關(guān)于泛函分析教學的幾點建議

楊靜宇，金美蘭

（1.赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.養(yǎng)正高級中學，吉林 長春 130052）

泛函分析起源于變分法、偏微分方程邊值問題等，概況了經(jīng)典的數(shù)學分析等函數(shù)論課程中的重要概念、問題與成果，綜合了分析、代數(shù)和幾何等學科而形成，因此它與拓撲學及抽象代數(shù)共同構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學的“三基”.基于泛函分析在現(xiàn)代數(shù)學中的重要性，它已經(jīng)成為高等院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎課，這門課程主要講述無限維抽象空間和這類空間上的映射的性質(zhì).泛函分析這門課程內(nèi)容抽象、理論深刻、論述精密，所涉及的內(nèi)容、技巧和方法對數(shù)學專業(yè)與非數(shù)學專業(yè)的學生來說都很重要，應用十分廣泛.因此這門課程已成為數(shù)學工作者從事教學與科研必不可少的知識基礎.然而，一方面由于泛函分析本身難度較大，另一方面隨著就業(yè)形勢的變化多數(shù)高校轉(zhuǎn)變辦學理念以適應社會需求，使得這門專業(yè)課程在諸多數(shù)學專業(yè)課程中被邊緣化，成為數(shù)學專業(yè)高年級的專業(yè)限選課，課時也隨之壓縮至54.在嚴峻的就業(yè)新形勢下，如何改革泛函分析的教學，使之在專業(yè)教學及就業(yè)中發(fā)揮其積極重要作用，是一個重要課題[1-4].下面結(jié)合本院數(shù)學專業(yè)教學實際，提出泛函分析教學改革的幾點建議.

1 明確專業(yè)培養(yǎng)目標，優(yōu)化教學內(nèi)容

在招生與就業(yè)以及學校由師范院校轉(zhuǎn)型到綜合型大學的新形勢下，我院數(shù)學與應用數(shù)學、概率與統(tǒng)計兩個專業(yè)的學生培養(yǎng)目標大體分位三類：教育類，培養(yǎng)能夠勝任中小學數(shù)學教學的教學人員及其他教育工作者；應用類，培養(yǎng)勝任統(tǒng)計、精算工作的應用型人才；考研類，培養(yǎng)繼續(xù)攻讀更高層次的學位，從是科研工作的科研型人才.學生是教學的主體，我們應該根據(jù)不同類型學生的需要對教學內(nèi)容進行優(yōu)化.為此，在實際教學過程中將泛函分析分為三個模塊：基礎模塊；應用模塊；提高模塊.

基礎模塊，泛函分析中最基本的內(nèi)容，主要講述三個空間（度量空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間），四個定理（泛函延拓定理、開映射定理、閉圖像定理、逆算子定理）及賦范線性空間上有界線性算子（泛函）的相關(guān)性質(zhì).這部分內(nèi)容對數(shù)學專業(yè)的所有學生來說都是必需的.通過這些內(nèi)容的學習使學生掌握泛函分析的重要思想，進而滿足后續(xù)課程對泛函分析知識的需求.

應用模塊，由于這部分與實際問題聯(lián)系密切，其內(nèi)容可由任課教師與相關(guān)專業(yè)教師咨詢而定.這部分適合應用類及考研類.通過這部分內(nèi)容的學習使學生具有初步應用泛函分析知識分析問題解決問題的能力.

提高模塊，針對考研類同學設定.該部分內(nèi)容應該更深入，可以適當?shù)倪x取經(jīng)典外文書籍中的內(nèi)容進行講解，甚至可以考慮雙語教學，以此為學生進一步深造打下堅實基礎.

2 改革教學方法

泛函分析這門課程內(nèi)容抽象，理論性強，欲達到良好的教學效果必須采取恰當?shù)慕虒W方法，照本宣科只會影響泛函分析的教學效果和質(zhì)量.結(jié)合自身實際，我認為應做的一下幾方面.

2.1 注重整體的把握

在講授泛函分析課程時，應該指導學生把握泛函分析的全局，對泛函分析課程有整體的把握，讓學生知道泛函分析這門課程主要要干什么.有如大海里航行，要了解基本航行.

