在“對比”中將思維引向縱深

有幸聆聽了特級教師徐斌的“解決問題的策略（畫圖法）”一課。給我留下了深刻的印象，徐老師巧用“對比”將學生的思維不斷引向縱深，讓學生真切地感受到運用策略的必要性，深刻領會了策略的內(nèi)涵，增強了學生解決問題的“策略意識”，現(xiàn)擷取幾個教學片段與大家一起分享：

感受策略，在對比中“激發(fā)需求”

出示：梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？

師：這道題和我們學習過的計算長方形面積的題目有什么不同？

生：長增加了，面積增加了。

師：這道題能直接求出原來花圃的面積嗎？光看文字敘述，你感覺怎么樣？

生1：不能直接求出原來花圃的面積。

生2：光看文字，一下子想不出辦法。

師：可用什么方法幫助我們更清楚地整理題中的條件和問題呢？

生：可以畫圖。

師：是??！畫圖就是解決問題的一種策略。請同學們根據(jù)題意先試著畫圖。

……

師：畫圖之后再來解決問題，你愿意看著原來的文字思考還是看著圖形思考？為什么？

生：看圖形思考，比較方便。

師：畫圖后，你發(fā)現(xiàn)哪些條件發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？

生：兩條長邊都增加了，面積也增加了，寬沒有改變。

師：比較原來花圃和增加部分，這兩個長方形有什么聯(lián)系？

生：增加部分長方形的長就是原來花圃的寬。

賞析當只有文字描述題目時，對學生是一個挑戰(zhàn)，因為大多數(shù)學生不能直接看出數(shù)量之間的關系，因此會產(chǎn)生畫圖的需要。在此，徐老師沒有直接讓學生畫圖，而是通過問題，誘發(fā)學生對畫圖策略的心理需求，使學生主動采用畫圖的策略。展示交流學生畫圖和思考的過程，能從學生學習體驗的角度把探究新知的過程充分呈現(xiàn)出來，加深學生對數(shù)量關系的認知。而徐老師很有深意的機警一問：“畫圖之后再來解決問題，你愿意看著原來的文字思考還是看著圖形思考？為什么？ ”將“看文字思考”和“看圖思考” 進行對比，巧妙的將數(shù)與形的意義對應起來，學生在對話交流中強烈感受到用“畫圖”解決問題的獨特價值，讓學生的思維由特殊邁向一般，將實際問題化為數(shù)學模型，體驗數(shù)學建模的思想方法。

體驗策略，在對比中“引入深刻”

李鎮(zhèn)小學的一塊長方形試驗田。如果這塊試驗田的長增加6米，面積比原來增加48平方米；寬增加4米，面積也比原來增加48平方米。你知道原來試驗田的面積是多少平方米嗎？

師：這道題長和寬都沒有告訴我們，怎么辦呢？

（生畫圖、討論、合作、交流）

師：經(jīng)過畫圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：根據(jù)“長增加6米，面積比原來增加48平方米”可以求出原長方形的寬，因為長增加時寬沒有變。48÷6=8（米）。

生：根據(jù)“寬增加4米，面積也比原來增加48平方米”可以求出原長方形的長，因為寬增加時長沒有變。48÷4=12（米）。

生：再用長乘寬的算式就可以求出原長方形的面積：8×12=96（平方米）。

師：表面上看，這道題似乎無法求解，但通過畫圖，可以清晰地看出長或?qū)捲黾优c面積增加之間的關系，從而分別求出長和寬并解決問題。

……

師：通過畫圖來解決問題，你有哪些體會？

生：畫圖能使我們看得更清楚。

生：畫圖能使我們解決問題變得簡單。

師：同學們已經(jīng)能夠在紙上畫出圖形幫助思考，已經(jīng)初步掌握了畫圖的策略。比較高級的畫圖策略是在頭腦里畫圖呢，大家一起來試試，好嗎？

賞析在長和寬都沒有告知的情況下，這道題對一部分學生來說有一定的難度。2011年版《數(shù)學課程標準》中關于“幾何直觀”的描述主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路和預測結(jié)果。徐老師引導學生畫圖、討論、合作、交流，“經(jīng)過畫圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？”只這一句話就輕松打開了學生思維的通道，讓學生敢于展示出自己思維的成果，綜合考慮面積增加與長、寬增加之間的對應關系，分別求出長和寬再解決問題。本題是對例題的延伸和發(fā)展，讓學生在不同情境中不斷對比感悟畫圖策略在解決有挑戰(zhàn)性問題中的作用。

