基于混聯(lián)機構(gòu)的多自由度風(fēng)洞動態(tài)試驗平臺運動學(xué)研究

李士佩，李鷺揚，牛瑞霞，蔣波

(揚州大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 揚州 225127)

0 引言

在風(fēng)洞［1］試驗中，被測量的飛行器動態(tài)地任意改變其飛行姿態(tài)，這是飛行器風(fēng)洞試驗的一個非常重要的試驗項目?；炻?lián)機構(gòu)可以滿足多自由度風(fēng)洞動態(tài)實驗的要求，其中混聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)學(xué)與運動學(xué)主要集中在機構(gòu)的運動正反解問題［2-5］、工作空間、奇異位行和靈巧度分析等方面［6-7］。風(fēng)洞試驗運動平臺是風(fēng)洞試驗時重要的運動裝置，該平臺提供實驗?zāi)Ｐ退璧奈恢煤妥藨B(tài)。該平臺性能的優(yōu)劣對風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)的獲得有著重要影響，因為不僅要求風(fēng)洞流場干擾小，不影響模型氣動外形模擬，還要求結(jié)構(gòu)簡單、動態(tài)性能好、體積小、成本低和應(yīng)用范圍廣等［8］。本文描述了五自由度混聯(lián)機構(gòu)的工作原理，并運用數(shù)值分析法［9-12］對模擬實驗平臺并聯(lián)部分位置正反解進行了分析。因為該機構(gòu)的并聯(lián)部分與串聯(lián)部分相互影響，因此在得到位置正反解的基礎(chǔ)上求得并聯(lián)部分與串聯(lián)部分相互關(guān)系非常關(guān)鍵，從而推出模擬平臺的末端在風(fēng)洞試驗中的位姿。

1 風(fēng)洞實驗運動平臺工作原理及坐標(biāo)系的建立

1.1 運動原理

風(fēng)洞實驗運動平臺采用串并聯(lián)混合的方式，實現(xiàn)實驗?zāi)Ｐ唾|(zhì)心在風(fēng)洞固定點的五自由度的運動，其原理如圖1 所示。

圖1 風(fēng)洞實驗運動平臺

圖1 為運動平臺的實物圖，上平臺和下平臺之間為三條支鏈，每條支鏈由一個電動缸和兩個回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，三條支鏈布置在平行于xoy 平面的三個平面內(nèi)，形成一個三自由度的平面并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)可以沿x 和y 方向移動和繞垂直于平面z 軸的轉(zhuǎn)動，下平臺可以沿著x 軸移動。通過該并聯(lián)機構(gòu)，可以改變飛行器模型在風(fēng)洞中的角度變化，同時，補償由于采用尾支桿而引起的運動平臺的位移變化。在運動平臺上有一個回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，其回轉(zhuǎn)軸線MN 在平面xoy 內(nèi)。彎刀裝置繞該軸線做回轉(zhuǎn)運動，控制飛行器模型的偏航角。彎刀裝置的另一端通過一個回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接尾支桿，尾支桿通過做繞體軸的滾轉(zhuǎn)運動控制飛行器模型的滾轉(zhuǎn)角。而該平臺的模型體軸上的點M 是不變的，做偏航運動的時候沿著軸ML 轉(zhuǎn)動。

1.2 坐標(biāo)系的建立

建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系{B}:坐標(biāo)原點與模型質(zhì)心重合，z 軸方向垂直于3-RPP 機構(gòu)所在平面，x 軸方向與下平臺導(dǎo)軌方向一致;3-RPP 機構(gòu)下平臺連體坐標(biāo)系{F}:方向與{B}一致，初始位置為下平臺大致處于軌道中點處，坐標(biāo)原點在最左側(cè)鉸鏈F0 處，與模型后端對應(yīng)，即BPFROG=BPF0;3-RPP 機構(gòu)動平臺連體坐標(biāo)系{M}:初始方向與與{B}一致，原點與模型質(zhì)心重合;試驗連體坐標(biāo)系{T}:原點位于模型質(zhì)心處，x 軸與模型體軸一致，初始方向為將{B}繞其z 軸旋轉(zhuǎn)至x 軸與模型體軸一致;彎刀連體坐標(biāo)系{W}:原點與模型質(zhì)心重合，初始方向與模型連體坐標(biāo)初始方向一致。

