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    某些一致倒結(jié)構(gòu)的亞純多葉函數(shù)類的系數(shù)估計

    2016-11-11 02:04:36馬麗娜李書海
    關(guān)鍵詞:星象赤峰圓盤

    馬麗娜,李書海

    (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

    某些一致倒結(jié)構(gòu)的亞純多葉函數(shù)類的系數(shù)估計

    馬麗娜,李書海

    (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰024000)

    利用從屬關(guān)系定義了某些新的一致倒結(jié)構(gòu)的星象,凸象,近于凸和擬凸函數(shù)類,并得到了相應(yīng)函數(shù)類的系數(shù)估計.其結(jié)果改進(jìn)并推廣了一些已有結(jié)論.

    解析函數(shù);亞純;從屬;倒結(jié)構(gòu);系數(shù)估計

    1 引言

    設(shè)H表示單位圓盤U={z∈C:|z|<1}內(nèi)解析且具有如下形式的函數(shù)族:

    特別地,H中單葉函數(shù)全體記作A.

    設(shè)函數(shù) f(z)和 g(z)在單位圓盤 U內(nèi)解析.如果存在 U內(nèi)的Schwarz函數(shù) ω(z),滿足:ω(0)=0,|ω(z)|<1且f(z)=g(ω(z)),則稱f(z)從屬于g(z),記為f(z)?g(z)(見文獻(xiàn)[1]).特別地,如果g(z)在U上是單葉的,則

    令Σp表示在去心單位圓盤U?={z∈C:0<|z|<1}=U{0}內(nèi)解析的一類亞純函數(shù)族,具有如下形式:

    特別的,記Σ1=Σ.

    令P表示一類解析函數(shù),P中的函數(shù)p(z)具有如下形式:

    函數(shù)f∈A稱為倒星象函數(shù),如果滿足如下條件:

    該函數(shù)類由文獻(xiàn)[2]于1992年引入并研究,1996年Kang等[3]推廣了其工作.此后,越來越多的學(xué)者對倒星象函數(shù)的情況進(jìn)行了研究.

    2012年,文獻(xiàn)[4]將倒星象函數(shù)類推廣到亞純單葉函數(shù)類上.近來,Ma等[5,6]將倒星象函數(shù)類推廣到亞純p葉函數(shù)類上.

    本文利用從屬關(guān)系,定義了亞純p葉函數(shù)類上的β階δ一致倒星象、一致倒凸象、一致近于凸、一致擬凸函數(shù)類如下.

    定義1.1設(shè)

    定義1.2設(shè)

    本文對新引入的一致倒結(jié)構(gòu)的星象、凸象、近于凸、擬凸函數(shù)類,分別進(jìn)行了系數(shù)估計,所得結(jié)論改進(jìn)并推廣了一些已有結(jié)果.

    2 主要結(jié)果

    下面內(nèi)容中,除非特別說明,假設(shè)-1≤D≤B<A≤C≤1,δ≥0,δ≠1及pβ≠1.為了證明本文結(jié)論,需要如下引理.

    引理2.1[7]令δ≥0及-1≤B<A≤1.如果?(z)在U內(nèi)解析且滿足則有

    證明 假設(shè)?-1=|?-1|ei?,?∈R,則|?-1|=(?-1)e-i?.從而得證.

    引理2.2[8]如果p(z)∈P且則

    引理2.3[9]設(shè)ω(z)=c1z+c2z2+···在單位圓盤U內(nèi)解析且|ω(z)|≤|z|,則

    引理2.4[10]設(shè)ω(z)=c1z+c2z2+···在單位圓盤U內(nèi)解析且|ω(z)|≤|z|,則對于任意復(fù)數(shù)t,有

    當(dāng)函數(shù)ω(z)=z或ω(z)=z2時,上面不等式等號成立.

    定理2.1若f∈MSδ(p;β;A,B),則對于k≥1,有

    推論2.1設(shè)f∈MKδ(p;β;A,B),則對于k≥1且k≠p,有

    定理2.2設(shè)f∈MCSδ(p;β;A,B,C,D),則對于k≥1且k≠p,有

    推論2.2設(shè)函數(shù)f∈MCKδ(p;β;A,B,C,D),則對于k≥1且k≠p,有

    定理2.3設(shè)f(z)∈MSδ(p;β;A,B),則對于任意復(fù)數(shù)μ,有

    證明 設(shè)f(z)∈MSδ(p;β;A,B),定義1.1和(4),根據(jù)從屬關(guān)系定義,存在一個Schwarz函數(shù)ω(z)=c1z+c2z2+···,滿足ω(0)=0及|ω(z)|<1且

    推論2.3設(shè)f(z)∈MKδ(p;β;A,B),則對于任意復(fù)數(shù)μ,有

    定理2.4設(shè)f(z)∈MCSδ(p;β;A,B,C,D),則對于任意復(fù)數(shù)λ,有

    特別的,當(dāng)A=C=1,B=D=-1時,有如下估計.

    推論2.4設(shè)f(z)∈MCSδ(p;β;1,-1,1,-1),則對于任意復(fù)數(shù)λ,有

    [1]Duren P L.Univalent Functions[M].New York:Springer-Verlag,1983.

    [2]Yamakawa R.Certain subclasses of p-valently starlike functions with negative coefficients,in Current Topics in Analytic Function Theory(Srivastava H M and Owa S,Editors)[M].London:World Scientific Publishing Company,1992:393-402.

    [3]Kang J S,Owa S,Srivastava H M.Quasi-convolution properties of certain subclassses of analytic functions[J].Bull.Belg.Math.Soc.,1996,3:603-608.

    [4]Sun Yong,Kuang Weiping,Wang Zhigang.On meromorphic starlike functions of reciprocal order α[J].Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society,2012,32(5):469-477.

    [5]Ma Lina,Li Shuhai.Some new subclasses of meromorphically multivalent functions defined by means of the Liu-Srivastava operator[J].Bulletin of Mathematical Analysis and Applications,2013,5(2):19-41.

    [6]Ma Lina,Li Shuhai.Some properties of certain subclasses of meromorphically multivalent functions associated with the genaralized hypergeometric function[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2014,38(3):423-431.

    [7]Li Shuhai,Tang Huo,Ao en.Majorization properties for certain new classes of analytic functions using the Sǎlǎgean operator[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,63:632-643.

    [8]Geol R M,Mehrok B C.A subclass of starlike functions with respect to symmetric points[J].Tamkang Journal of Mathematics,1982,13(1):11-24.

    [9]Fekete M,Szeg? G.Eine Bermerkung uber ungeraade schlichte funktionen[J].Journal of the London Mathematical Society,1933,8(2):85-89.

    [10]Keogh F R,Merkes E P.A coefficient inequality for certain classes of analytic functions[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1969,20(1):8-12.

    2010 MSC:30C45,30C55

    Coefficient estimates for certain classes of uniformly reciprocal meromorphic multivalent functions

    Ma Lina,Li Shuhai
    (School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Inner Mongolia024000,china)

    Some new classes of meromorphically uniformly reciprocal starlike,convex,close-to-convex and quasi-convex functions defined by subordination are introduced and the coefficient estimates of the classes are obtained.The results present here improve and generalize some known results.

    analytic functions,meromorphical,subordination,reciprocal,coefficient estimate

    O174.51

    A

    1008-5513(2016)05-0515-10

    10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.008

    2016-07-01.

    內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)??茖W(xué)研究項目(NJZY16251);國家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金(2014MS0101);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)??茖W(xué)研究項目(2015NJZY240).

    馬麗娜(1982-),碩士,講師,研究方向:調(diào)和分析與復(fù)分析.

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