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    由一道課本習(xí)題出發(fā)

    2013-04-12 00:00:00劉東升
    初中生世界·八年級 2013年12期

    教材上的例習(xí)題都是經(jīng)過編寫專家精心構(gòu)造、苦心打磨的優(yōu)秀問題,如何發(fā)揮這些優(yōu)質(zhì)習(xí)題的價值,使我們“入寶山不空返”?下面我們從一道教材習(xí)題出發(fā),給同學(xué)們做些輔導(dǎo).

    課本習(xí)題(蘇科版八年級上冊,第88頁)

    如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E. 求AE、EC的長.

    【思路講解】不妨連接BE,由垂直平分線的性質(zhì),容易得到BE=AE,進一步,可在Rt△BCE中由勾股定理構(gòu)造方程. 設(shè)CE=x,則BE=AE=12-x. 得方程x2+92=(12-x)2

    解得,x=■.

    于是AE=■,CE=■.

    【成果擴大】我們很自然地聯(lián)想到,這個圖形中其他線段的長也能求嗎?

    比如AB是不是很快能得到?進一步AD、BD是不是也很容易求得?還有DE呢?不妨留給同學(xué)們自己思考.

    不滿是向上的階梯,上面我們稍加思考,就將問題的成果擴大(事實上,隨著學(xué)習(xí)的深入,在九年級我們還有其他方法快速求解上述線段的長),初步達到了“入寶山不空返”. 下面再給出一道同類問題,以期達到“做一題·會一類·通一片”的效果.

    變式拓展

    如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D是BC上一點,AD=BD,若AB=8,BD=5,則CD=______.

    【分析】圖中有兩個直角三角形,若設(shè)CD=x,分別在Rt△ABC和Rt△ADC中利用勾股定理列方程,可求得CD的值.

    解:設(shè)CD=x,在Rt△ABC中,由AC2

    +(CD+BD)2=AB2,得到AC2=AB2-(CD+BD)2

    =64-(x+5)2 ①

    在Rt△ADC中,由AC2+CD2=AD2,得到AC2=AD2-CD2=25-x2 ②

    比較①②兩式,得到64-(x+5)2=25-x2,解得x=1.4. 即CD的值為1.4.

    【點評】勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,利用勾股定理列方程思路清晰,直觀易懂.

    同步訓(xùn)練

    1. 如圖3,在鈍角△ABC中,BC=9,AB=17,AC=10,AD⊥BC的延長線于D. 求AD的長.

    2. 某校把一塊三角形的廢地開辟為動物園,如圖4所示,測得AC=80米,BC=60米,AB=100米.

    (1) 若入口E在邊AB上,且與A、B等距離,求入口E到出口C的最短距離;

    (2) 若線段CD是一條小渠,且D點在邊AB上,已知水渠的造價為10元/米,則D點距A點多遠,水渠的造價最低?最低造價是多少?

    參考答案

    1. 如圖1所示,設(shè)CD=x,在直角△ADC中,AD2=AC2-CD2=102-x2;

    在直角△ABD中,

    AD2=AB2-BD2=172-(9+x)2.

    所以172-(9+x)2=102-x2.

    解此方程,得x=6.

    所以AD=8.

    2. (1) 在△ABC中,因為AC=80,BC

    =60,AB=100,所以AC2+BC2=AB2,所以∠C

    =90°,即△ABC為直角三角形,故入口E到出口C的最短線路就是Rt△ABC斜邊的中線CE,又因為CE=■AB=50,所以入口E到出口C的最短線路長為50米;

    (2) 如圖所示,CD為Rt△ABC斜邊上的高時,CD最短,此時水渠造價最低. 所以CD×AB=AC×BC,所以CD=48米,在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,802=AD2+482,所以AD

    =64米. 所以D點距A點64米時,水渠的造價最低,最低造價為48×10=480(元).

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