一類(lèi)求解廣義特征值問(wèn)題的瀑布型多重網(wǎng)格法

白建軍，胡 曄 （呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 呂梁033000）

筆者研究滿足Lipschiz條件的常系數(shù)連續(xù)電磁場(chǎng)Maxwell方程組［1］，即求向量場(chǎng)u滿足：

式中，Ω∈R2為連通多項(xiàng)式域，?Ω表示Ω∈R2的邊界；n表示?Ω的外法向單位向量。通過(guò)有限元離散，最終將式 （1）中特征值的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解線性方程組的問(wèn)題，對(duì)于大型矩陣計(jì)算問(wèn)題，筆者以并行保域逆迭代法為光滑子，結(jié)合新外推方法提出一類(lèi)求解廣義特征值的方法。

1 有限元離散

為了離散式 （1），先將區(qū)域Ω作三角剖分。根據(jù)變分原理［2－5］，由有限元逼近［4］將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

定義：

則式 （2）和式 （3）可導(dǎo)成A X＝λB X形式。其中，A和B都是n×n實(shí)矩陣。

2 光滑過(guò)程并行保域逆迭代算法 （PDS）

周樹(shù)荃［6－7］等提出并行保域逆迭代算法有效避免了漏根、迭代過(guò)程的不收斂等缺點(diǎn)，提高了解的精度。

算法1（對(duì)稱不定矩陣LDLT分解在標(biāo)準(zhǔn)存儲(chǔ)格式下的并行計(jì)算） 由于矩陣A∈Rn×n具有對(duì)稱性，利用該算法求單位三角矩陣L＝（lij）和對(duì)角方陣D，使A＝LDLT成立。當(dāng)i＞j時(shí)，lij將元素Aij覆蓋；當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，di將元素Aij覆蓋。

步5 k←k＋1，如果k＞n，停止；如果k≤n，執(zhí)行步2。

步4 利用Rayleigh商處理近似的特征值，使其盡量精確化

步8 控制迭代，設(shè)kk為任意大于零的整數(shù) （一般設(shè)置為6）如果k≤kk，執(zhí)行步2；若不滿足k≤kk，執(zhí)行以下步驟。

3 瀑布型多重網(wǎng)格法 （NCGMGE）

文獻(xiàn) ［8］只能對(duì)u進(jìn)行更新，而不能更新λ。而以特征值共軛梯度法［9］為基礎(chǔ)的特征值瀑布型多重網(wǎng)格方法 （NCGMGE）［10］，在循環(huán)迭代過(guò)程中，能使 （λ，u）中的λ和u同時(shí)得到更新。具體算法如下：

end

4 新的瀑布型多重網(wǎng)格算法 （WPECMG）

為了提高運(yùn)算的收斂速度，文獻(xiàn) ［11］提出并改進(jìn)了外推方法，筆者結(jié)合新外推方法，以PDS法為光滑子給出求解特征值問(wèn)題一類(lèi)新的瀑布型多重網(wǎng)格算法 （WPECMG）。具體算法如下：的精確解

end

根據(jù)文獻(xiàn) ［12］可以得到，在有限元進(jìn)行離散以后，對(duì)于模小的特征值可以得到逼近程度較好的解。

5 數(shù)值試驗(yàn)

考慮模型如 （1）所示，僅考慮二維平面下的方程，求解區(qū)域?yàn)棣福剑?，a］×［0，b］，方程組的真解為：

表1 PDS、NCGMGE與WPECMG的數(shù)值結(jié)果

表2 PDS、NCGMGE與WPECMG的時(shí)間結(jié)果

［1］Arbenz P，Geus R．Solving Maxwell eigenvalue problems for accelerating cavities ［J］．Phys Review ST Accel Beams，2001 （4）：20－23．

［2］王生楠 ．有限元素法中的變分原理基礎(chǔ) ［M］．西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2005．

［3］林金木 ．有限單元法變分原理與應(yīng)用 ［M］．長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社，2003．

［4］Hiptmair R．Canonical construction of finite element［J］．Math Comput，1999，68 （5）：1325－1346．

［5］Watanabe K，Igarashi H．Robustness of nested multigrid method for edge－based finite elem－Ent analysis ［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2009，45 （3）：1088－1091．

［6］周樹(shù)荃，曾嵐 ．求解廣義特征值問(wèn)題的并行保域行列式查找法 ［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，27（2）：148－154．

［7］周樹(shù)荃，戴華 ．求解對(duì)稱帶狀矩陣廣義特征值問(wèn)題的保域行列式查找法 ［J］．南京航空學(xué)院學(xué)報(bào)，1985，17（4）：23－30．

［8］Chen C M，Hu H T，Xie Z Q，et al．Analsis of extrapolation cascadic multigrid method ［J］．Science in china Series A：mathematics，2008，51 （8）：1349－1360．

［9］劉寒兵 ．一種有效的廣義特征值分析方法 ［J］．固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，24（4）：419－426．

［10］匡前義，李郴良，李明 ．一種求解廣義特征值的瀑布型多重網(wǎng)格方法 ［J］．云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，18（3）：202－205．

［11］Chen C M，Xie Z Q，Li C L，et al．Study of A New Extrapolation Multigrid Method［J］．湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，30（2）：1－5．

［12］Weiss B，Biro O．Edge element multigrid solution of nonlinear magnetostatic problems ［J］．Comple，2001，20 （2）：357－365．