2 運動平臺混聯(lián)機構(gòu)閉環(huán)反饋的正解

2.1 運動學(xué)關(guān)系

串－并混聯(lián)機構(gòu)如圖1 所示，并聯(lián)部分的上平臺通過三個驅(qū)動電動機分別連接動平臺頂點Ai和底座的頂點Bi，P 和R 分別表示動平臺原點在參考坐標(biāo)系中的位置矢量和姿態(tài)的變換矩陣。根據(jù)動平臺的姿態(tài)角和移動位移就可解出電動缸的矢量，即:

式中:ai，bi分別是兩平臺頂點在各自坐標(biāo)系中的位置矢量。Lis是并聯(lián)機構(gòu)電動缸支撐桿的矢量，(i=1，2，3)。

根據(jù)式(1)，各動平臺頂點的速度可寫成如下形式:

式中:ω——在參考坐標(biāo)系中動平臺的角速度;

式(2)寫成矩陣型式為:

Jai，x——是動平臺廣義速度到動平臺上頂點速度的雅克比矩陣。

將動平臺上頂點速度向電動缸伸縮桿矢量方向投影，可得它們的伸縮速度:

lni——電動缸伸縮桿的單位矢量，lni=。

將式(2)代入式(4)有:

由于并聯(lián)機構(gòu)有三個電動缸伸縮桿，可以將式(5)寫成矩陣形式:

Jlx——并聯(lián)機構(gòu)廣義速度到電動缸伸縮桿伸縮速度的雅克比矩陣。

a)運動學(xué)正解

運動學(xué)正解的問題是分析和設(shè)計并聯(lián)機構(gòu)的關(guān)鍵，本節(jié)對試驗平臺的并聯(lián)部分的運動學(xué)正解算法進行研究。并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解就是在已知電動缸伸縮桿長度的情況下求解動平臺的姿態(tài)，通常并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解比運動反解復(fù)雜。這里主要借鑒Stewart 機構(gòu)的運動學(xué)正解算法，求解非線性方程組:

用牛頓-泰勒展開法求解上述非線性方程組(7)，此方程組也可表達(dá)如下:

式中:li0——電動缸伸縮桿的初始長度(mm);

Δli——電動缸伸縮桿的變化量(mm);

gki——電動缸伸縮桿在動平臺上的接觸點在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，k=1，2，3;

bki——底座在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，k=1，2，3。

令:

解如式(9)所示的非線性方程組，其中q1，q2，q3分別為上平臺的繞z 軸的轉(zhuǎn)角，沿x 和y 軸的位移，即可求出動平臺的當(dāng)前姿態(tài)q。將fi(q) 在初始位置q0附近進行泰勒級數(shù)展開，并取其線性部分得:

進一步令:Δq=q－q0和Δqj=qj－q0j(j=1，2，3)，則式(10)可寫為:

式(11)可以看成是Δqi(i=1，2，3)為未知數(shù)的方程組，其系數(shù)矩陣用J1表示為:

如果J1是非奇異矩陣，則方程組(3－ 12)有唯一解Δq。

若Δq 可以滿足精度的要求，即Δq≤ε(ε 為要求精度)，則q=q0+Δq 是所要求的正解;否則令q0=q，根據(jù)新的賦值重復(fù)計算電動缸伸縮桿的長度li0(1，2，3)和系數(shù)矩陣J1，然后根據(jù)式(11)再次求解Δq，直到Δq 在要求的精度范圍內(nèi)為止。以上是用牛頓—泰勒展開法求解非線性方程組(7)的數(shù)值方法，即牛頓迭代法。求系數(shù)矩陣J1是這種解法的關(guān)鍵。

對式(9)求qj(j=1，2，3)的偏導(dǎo)數(shù)可得:

