你知道第一次數(shù)學(xué)危機(jī)嗎？

一、 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯定理

畢達(dá)哥拉斯是一位與孔子、釋迦牟尼幾乎同時(shí)代的古希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家. 出身于貴族家庭的他，年輕時(shí)曾到過埃及和巴比倫學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，之后到意大利的南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，后來和他的信徒們組成了一個(gè)叫“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位于一體的組織. 在中學(xué)的平面幾何中，有一個(gè)定理叫“畢達(dá)哥拉斯定理”（即“勾股定理”），就是以他的名字命名的.

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出一著名的觀點(diǎn)：“一切都是數(shù)”. 就是說不論什么事物，大到天體，小到塵埃，都有一定的長短、高低、大小、輕重等數(shù)量，沒有數(shù)量的事物是不存在的. 那么，數(shù)是如何構(gòu)成世界上的事物呢？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派解釋說：“數(shù)”是一種單位，它占有一定的空間，是有形的. 數(shù)的開端是“1”，“1”就是一個(gè)小點(diǎn)（·），“2”這個(gè)數(shù)是兩點(diǎn)的排列，即成為一條線（—），同樣，“3”這個(gè)數(shù)是面（△），而“4”這個(gè)數(shù)就是體（■）. 數(shù)的排列到了“4”，就出現(xiàn)了有形的事物. 由這四個(gè)數(shù)就構(gòu)成了土（立方體）、火（四面體）、氣（八面體）、水（二十四面體）四大基本要素，這四種要素的不同排列組合就構(gòu)成了世界上形形色色的具體事物. 可見，一切事物都由數(shù)構(gòu)成.

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比. 因此，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派非常重視數(shù)學(xué)的研究，他們基本建立了所有直線形的理論，包括三角形全等的定理、平行線理論、相似理論、三角形的內(nèi)角和定理等. 他們還發(fā)現(xiàn)了有名的“畢達(dá)哥拉斯三數(shù)”，即可以組成直角三角形三條邊的整數(shù)組，他們除了給出具體的特例外，還給出了一般法則：如果m為一直角邊，則m，■，■就是這樣的整數(shù)組. 他們證明了關(guān)于直角三角形斜邊與兩直角邊關(guān)系的定理，即著名的“畢達(dá)哥拉斯定理”（即“勾股定理”）：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和. 在當(dāng)時(shí)，中國人、巴比倫人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情況，但都沒有給出一般的證明. 因此，畢達(dá)哥拉斯和他的門徒在給出這條定理的證明后欣喜若狂，后來主張簡樸節(jié)儉的師徒們也破例舉行隆重、熱烈的慶賀. 據(jù)說，他們?cè)琢?00頭牛舉辦了盛大的“百牛宴”，以致有人議論說，人們喜悅，牛卻遭了殃. 因此這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”.

二、 無理數(shù)的出現(xiàn)猶如晴天霹靂

正當(dāng)興致未盡之時(shí)，他們的狂熱卻被一個(gè)人狠狠地潑了一盆冷水，這就是入會(huì)不久的希帕索斯. 希帕索斯是個(gè)勤奮好學(xué)的青年，他善于獨(dú)立思考，不盲目附和. 他學(xué)了勾股定理以后，在研究邊長為整數(shù)的正方形的對(duì)角線時(shí)發(fā)現(xiàn)，這條對(duì)角線（亦即等腰直角三角形的斜邊）既不能用整數(shù)表示，也不能用整數(shù)之比（分?jǐn)?shù)）表示. 證明如下：

證明：設(shè)等腰直角三角形的兩直角邊為a，斜邊的長度為約去公因數(shù)的兩整數(shù)m、n之比■.

∵m、n約去了公因數(shù)，∴二者中至少有一奇數(shù)（都是偶數(shù)則有公因數(shù)2）.

∵畢達(dá)哥拉斯定理，a2+a2=■2，即2a2=■. ∴m2=2a2n2.

∵2a2n2為偶數(shù)，則m2為偶數(shù)，

∴m必為偶數(shù).

又∵m、n中至少有一奇數(shù)，

∴n必是奇數(shù).

∵m是偶數(shù)，

∴設(shè)m=2p，∴m2=4p2=2a2n2，∴n2=■.

∵■是偶數(shù)，

∴n2為偶數(shù)，∴n也必是偶數(shù).

綜上可知，假如他們的信念是正確的，那么，同一數(shù)n既是奇數(shù)又是偶數(shù)，而我們知道一個(gè)數(shù)不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，因此，以上的循環(huán)必然是矛盾的，人們把這種循環(huán)稱為“希帕索斯悖論”.

在這一推導(dǎo)中得出明顯矛盾的結(jié)論，無非有兩種情況：一種是前提錯(cuò)誤，一種是推導(dǎo)過程不正確. 顯然，推導(dǎo)過程毫無差錯(cuò)，那么，問題只能出在前提上. 在推導(dǎo)過程中使用了兩個(gè)前提：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯派“一切現(xiàn)象可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”的信念，另一個(gè)就是畢達(dá)哥拉斯定理. 而畢達(dá)哥拉斯定理是已證明為正確的定理，所以，只能是他們的信念是不成立的. 因此，希帕索斯悖論的發(fā)現(xiàn)就如同一聲晴天霹靂，動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派整個(gè)信念大廈的基礎(chǔ)，引起其他畢氏門徒的極大恐慌. 他們決定立即封鎖消息. 可是如何能封鎖得??？一傳十，十傳百早就傳開了，這使得他們非常惱火，決定捉拿希帕索斯. 希帕索斯并不屈服，于是逃離了這個(gè)學(xué)會(huì). 一些激進(jìn)的門徒緊追不舍，結(jié)果在地中海的一條船上抓住了希帕索斯，并把他扔到了海里. 新發(fā)現(xiàn)的數(shù)由于和之前的所謂“合理存在的數(shù)”（即有理數(shù)）在學(xué)派內(nèi)部形成了對(duì)立，所以被稱作為無理數(shù).

“青山遮不住，畢竟東流去. ”希帕索斯可以拋到大海里淹死，但希帕索斯悖論是淹不死的. 作為直角三角形特殊情形的等腰直角三角形必然會(huì)成為研究者的課題，即使沒有希帕索斯，也會(huì)有另外一個(gè)人看到這一悖論，只不過是時(shí)間早晚而已. 人們很快發(fā)現(xiàn)，不能用整數(shù)或整數(shù)之比表示的數(shù)并非罕見的現(xiàn)象，如■、π、■等，隨著時(shí)間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為路人皆知的事實(shí)，這些事實(shí)像潮水一樣猛烈地沖擊著傳統(tǒng)觀念，促使人們重新審視“一切數(shù)都是整數(shù)或整數(shù)比”的有理數(shù)理論，這就是歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論，暫時(shí)消除危機(jī). 一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無理數(shù)存在的人才多起來. 到19世紀(jì)下半葉，現(xiàn)代意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根. 無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).