關(guān)于丟番圖方程x3±27=py2

錢立凱，杜先存

(1.曲靖師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 曲靖 655011； 2. 紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

關(guān)于丟番圖方程x3±27=py2

錢立凱1，杜先存2

(1.曲靖師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 曲靖 655011； 2. 紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

利用初等方法得出了：p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))為奇素?cái)?shù)時(shí)，丟番圖方程x3+27=py2無正整數(shù)解；p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))為奇素?cái)?shù)時(shí)，丟番圖方程x3-27=py2無正整數(shù)解.

丟番圖方程；奇素?cái)?shù)；正整數(shù)解；同余式

方程：

x3±27=Dy2(x,y∈N,D>0，且無平方因子)

(1)

是一類重要的丟番圖方程，其整數(shù)解已有不少人研究過.D無6k+1型素?cái)?shù)的奇次冪因子時(shí)，1988年，曹玉書[1]給出了不定方程(1)的全部整數(shù)解；當(dāng)D無平方因子且不能被6k+1型素?cái)?shù)整除時(shí)，1996年，倪谷炎[2]給出了p=3時(shí)不定方程x3±p3n=Dy2的全部非平凡整數(shù)解；高麗和強(qiáng)春麗[3]給出了方程x3±27=28y2的全部整數(shù)解；李雙娥和林麗娟[4]給出了方程x3+27=7y2的全部整數(shù)解；田志勇和羅明[5]給出了方程x3+27=91y2的全部整數(shù)解；李雙娥[5]給出了方程x3+27=26y2的全部整數(shù)解.本文用初等方法給出方程(1)無解的充分條件.

引理1[6]設(shè)p是奇素?cái)?shù)，如果p=3(3k+1)(3k+2)+1，其中k是非負(fù)整數(shù)時(shí)，則丟番圖方程x3+1=3py2無正整數(shù)解.

引理2[7]設(shè)n≡6(mod13)，D=3n(n+1)+1為奇素?cái)?shù)，則不定方程x3-1=3Dy2無正整數(shù)解.

定理1 若p=3(3k+1)(3k+2)+1為奇素?cái)?shù)，其中k∈N，且k≡1,2(mod4)，則丟番圖方程：

x3+27=py2

(2)

無正整數(shù)解.

證明ix≡0(mod3)時(shí)，易知y≡0(mod9)，所以設(shè)x=3x1，y=9y1，則(2)式可化為x13+1=3py12，由引理1知方程x13+1=3py12無正整數(shù)解，故方程(2)無正整數(shù)解.

ii當(dāng)x≡0(mod3)時(shí)，(2)式可化為(x+3)(x2-3x+9)=py2，又gcd(x+3,x2-3x+9)=1，且p為奇素?cái)?shù)，故方程(2)可以分解為以下兩種可能的情況：

情形i：x+3=pu2，x2-3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1

情形ii：x+3=u2，x2-3x+9=pv2，y=uv，gcd(u,v)=1

以下分別對這兩種情形進(jìn)行討論：

對情形i,由二式得x=-5，x=0，x=3，x=8，代入第一式均不成立.故情形i無方程(2)的正整數(shù)解.

對情形ii,由一式得x=u2-3，因?yàn)閡2≡0,1(mod4) ，所以x≡1,2(mod4)，故x2-3x+9≡3(mod4)，又因?yàn)閤2-3x+9為奇數(shù)，p為奇素?cái)?shù)，故v2為奇數(shù)，即v2≡1(mod4).又p=3(3k+1)(3k+2)+1≡3k2+3k+3(mod4)，而k≡1,2(mod4)，故p≡1(mod4)，則pv2≡1(mod4) ，故3≡x2+3x+9=pv2≡1(mod4)，矛盾.故情形ii無方程(2)的正整數(shù)解.

綜上有方程(2)在題設(shè)條件下無正整數(shù)解.

定理2 若p=3k(k+1)+1≡1(mod8)為奇素?cái)?shù)，k≡6(mod13)，則丟番圖方程：

x3-27=py2

(3)

無正整數(shù)解.

證明i因?yàn)閤≡0(mod3)，所以x3-27≡0(mod27)，故py2≡0(mod27)，又因?yàn)閜是奇素?cái)?shù)，故y2≡0(mod27)，即y≡0(mod9)，故設(shè)x=3x1，y=9y1，則方程(3)可化為x13-1=3py12，又因?yàn)閜為奇素?cái)?shù)，由引理2知方程x13-1=3py12無正整數(shù)解，故方程(3)無正整數(shù)解.

ii當(dāng)x≡0(mod3)時(shí)，因?yàn)榉匠?3)可化為(x-3)(x2+3x+9)=py2，又gcd(x+3,x2--3x+9)=1，且p為奇素?cái)?shù)，故方程(3)可以分解為以下兩種可能的情況：

情形i：x-3=pu2，x2+3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1

情形ii：x-3=u2，x2+3x+9=pv2，y=uv，gcd(u,v)=1

對于情形i，由二式得x=-8，x=5，x=-3，x=0，代入第一式均不成立.故情形i無方程(3)的正整數(shù)解.

對于情形ii，由一式得x=u2+3，因u2≡0,1,4(mod8)，故x≡3,4,7(mod8)，所以x2+3x+9≡3,5,7(mod8).又因?yàn)閤2+3x+9為奇數(shù)，p為奇素?cái)?shù)，所以v2為奇數(shù)，則v2≡1(mod8)，又p=3k(k+1)+1≡1(mod8)，則pv2≡1(mod8).所以有3,5,7≡x2+3x+9=pv2≡1(mod8)矛盾,故情形ii無方程(3)的正整數(shù)解.

綜上有方程(2)在題設(shè)條件下無正整數(shù)解.

[1] 曹玉書.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1988(2):4-8.

[2] 倪谷炎.關(guān)于丟番圖方程x3±p3n=Dy2[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1996(6):658-664.

[3] 高麗，強(qiáng)春麗.關(guān)于不定方程x3±27=28y2[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2013,33(1):1-3.

[4] 李雙娥，林麗娟.關(guān)于不定方程x3+27=7y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,24(4):325-327.

[5] 田志勇，羅明.關(guān)于不定方程x3+27=91y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,29(1):11-13.

[6] 陳曉化，李志蘋.關(guān)于Diophantine方程x3+1=3py2[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009,23(4)：44-45.

[7] 杜先存，史家銀，趙金娥.關(guān)于不定方程x3-1=py2[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,38(5):748-751.

OntheDiophantineEquationx3±27=py2

QIAN Li-kai1，DU Xian-cun2

(1.School of Teacher Education,Qujing Normal University,Qujing 655011,China； 2.Teachers’Educational College，Honghe University，Mengzi 661199，China)

Letpbe an odd prime. In this paper，we prove that the indefinite equationx3+27=py2has no positive integer solutions, wherep=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4)).In addition, we also prove that the indefinite equationx3-27=py2has no positive integer solutions, wherep=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod13)).

Diophantine equation; odd prime;positive integer solution; congruence

2013-04-03.

云南省教育廳科研基金(2012C199).

錢立凱(1982- )，男(白族)，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育及初等數(shù)論的研究.

O156

A

1008-8423(2013)02-0182-02