《初等數(shù)論》課程教學(xué)改革探析

曾福庚

(瓊州學(xué)院理工學(xué)院，海南三亞572022)

0 引言

數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門很古老的數(shù)學(xué)分支，其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分?jǐn)?shù)、素?cái)?shù)(即整數(shù))分布以及數(shù)論函數(shù)等內(nèi)容，統(tǒng)稱初等數(shù)論(elementary number theory)［1］.我國(guó)師范類院校大都開(kāi)設(shè)有這門課程.本校初等數(shù)論［2］是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，這門課程在大學(xué)第6－7學(xué)期開(kāi)設(shè)，教學(xué)時(shí)數(shù)為72學(xué)時(shí).與其它數(shù)學(xué)專業(yè)課程比較來(lái)看初等數(shù)論似乎很簡(jiǎn)單，但真正教好、學(xué)好它并不容易.

本校數(shù)學(xué)專業(yè)主要以培養(yǎng)中小學(xué)教育人才為主，初等數(shù)論的內(nèi)容與中小學(xué)教學(xué)以及奧數(shù)聯(lián)系非常緊密.提高初等數(shù)論課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，一方面，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和畢業(yè)后的科學(xué)研究和實(shí)踐有重要意義;另一方面，可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，并且使他們能比較扎實(shí)地在較高層次上掌握中小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識(shí)，進(jìn)而提高他們的教學(xué)能力.

此外，初等數(shù)論的理論和方法已廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代密碼學(xué)、算子理論、代數(shù)編碼、最優(yōu)設(shè)計(jì)、計(jì)算方法、組合代數(shù)及信息科學(xué)等諸多領(lǐng)域.因此，學(xué)習(xí)這門課程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要.

目前高等院校中的初等數(shù)論課程教學(xué)內(nèi)容相對(duì)陳舊，教學(xué)方法比較單一.而且在日常生活中的應(yīng)用不明顯.這些問(wèn)題對(duì)于提高數(shù)論的教學(xué)質(zhì)量而言十分不利.同時(shí)對(duì)培養(yǎng)具有靈活思維能力、具有創(chuàng)造力的未來(lái)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也更加不利.為此，本文針對(duì)初等數(shù)論課程的特點(diǎn).從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段三方面對(duì)數(shù)論課程的教學(xué)改革進(jìn)行了探討.

1 教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)

在教學(xué)過(guò)程中，要有重難點(diǎn)分析.突出與實(shí)際生活聯(lián)系密切的教學(xué)內(nèi)容，淡化傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的陳舊部分.突出教材中與中小學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密、能夠啟迪學(xué)生思維、經(jīng)常用于競(jìng)賽數(shù)學(xué)命題的章節(jié)，如奇數(shù)與偶數(shù)、整除、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、不定方程求解、同余理論、進(jìn)制、歐拉函數(shù)、費(fèi)馬定理等知識(shí)點(diǎn)的教學(xué).此外，在培養(yǎng)學(xué)生興趣方面，介紹同余理論的時(shí)候可以引入密碼學(xué)的相關(guān)知識(shí)，如講述凱撒密碼和RSA密碼體制.

2 教學(xué)方法的改進(jìn)

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，是一門枯燥乏味的學(xué)科.因而要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，就要采用各種手段使他們喜歡上學(xué)數(shù)學(xué).

2.1 增加數(shù)學(xué)史的知識(shí) 高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”.數(shù)論中一些未解決的難題被稱為“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)フ?初等數(shù)論的萌芽、發(fā)生、發(fā)展直到完善，經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期，這其中有著很多數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn).甚至有的數(shù)學(xué)家為了堅(jiān)持真理，獻(xiàn)出了畢生的精力.在授課過(guò)程中，講到某一部分時(shí)，可以把這一時(shí)期一些數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)、小故事講給學(xué)生.例如，講質(zhì)數(shù)時(shí)，介紹哥德巴赫猜想，該猜想后來(lái)被希爾伯特列為世界上23個(gè)數(shù)學(xué)難題之一，猜想的論證過(guò)程更是充分地體現(xiàn)了合作精神的重要性，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明了“1+2”是迄今為止世界上的最好結(jié)果;講不定方程時(shí)，可以給同學(xué)們介紹中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，比古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖研究不定方程求解的問(wèn)題至少早了200年.公元初的五家共井問(wèn)題是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.講同余方程時(shí)，介紹我國(guó)的《孫子算經(jīng)》是世界上最早提出同余方程的著作;此外，進(jìn)行整數(shù)及相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，可適當(dāng)?shù)亟榻B我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚、陳景潤(rùn)、潘承洞及王元等在數(shù)論發(fā)展方面所取得的卓越成就，這些數(shù)學(xué)史中都包含很多有趣的故事.實(shí)踐證明，把這些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容穿插到初等數(shù)論教學(xué)中，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而對(duì)數(shù)學(xué)不感到那么枯燥乏味.

