基本思想：從“怎么看”到“怎么辦”

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2011年版的《數(shù)學課程標準》（修訂稿）將“數(shù)學基本思想”提升到與傳統(tǒng)的“雙基”并列的高度，在基礎教育界引起廣泛關注。其實，在2001年的課程標準實驗稿中就已經(jīng)明確提出關注數(shù)學基本思想的要求?？上У氖牵赀^去了，從實踐層面看，大家對數(shù)學基本思想的關注仍然不夠（或者說還不得法），此次修訂是對基本思想的進一步強化和凸顯。

反思過去的數(shù)學教學，我們一直充分關注基礎知識和基本技能。在這方面我們有很好的傳統(tǒng)，我們的不少成果都可以向全世界去推介，如張奠宙教授主編的《中國數(shù)學“雙基”教學》等。其實，數(shù)學學習內(nèi)容的四個領域：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率以及綜合與實踐，都應當以數(shù)學基本思想為統(tǒng)領，在具體內(nèi)容的理解和掌握過程中，教師要有意滲透數(shù)學思想，學生要用心體悟數(shù)學的基本思想。數(shù)學基本思想應當成為學習掌握各部分內(nèi)容的“魂”，成為形成數(shù)學概念、建立數(shù)學知識體系、思考和解決數(shù)學問題的主線。

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從根本上講，學習數(shù)學就是獲得思想，掌握數(shù)學的思維方式并用以指導工作和生活。國際科學教育委員會和國際數(shù)學教育委員會的聯(lián)合研究成果指出：“在內(nèi)容的選擇中，人們必須想到的不僅僅是我們希望學生獲得的知識，而且要想到跟這些問題結合在一起的思想?！?/p>

首先，從學生學習的角度看，以基本思想為目標，使學生有可能通過自己的發(fā)現(xiàn)習得新的數(shù)學知識內(nèi)容。在一個探究過程中，領悟數(shù)學概念和方法的來龍去脈及用途。數(shù)學思想方法與具體數(shù)學知識屬于上下位關系，當學生了解了一些數(shù)學思想方法后，再去學習相關的知識，就屬于下位學習。而學習心理學認為：“下位學習所學的知識具有足夠的穩(wěn)定性，有利于固著新知識點?！币虼耍瑢W生學習數(shù)學思想方法能更好地理解和掌握相關的數(shù)學內(nèi)容。

其次，從教師教學的角度看，有助于改變“只聽不想，只學不問，只知不識”的教學狀態(tài)。關注基本思想能夠促使大家思考：“教什么？怎么教？教得怎么樣？學什么？怎么學？學得怎么樣？”思考這些帶有根本性的問題，可為轉(zhuǎn)變教學模式、教學觀念、教學行為提供基本支點。一堂課往往就新在思維過程上，高就高在思想性上，好就好在學生參與活動的深度和廣度上。有思想深度的課，給學生留下長久的心靈激蕩和對知識的深刻理解，以后即使具體的知識忘了，但用數(shù)學思考問題的方法將長存，這樣的數(shù)學教學才具有真正的實效和長效，真正能提高人的數(shù)學素質(zhì)。

第三，從數(shù)學教育的角度分析，數(shù)學基本思想本身反映了數(shù)學作為“成長載體”的教育價值。使那些可以普遍遷移的，如興趣、好奇心（洞察力）、質(zhì)疑能力、探究能力、反思精神、合作精神、創(chuàng)新精神的養(yǎng)成成為可能的現(xiàn)實。從終身受益方面來說，對數(shù)學思想和方法重要性的認識，日本數(shù)學教育家米山國藏曾深刻地指出：“學生們在初中、高中等接受的數(shù)學知識，因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數(shù)學，所以通常是出校門后不到一兩年，很快就忘了。然而，不管他們從事什么業(yè)務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養(yǎng)了這方面的素質(zhì)的話），會隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。”他還強調(diào)：“縱然是把數(shù)學知識忘記了，但數(shù)學的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里，長久地活躍于日常的業(yè)務中?！?/p>