由以上的條件可知:

其中:

為方便以下的計算令cα=cosα，sα=sinα。根據(jù)式8與式15 可得到

b)運動平臺混聯(lián)機構(gòu)與串聯(lián)的關(guān)系

這里主要研究的是模型的俯仰角θ，偏航電動機轉(zhuǎn)角β和滾轉(zhuǎn)電動機轉(zhuǎn)角為γ 之間的關(guān)系，由上述的公式(16)可以求出動平臺的俯仰角α。根據(jù)時間軸上每一節(jié)點對應(yīng)模擬平臺的俯仰角θ(常量)及偏航電動機角度φ，滾轉(zhuǎn)電動機轉(zhuǎn)角為γ，求得模型連體坐標(biāo)系{T}在基礎(chǔ)坐標(biāo)系{B}中的姿態(tài)表示，其轉(zhuǎn)動為先繞z 軸轉(zhuǎn)α，后繞y 軸轉(zhuǎn)φ，所以:

3 機構(gòu)動平臺混聯(lián)機構(gòu)閉環(huán)反饋的反解

設(shè)動平臺上的3 個關(guān)節(jié)點分別表示為M1，M2，M3，下平臺上3 個關(guān)節(jié)點分別表示為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，動平臺俯仰角α，3 個電動缸的長度分別為l1，l2，l3。

單獨的俯仰運動可以通過三個電動缸的伸縮和下平臺的移動來完成，時間軸上每一節(jié)點對應(yīng)的動平臺俯仰角α(動平臺的俯仰角與模型的俯仰角相差35°)及下平臺連體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點在{B}中的坐標(biāo)值BPFROG，x 為坐標(biāo)值的初始值即F0 點至模型質(zhì)心的x 方向的初始距離;y 方向坐標(biāo)值y 為F0 點至模型質(zhì)心的y 方向距離;z 坐標(biāo)值為零。

根據(jù)坐標(biāo)系的設(shè)定有:

式中:

因此有:

以得到:

具體表達(dá)式如下:

因此，若已知α，下平臺連體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點在{B}中的坐標(biāo)值BPFRoG和動平臺Mi 各點在{B}中的坐標(biāo)值可求出各個電動缸的長度，反解得以求出。

4 運動平臺正反解分析

4.1 正反解問題的解法選擇

由于本文討論的五自由度混聯(lián)機構(gòu)的復(fù)雜性，從而該機構(gòu)位置正反解的數(shù)學(xué)模型是比一般線性方程組復(fù)雜的非線性方程組。因此，對這種機構(gòu)位置正反解的數(shù)學(xué)模型進行解法分析［5］是有必要的，通過以往對位姿正反解的研究成果的了解，這種復(fù)雜數(shù)學(xué)模型的解法主要有兩種:

1)解析法:解析法從一組約束方程中通過消元除去未知變量，可以得到單變量的多項式方程。末端執(zhí)行器的所有位姿的可能包含了該一元多項式方程的實根。但是解析法不能明確地看出變量的數(shù)量關(guān)系、不夠直觀。

2)數(shù)值法:數(shù)值法的數(shù)學(xué)模型比較簡單，如果要求有一個實解，有好的初值的多數(shù)情況下，直接用非線性方程的求解算法，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，計算速度比較快。

對于復(fù)雜的非線性方程組的求解［6-7］，大多數(shù)采用數(shù)值的方法，即通過特定的算法，利用計算機對方程組求解，求得方程組的數(shù)值解。如果采用直接消元法，即使可以得到一個變量的單個方程，但是會出現(xiàn)大量增根和數(shù)值不穩(wěn)定的情況，因此一般不采用直接法求解。本文用數(shù)值解法的基本過程是根據(jù)混聯(lián)機構(gòu)先建立數(shù)學(xué)模型、討論數(shù)值計算方法、程序設(shè)計、上機計算出結(jié)果。