2.2 運(yùn)用類比法［3］初等數(shù)論中，有相當(dāng)多的知識(shí)內(nèi)容是適宜用類比法組織教學(xué)的，譬如可將整數(shù)的整除性理論與一元多項(xiàng)式的整除性理論作類比，將最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)作類比，將同余式性質(zhì)與等式的性質(zhì)作類比，將剩余類的運(yùn)算和性質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)作類比，將一次同余方程(組)與一次方程(組)進(jìn)行類比等等.在介紹新概念、新方法和新結(jié)論及其證明的過(guò)程中，將新知識(shí)和學(xué)生已有的知識(shí)進(jìn)行類比聯(lián)系，新知識(shí)的出現(xiàn)和探究會(huì)顯得較為自然，學(xué)生接受起來(lái)相對(duì)輕松、容易，無(wú)形中降低了學(xué)生的認(rèn)知難度，同時(shí)也增加了學(xué)習(xí)的趣味性.例如筆者在傳授孫子定理時(shí)，會(huì)將孫子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式聯(lián)系起來(lái)，首先列入建立插值公式一節(jié)，這樣有助于學(xué)生加強(qiáng)注意有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系的意識(shí).

2.3 啟發(fā)式教學(xué)法 數(shù)論課程的傳統(tǒng)教學(xué)普遍采用的基本模式是“嚴(yán)格的邏輯推理”，而忽視問(wèn)題的來(lái)龍去脈.教材采取的基本格式大多數(shù)是“概念—定理—推論一實(shí)例”，內(nèi)容的完整性、系統(tǒng)性強(qiáng)，但學(xué)生抓不住重點(diǎn)與難點(diǎn)，難以激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，從而導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生無(wú)法領(lǐng)悟知識(shí)的真正內(nèi)涵.啟發(fā)式教學(xué)不僅能夠提高學(xué)生理解和接受新知識(shí)能力，而且還能提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)有利于加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這種教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)是加強(qiáng)了師生的互動(dòng)性［4］.例如:在講費(fèi)馬小定理時(shí)可以從實(shí)際的計(jì)算整數(shù)高次冪的同余問(wèn)題引入重要的費(fèi)馬小定理，然后仔細(xì)地討論歷史上著名的尋找完全數(shù)的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題雖然古老，但卻是一個(gè)將唯一分解，正約數(shù)之和函數(shù)以及同余理論串起來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題，它很好地解釋了整除理論的用處、梅森素?cái)?shù)的來(lái)源以及同余在簡(jiǎn)化計(jì)算上的作用.接下來(lái)為了推廣費(fèi)馬小定理，很自然地引入歐拉函數(shù)，歐拉定理和原根.這樣，就能使學(xué)生真正理解課本上形式化推理體系背后所包含的實(shí)際內(nèi)涵.

2.4 引入雙語(yǔ)教學(xué)［5］雙語(yǔ)教學(xué)［6］是完成基礎(chǔ)英語(yǔ)學(xué)習(xí)后向?qū)I(yè)英語(yǔ)過(guò)渡的橋梁，目標(biāo)顯然是提高學(xué)生的(專業(yè))外語(yǔ)能力和閱讀(專業(yè))英文文獻(xiàn)的能力，培養(yǎng)和造就基礎(chǔ)理論寬厚、專業(yè)知識(shí)扎實(shí)、外語(yǔ)交流通暢的復(fù)合型人才.通過(guò)雙語(yǔ)教學(xué)使數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生掌握初等數(shù)論的基本知識(shí)，達(dá)到一般普通本科院校中文教學(xué)的要求，同時(shí)，能比較熟練的用英語(yǔ)表述數(shù)論問(wèn)題，閱讀數(shù)論書(shū)籍，并能熟練應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)資源了解國(guó)際數(shù)論研究的成果.此外，在雙語(yǔ)教學(xué)過(guò)程中，提高教師的英語(yǔ)能力和科研能力，形成“以教促研、以研促教”的教學(xué)科研局面，打造一支團(tuán)結(jié)協(xié)作、銳意進(jìn)取、與國(guó)際接軌、富有創(chuàng)新能力的高素質(zhì)教學(xué)科研隊(duì)伍.