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根據(jù)我對身邊教師的了解，進一步強化對于基本思想的關注，其意義大家都是認可的，但是怎樣在教學活動中有效地關注基本思想，大家則普遍感覺困惑。我以為，作為一線教師，對數(shù)學思想的教學既不能忽視，也不能簡單“說教”，重要的是要有一種關注數(shù)學思想的意識，在日常教學中通過設計合適的情境、問題和活動等，來幫助學生感悟和體會。數(shù)學思想的教學應該采用教者“有意”而學者“無心”的方式，不必直接點明所蘊含的數(shù)學思想，要做到有機地、自然而然地滲透，著力引導學生在數(shù)學活動中，在學習數(shù)學、理解數(shù)學的進程中逐步感悟數(shù)學思想。要由淺入深、由表及里地逐步達到一定的高度，促進科學思維品質(zhì)的形成，實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的提升。從操作的角度看，我覺得在關注數(shù)學思想的過程中，至少要處理好以下三個方面的關系：

第一，要處理好基本思想與傳統(tǒng)“雙基”（基礎知識、基本技能）的關系。數(shù)學思想的滲透是數(shù)學教學的重要任務，但需要注意的是滲透數(shù)學思想與知識傳授、技能訓練是不可分離的，它們不是獨立的而是彼此融合的。數(shù)學思想對于具體的數(shù)學知識和技能具有巨大的凝聚作用，它是聯(lián)系知識的紐帶，具有“舉一綱而萬目張”的作用。如果說能力是知識的結晶，那么思想往往起著結晶核的作用。數(shù)學思想能夠?qū)⒎稚⒌闹R吸附起來，組成一個有機的整體，并且像滾雪球一樣越滾越大。從某種意義上說，數(shù)學思想一定是以知識為載體的，數(shù)學思想不可能單獨地、空洞地被傳授?；A知識和基本技能仍然是數(shù)學教學的主體，數(shù)學思想則是融入其中，因勢利導的滲透，不是長篇大論的論述，而是潛移默化、畫龍點睛的滲透?！半p基”是對象和結果，基本思想則蘊含在過程中。對象和結果是顯性的，過程里面的東西是隱性的，說不出來，是隱性的知識。數(shù)學思想蘊含在具體的知識之中，和具體知識緊密相連不可分割。它是數(shù)學知識的精髓，它是數(shù)學知識遷移的基礎和源泉，是溝通數(shù)學各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構建數(shù)學理論的基礎。

第二，要處理好基本思想與基本方法的關系。數(shù)學方法是在數(shù)學思想的指導下為了解決一類問題而使用的具有操作程序的手段與途徑，是數(shù)學思想的下位概念，也是通過一定內(nèi)容反映出來的，相對于具體方法，我們要更加關注反映數(shù)學最本質(zhì)內(nèi)核、具有指導作用的思想觀念。愛因斯坦說過：“在一切方法的背后，如果沒有一種生氣勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具?！闭n標的表述是基本思想而不是思想方法，因為思想方法更容易讓人聯(lián)想到具體的方法，如畫圖、列表等，其實“雙基”中已經(jīng)含有了這些具體的方法。這里的數(shù)學基本思想是“大思想”，是學生領悟后能夠終身受用的思想。數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，方法指向的是操作，思想是方法的靈魂，它指向于應用。數(shù)學思想與數(shù)學方法既有明顯的區(qū)別，更有緊密的聯(lián)系，弗利德曼說：“任何一種思想都是在科學的個別方法中—— 在認識和實踐方面體現(xiàn)出來?！?一般來說，數(shù)學方法是人們從事數(shù)學活動時的程序、途徑，是貫徹數(shù)學思想的技術手段，思想必須依賴方法來實現(xiàn)。數(shù)學思想相當于建筑的藍圖，數(shù)學方法則相當于建筑施工的手段。數(shù)學思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學方法是外顯的。數(shù)學思想比數(shù)學方法更深刻、更抽象地反映了數(shù)學對象間的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)學方法的進一步概括和提升。