2.2 注重與熟悉知識的聯(lián)系與區(qū)別

泛函分析雖然主要介紹抽象的無窮維空間及其上的映射性質(zhì)，但它與古典分析有著極為深刻的聯(lián)系，所以在講授泛函分析時可以嘗試著與有限維空間的數(shù)學理論對照著講，正所謂“無窮來自有窮”.很多泛函分析中的定義、理論都是有窮維空間中的定義、理論在無窮維的推廣.例如泛函分析中的抽象向量的范數(shù)就是我們說的平面（空間）中向量長度概念的推廣.眾所周知向量長度滿足下面三個基本性質(zhì)：（1）對每一個向量x，都有一個實數(shù)||x||與之對應，||x||≥0并且||x||=0當且僅當x=0,||x||成為向量x的長度.（2）對任意實數(shù)α及任意的向量x都有||αx||=|α|||x||.（3）對任意的向量x,y都有||x+y||≤||x||+||y||.我們把這三條基本性質(zhì)抽出來，把定義在無窮維抽象空間上滿足上述三個條件的實值函數(shù)||||成為是范數(shù)函數(shù)，而||x||成為x的范數(shù).這樣定義的范數(shù)擴展了向量長度的定義，普通向量的長度只是它的一種特殊形式，有很多表面看起來不是長度的東西可以理解為長度，比如一定情況下，勢能可以理解為位移函數(shù)的長度.類似的有限維空間上的函數(shù)推廣到無限維空間就是泛函分析中的泛函與算子，平面幾何中的平行四邊形公式||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2)是泛函分析中判別賦范線性空間成為內(nèi)積空間的充要條件.但這里要注意不是所有有限維空間的結(jié)果都可以如上的平行推到泛函分析中.例如在數(shù)學分析中有“有界無窮序列一定有收斂的子列”，但在無窮維空間有界集不具有這樣的性質(zhì)，這時在無窮維空間引入了“列緊集：集合中的任何點列都有收斂的子列”且有“賦范線性空間X中的有界集是列緊集的充要條件是是有限維空間”.通過這樣的講解方式，不但可以消除學生對抽象的泛函分析的畏懼感，同時可以加深學生對泛函分析中的概念、結(jié)論的理解與掌握.

2.3 實時的引入反例

2.4 精選作業(yè)題

要結(jié)合課堂教學的內(nèi)容，挑選合適的作業(yè)題，讓不同類型的學生完成，旨在鞏固所學的知識.

3 改進教學方式及教學手段

傳統(tǒng)的教學方式都是老師講，學生記.這種傳統(tǒng)的教學方式完全忽視了學生的學習主動性，不利于學生自學能力的培養(yǎng)，同時也不利于學生發(fā)展的需要.我們在教學的過程中應該讓學生積極地參與其中，而不僅僅是被動的接受.因此我們可以結(jié)合教學內(nèi)容，設定一些恰當?shù)膯栴}，引導學生對將要學習的內(nèi)容進行預習，也可以考慮將一些簡單的內(nèi)容布置給學生，讓其準備在下次課給同學講解.通過這些教學方式，一方面可以培養(yǎng)學生的自學能力，在預習或備課的過程中發(fā)現(xiàn)不懂得問題，帶進課堂及時解決，提高學習效率.另一方面可以使學生參與到教學中來，成為積極地參與者，提高學生的學習積極性.

泛函分析這門課程我們通常采取板書這樣的教學手段.通過老師書寫板書與講解可以集中學生的注意力，帶動學生思考，加深學生對知識的理解與掌握，同時可以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度.這種教學手段是講授數(shù)學專業(yè)基礎理論課不可替代的.但目前一方面學時壓縮，另一方面考慮到對抽象的概念、理論直觀形象化，完全的板書授課可能不能很好的達到預期教學效果，這時我們要借助多媒體這種新興的教學手段.一些定義、定理的內(nèi)容以及一些直觀的模型我們可以制作成課件在課堂上演示，這樣省去了書寫的時間，但定理的證明過程還是要采取板書的形式帶領(lǐng)學生逐步推導.完全的多媒體教學在數(shù)學理論課的教學中是行不通的.板書與多媒體這對傳統(tǒng)與現(xiàn)代教學手段的恰當結(jié)合，有利于達到良好的教學效果.

總之在招生就業(yè)的新形勢下，《泛函分析》這門課程的教學要順應形勢，不斷地優(yōu)化教學內(nèi)容，改革教學方法，提高教學質(zhì)量，為培養(yǎng)“應用型、創(chuàng)新型、復合型”人才打下堅實的理論基礎.

〔1〕榮嶸.《實變函數(shù)與泛函分析》課程改革初探[J].科技風.

〔2〕藍師義.對泛函分析教學改革的思考與建議[J].廣西民族大學學報（自然科學版），2009（1）：94-96.

〔3〕陳白隸，溫淑萍，向雪萍.泛函分析教學的幾點建議[J].新疆師范大學學報（自然科學版），2006（4）：92-98.

〔4〕程其襄，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔5〕胡適耕，等.泛函分析[M].北京：高等教育出版社—施普林格出版社，2001.

〔6〕J.B.Conway,A Course in Functional Analysis(Second Edition),Springer-Verlag,2003.