3 教學(xué)手段的改進(jìn)

3.1 應(yīng)用多媒體技術(shù)［7］多媒體教學(xué)直觀生動(dòng)，圖文并茂，能夠培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.數(shù)學(xué)是集嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、創(chuàng)造性于一身的科學(xué)，而通過(guò)多媒體課件可以合理安排課堂信息量，掌握好課堂時(shí)間節(jié)奏，逐漸讓學(xué)生適應(yīng)多媒體課堂教學(xué)的氣氛，同時(shí)，也可與學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?dòng)，及時(shí)掌握學(xué)生對(duì)授課內(nèi)容的知識(shí)的渴望.當(dāng)然應(yīng)用多媒體技術(shù)的同時(shí)不能忽略傳統(tǒng)教學(xué)手段，實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)這門學(xué)科，必須將現(xiàn)代化教學(xué)手段與傳統(tǒng)教學(xué)手段互補(bǔ)，才能充分發(fā)揮其作用.一些定理的證明、題目的演算推導(dǎo)過(guò)程、做題中需要注意的地方，這些東西還是用板書(shū)在黑板上演示效果會(huì)更好一些.學(xué)生可以更好地體會(huì)做題的思路、步驟.在初等數(shù)論教學(xué)過(guò)程中，堅(jiān)持“以學(xué)生為中心，教師為主導(dǎo)，手段為輔助”的原則，充分將傳統(tǒng)的教學(xué)模式與多媒體教學(xué)有效結(jié)合起來(lái)，做到手段服從內(nèi)容、方法服從效果，這樣才能在有限的課堂教學(xué)時(shí)間里，最大限度地發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體課件在提高教學(xué)質(zhì)量方面的作用.

3.2 嘗試多教師分段教學(xué) 傳統(tǒng)的教學(xué)安排是一名教師教授一個(gè)班級(jí)一個(gè)學(xué)期的初等數(shù)論課程.與傳統(tǒng)的教學(xué)相比，多教師分段教學(xué)是指:安排2名左右教師按照一定的順序教授一個(gè)班級(jí)一個(gè)學(xué)期的該門課程的各章節(jié)內(nèi)容.當(dāng)然，前提是這些教師之間分工明確，教學(xué)目標(biāo)相同，教學(xué)方法要各有所長(zhǎng)，最后才能達(dá)到該門課程的終極目標(biāo).該教學(xué)方式的好處在于不僅可以發(fā)揮各任課教師的專項(xiàng)長(zhǎng).初等數(shù)論多教師分段教學(xué)可以這樣分配任務(wù)，一名教師主要致力于中小學(xué)數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)介紹基本的理論知識(shí)，另一名教師則主要介紹與其他學(xué)科交叉的更高深的知識(shí).通過(guò)不同任課教師的不同的教學(xué)方法，讓學(xué)生保持對(duì)這門課程的新鮮感，有效阻止了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的審美疲勞，達(dá)到提高課堂教學(xué)質(zhì)量的目的.

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是瓊州學(xué)院本科辦學(xué)的最早專業(yè)之一，專業(yè)的發(fā)展已初具規(guī)模而且正在一步一步地完善.初等數(shù)論作為一門基礎(chǔ)性的課程，其教學(xué)質(zhì)量直接關(guān)系到中小學(xué)教師人才的培養(yǎng).根據(jù)瓊州學(xué)院設(shè)立“國(guó)際化、開(kāi)放型、特色鮮明的品牌大學(xué)”的宏偉目標(biāo)的指導(dǎo)方針，加強(qiáng)課程隊(duì)伍建設(shè)，繼續(xù)應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)深化教學(xué)改革，使初等數(shù)論課程成為具有學(xué)院特色，深受學(xué)生喜愛(ài)的教學(xué)示范課程.

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［2］潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1992.

［3］謝紅梅.淺議初等數(shù)論教學(xué)中如何踐行類比法［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012(6):61－65.

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