粗枝大葉，淺嘗輒止?！眲⒗蠋熢诒菊n的教學(xué)中不僅重視結(jié)果，更重視了學(xué)習的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作的探究活動，循著“由淺入深、逐步推進、合作探索、深化理解、自主運用”的思路，讓學(xué)生在“猜想、對比、總結(jié)、驗證、運用”的過程中真正體會到“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想。自主的學(xué)習活躍了學(xué)生思維，激發(fā)了學(xué)生的靈感，學(xué)生在“感悟、領(lǐng)悟、覺悟”的三步中自由舒展，悟性靈動。（作者單位：江西省上饒市實驗小學(xué)）

□責任編輯 湯金娥

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