“通過畫圖來解決問題，你有哪些體會？”這又讓學生很自然地再次體會到畫圖策略的優(yōu)越性，巧妙地借助“幾何直觀”發(fā)展了學生的觀察、比較、分析、推理能力。

活用策略，在對比中“拓展辨析”

張莊小學原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。擴建校園時，操場的長和寬各增加了8米。操場的面積增加了多少平方米？

出示題目時逐步分解進行：

（1）長增加8米，面積增加多少平方米？

師：你能在頭腦中畫出示意圖嗎？（生思考，并用手勢比畫）

師：你能列出算式計算出來嗎？

師根據(jù)學生的回答，板書：40×8=320（平方米）

（2）寬增加8米，面積增加多少平方米？

師：你能繼續(xù)在頭腦里畫出示意圖嗎？（生繼續(xù)思考，并用手勢比畫）

師根據(jù)學生的回答，板書：50×8=400（平方米）

（3）長和寬各增加8米，變成新的長方形。面積增加多少平方米？

師：大家在頭腦里畫好圖了嗎？你能很快說出面積增加多少嗎？

生：面積增加720平方米，列式是320+400=720（平方米）。

師：這樣的思考與列式對不對呢？我們可以把在頭腦中畫的圖再在紙上畫出來，驗證一下。（生在紙上畫圖驗證）

師：經(jīng)過頭腦里畫圖猜想和在紙上畫圖驗證，大家發(fā)現(xiàn)增加的面積是720平方米嗎？

生：不對！還有那個外面的“角”沒有算進去。

師：他說的那個“角”是什么圖形？面積是多少？

生：是正方形，面積是8×8=64（平方米）。

師：那么增加的面積應該是多少？

生：應該是720+64=784（平方米）。

師：仔細觀察我們畫出的圖，你還有不同的解決問題的方法嗎？

（展示學生的不同解法，并分別讓其解釋理由）

生1：（50+8）×（40+8）-50×40。

生2：（50+8）×8+40×8。

生3：（40+8）×8+50×8。

……

變式1：長和寬各減少8米，操場的面積減少多少平方米？

（生畫圖、討論，敘說思路，電腦演示）

變式2：長增加8米，寬減少8米，面積改變了嗎？為什么？

（生猜測，畫圖探究，電腦演示）

變式3：長減少8米，寬增加8米呢？為什么？

（生猜測，畫圖探究，電腦演示）

師：由此，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（生答略）

賞析徐老師遵循兒童思維發(fā)展的規(guī)律，讓學生在運用畫圖策略的過程中探索變化規(guī)律。關注學生所擁有的數(shù)學現(xiàn)實，引導學生在直覺思維的基礎上“步步深入”的是“誘導錯誤”。 他先讓孩子們在腦中畫圖，以文字的“誤導”讓學生輕易地獲得答案，再通過畫圖的策略尋找問題的關鍵，并通過對比讓學生充分感受到畫圖的價值。“變式”題的設計，更是通過不斷對比將學生的數(shù)學思維推向高潮：由“各增加”到“各減少”的演變，或由長增加（減少）同時寬減少（增加）相同長度而猜想面積變化情況，在對比中凸顯了數(shù)學教學最本真的追求，使學生的思維更加趨于嚴密，步步深入、層層遞進，為學生活用策略提供了理性、清晰的可能。

在本節(jié)課中，畫圖策略的教學不僅僅是為了解題，畫圖策略的形成也并非是一蹴而就的。運用畫圖策略能把復雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化。徐老師秉承讓學生尋求感悟思想方法的理念，經(jīng)歷了一個策略按需要產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過程，引導學生體會畫圖策略在解決問題中的價值，感受畫圖策略給解決問題帶來的便利，能在解決問題時根據(jù)問題特點主動使用畫圖策略。在對比、反思中升華了對策略的認識，真正讓學生形成了“學策略、用策略”的意識和能力。（作者單位：江蘇省如皋市白蒲小學）

□責任編輯 孫恭偉

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