本文采用修正牛頓迭代法對五自由度混聯(lián)機構(gòu)的并聯(lián)部分正反解方程組的求解實現(xiàn)以上的算法，并求得并聯(lián)與串聯(lián)部分的關(guān)系。應(yīng)用Matlab［8］軟件編制程序來求解本文所分析的五自由度混聯(lián)機構(gòu)的位置正反解方程組［9］。通過定義機構(gòu)初始參數(shù)，確定計算機位置正反解函數(shù)，進入修正牛頓迭代計算，確定正反解函數(shù)的Jacobi矩陣［10-11］等過程對計算進行了功能模塊化。計算機就可以進行規(guī)定次數(shù)的迭代，并輸出每一次迭代后的數(shù)值，最終得到理想的數(shù)值。

4.2 機構(gòu)數(shù)值解法實例

為了驗證以上程序，本節(jié)給出了對五自由度混聯(lián)機構(gòu)在風(fēng)洞試驗中末端模型位姿的實例，當(dāng)風(fēng)洞模擬實驗平臺做振幅是30°，支撐角是35°時的俯仰運動及振幅為20°，俯仰角度是10°的偏航運動時候各個電動缸的長度值如表1 所示。

表1 五自由度機構(gòu)位置反解數(shù)字迭代實例

5 結(jié)語

本文介紹了風(fēng)洞試驗虛擬樣機的運動原理，并將混聯(lián)機構(gòu)用于風(fēng)洞試驗，實現(xiàn)了飛行器在風(fēng)洞中多自由度的運動，突破了以往運動試驗裝置只能實現(xiàn)一個或兩個自由度的限制。這里分析的五自由度混聯(lián)機構(gòu)是根據(jù)得到的混聯(lián)機構(gòu)的位置正反解的方程組，將并聯(lián)和串聯(lián)的運動分析巧妙的結(jié)合起來以求得末端執(zhí)行器的位姿與電動缸各支鏈長度的變化關(guān)系。在修正牛頓迭代法的基礎(chǔ)上利用了Matlab 數(shù)學(xué)工具對其運算的過程進行編程，最后得到需要的數(shù)據(jù)。這種方法簡化了試驗?zāi)Ｐ偷倪\動分析，是機構(gòu)運動學(xué)分析的一個突破。

［1］賀德馨.風(fēng)洞天平［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2001.

［2］代小林.三自由度并聯(lián)機構(gòu)分析與控制策略研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009:38-42.

［3］韓書葵，方躍法，任紅亞.一種五自由度并聯(lián)機器人奇異位形［J］.中國安全科學(xué)學(xué)報，2005，15(11):28-29.

［4］John J.Craig.Introduction to robotics:Mechanics and Control，Third Edition.［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2006.19-70.

［5］袁東錦.計算方法—數(shù)值分析［M］.南京:南京師范大學(xué)出版社，2007.149-162.

［6］陳文家，趙明揚，房立金.基于四自由度并聯(lián)機構(gòu)的數(shù)控機床研究［J］.揚州大學(xué)學(xué)報，2001，4(2):50-54.

［7］Dai Xiaolin，Huang Qitao etal.Accuracy synthesis of Stewart platform used in testing system for spacecraft docking mechanism.International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation，2009，vol3:7-10.

［8］張志涌，楊祖櫻.MATLAB 教程R2010a［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2010.71-111.

［9］王軍.并聯(lián)機器人機構(gòu)運動學(xué)分析及控制系統(tǒng)的研究［D］.南京:南京農(nóng)業(yè)大學(xué)，2007.5-16.

［10］G.P.He，X.L.Tan，X.H.Zhang et al.Modeling，motion planning，and control of one-legged hopping robot actuated by two.arms.Mechanism and Machine Theory，2008，43(1):33-49.

［11］D.Stewart.A platform with Six degrees of Freedom［J］.Proceedings of the IMechE，1965，66(15):371-385.

［12］Liu H T，Huang T，Mei J P，et al，Kinematic design of a 5-DOF hybrid robot with large workspace/limb-stroke ratio，ASME Journal of Mechanical Design，2007，129:530-537.