第三，要處理好基本思想（抽象、推理和模型）內(nèi)部的關系。聯(lián)合國教科文組織對于數(shù)學基本思想的刻畫包括三個方面：抽象、推理和模型。抽象是從現(xiàn)實問題到數(shù)學問題的發(fā)展，其思維特征是概括能力強；推理是從數(shù)學問題到數(shù)學對象結論的發(fā)展，其思維特征是邏輯能力強；模型是多級多次抽象和推理的結果、對象、結論的呈現(xiàn)形式，其思維特征是應用能力強。這三者之間不是孤立的，單獨關注哪一條其價值都會大打折扣，它們是先后關聯(lián)，起承轉(zhuǎn)合，相互交織的。數(shù)學基本思想的學習是指學生通過再發(fā)現(xiàn)的方式習得的數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展過程中起支撐作用的思想。數(shù)學產(chǎn)生的過程是怎么樣的過程，往簡單點說，由現(xiàn)實提出問題，把問題通過抽象表示成數(shù)學問題，對數(shù)學問題通過抽象和進一步的推理，得到相應的數(shù)學結論，這種抽象可能一次完成不了，多次反復抽象，最終得到的東西，我們稱之為模型。所以，抽象、推理和模型一定是聯(lián)系在一起的，一定要交織在一起才能體現(xiàn)思想的價值。弗萊登塔爾認為數(shù)學的基本思想就是“數(shù)學化”，在一定意義上，我們可以認為：抽象+推理+模型≈數(shù)學化?，F(xiàn)實問題怎么成為數(shù)學問題，這就需要一步步去情境化，從情景問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，利用生活中積累的常識和已習得的知識與方法，去尋求問題的解決，在解決問題的過程中探索新的概念和方法，進入未知的數(shù)學領域，一步步地實現(xiàn)數(shù)學的抽象化及形式化。抽象、推理、模型都蘊含這個過程中，關注過程、關注數(shù)學化就能體現(xiàn)思想。

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我們的數(shù)學教學應該立足數(shù)學的本源挖掘數(shù)學思想，在知識的發(fā)生過程中體驗數(shù)學思想，在問題解決的過程中凸顯數(shù)學思想，在知識總結的過程中歸納數(shù)學思想。如果我們能夠回到原點去思考教育，從兒童出發(fā)去思考教育問題，也許我們的教學就已經(jīng)在關注思想了。我們應該認真地思考：兒童可持續(xù)發(fā)展需要些什么？數(shù)學教育能為兒童的發(fā)展提供些什么？假如他將來不從事有關數(shù)學的工作，今天的數(shù)學學習還能給他留下些什么？……我想，關注了這些，我們的教學就一定是有思想含量的。如果非得要用最簡潔的語言來描述一下“有思想”的課堂是什么樣的，我會選擇四個字來概括：“實”“事”“求”“是”。所謂“實”，就是課堂教學要樸實，淡化形式注重實質(zhì)；所謂“事”，就是課堂上學生要有事情做（操作+思維）；所謂“求”，就是教學要追求一種奮發(fā)向上，求索不止的精神狀態(tài)（追求境界、品味、探究、生成）；所謂“是”，就是課堂也要給孩子帶來真理、規(guī)律、法則、概念的收益。最后，我還想特別指出的是關注數(shù)學思想切忌泛化、定義化、標簽化，滿口“思想”的課，往往都缺乏真正的思想。思想是在推動、促進過程中起指導作用的理念，相對比較上位，具有隱性特征，“所知比能言多”，教學中不必去定義思想，你可以舉例，可以自己解讀，永遠無法直接“告訴”。（作者單位：江蘇省海安縣實驗小學）