s-正規(guī)子群與有限群結(jié)構(gòu)*

王 超，錢方生

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

有限子群的性質(zhì)和群的結(jié)構(gòu)之間有著非常密切的關(guān)系.因此常常利用子群的性質(zhì)來研究群的結(jié)構(gòu).繼1996年王燕鳴［1］引進(jìn)了c-正規(guī)子群的概念后，又有兩個(gè)比c-正規(guī)性弱的概念被相繼提出:弱c- 正規(guī)［2］和s- 正規(guī)［3］.這些概念是近年來群論研究的熱點(diǎn)，許多群論學(xué)者利用這些概念在有限群的研究方面做了大量的工作.s-正規(guī)要比子群的c-正規(guī)性和弱c-正規(guī)性弱.在該文中，利用s-正規(guī)子群的性質(zhì)給出了有限群可解與P-冪零群的充分條件.該文中所有群為有限群，使用的符號(hào)及術(shù)語是標(biāo)準(zhǔn)的.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 稱群G的一個(gè)子群H為s-正規(guī)如果存在K??G，使得G=HK，H∩K≤HSG，HSG是包含在H中G的最大的次正規(guī)子群.

定義2 有限群G是π-閉群，若G有正規(guī)的 Hall π-子群.

定義3 稱K為G的二次極大子群，如果K是G的某個(gè)極大子群的極大子群.

引理1［3］設(shè)G是有限群，則:

(1)如果H s-正規(guī)于G且H≤M≤G，那么H s-正規(guī)于M.

(2)設(shè)K?G且K≤H，則H s-正規(guī)于G當(dāng)且僅當(dāng)H/K s-正規(guī)于G/K.

引理2［4］奇數(shù)群必為可解群.

引理3［4］設(shè)G為有限群，P∈Sylp(G)若NG(P)=CG(P)，則G為p-冪零群.

引理4［5］設(shè)G是有限群，p∈π(G)，P∈Sylp(G)且(|G|，p2-1)=1若存在P的二極大子群在G中s-正規(guī)，則G/Op(G)為P-冪零，特別地G可解.

引理5［6］若群G的p-子群，P??G，則P≤Op(G).

引理 6［4］設(shè) H 是群 G的 Hall子群，且H??G，那么H?G.

引理7［7］令N(≠1)是有限群G的可解正規(guī)子群.如果G的每個(gè)包含在N中的極小正規(guī)子群Li(i=1，…，s)均不包含在φ(G)中，那么N的Fitting子群F(N)=L1×L2×…×Ls.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是群，H為G的Hall π-子群，M為H某個(gè)極大子群且|H:M|=p(p為素?cái)?shù)).若M在G中s-正規(guī)且(|G|，p-1)=1，則G∕Oπ(G)為π-閉群.

證明 (i)若Oπ(G)≠1，由引理1容易驗(yàn)證G∕Oπ(G)滿足定理?xiàng)l件，因G/Oπ(G)≌(G∕ Oπ(G))/Oπ(G/Oπ(G))， 由 歸 納 法 知G∕Oπ(G)是π'-閉群.

(ii)若Oπ(G)=1，由條件M在G中s-正規(guī)，則存在K??G，使得G=MK且M∩K≤MSG≤Oπ(G)=1，于是 M ∩ K=1，又因?yàn)?|H:M|=p，所以 |Kp|=P故 Kp∈ Sylp(K)，因Nk(Kp)/Ck(Kp)同構(gòu)于Aut(Kp)的子群，故其階必整除(|G|，p-1)，因(|G|，p-1)=1所以Nk(Kp)=Ck(Kp)，故由引理3知K是p-冪零的.設(shè)Kp'是K的Hall p'-子群，顯然Kp'也是G的Hall p'子群，則Kp'char K??G，故由引理6知Kp'?G，故G有正規(guī)的Hall π -子群，故G是π'-閉的.

定理2 設(shè)G是非單有限群，H為G的偶階冪零Hall π-子群.如果存在H的某個(gè)極大子群M的Sylow2-子群在G中s-正規(guī)，則G為可解群.

證明 設(shè)M2∈Syl2(M)，由條件知存在K??G，使得G=M2K且M2∩K≤(M2)SG.

(1)若(M2)SG=1，則G=M2K且M2∩K≤(M2)SG=1，因?yàn)镠冪零，故|H:M|=p.由M2∩K=1，有|K|=2n或奇階，由文獻(xiàn)［4］定理5.5知K是2-冪零的，故K是可解的.設(shè)K2'是K的Hall 2'-子群，顯然K2'也是G的 Hall 2'-子群，則K2'char K??G，故K2'?G，從而G/K2'的群階為2的冪，故G/K2'為可解群，由K2'可解知G可解.

(2)若(M2)SG≠1，由引理5知(M2)SG≤O2(G)，若O2(G)≠1，則H/O2(G)是G/O2(G)的冪零Hall π-子群，且由引理1存在H/O2(G)的極大子群M/O2(G)的Sylow2-子群M2/O2(G)在G/O2(G)中s-正規(guī)，故由歸納法G/O2(G)中s-正規(guī)，故由歸納法可知G/O2(G)可解，由O2(G)可解，所以G可解.若O2(G)=1，則(M2)SG=1，由(1)知 G可解.

定理3 設(shè) G是有限群，p∈ π(G)，P∈Sylp(G)且(|G|，p2-1)=1，若存在P的二極大子群在G中s-正規(guī)且NG(P)是p-冪零的，則G是p-冪零的.

證明 假設(shè)定理結(jié)論不真，G是極小階反例，則有:

(1)Op(G)≠1.若Op(G)=1，設(shè)P1是P的二次極大子群，由題設(shè)知P1s-正規(guī)于G，即存在K??G使得 G=KP1且P1∩ K≤ (P1)SG≤Op(G)=1，于是P1∩K=1，從而|Kp|=p2，設(shè)Kp∈ Sylp(K)，因 Nk(Kp)/Ck(Kp)同構(gòu)于Aut(Kp)的子群，因p2階群為循環(huán)群或初等交換群，所以Aut(Kp)能夠整除(p2-p)(p2-1)=p(p-1)2(p+1).由Kp交換得Kp≤Ck(Kp)，所以p不能整除Nk(Kp)/Ck(Kp)的階，又由條件(|G|，p2-1)=1，從而 |Nk(Kp)/Ck(Kp)|=1，即Nk(Kp)=Ck(Kp)，故由引理3知K是p-冪零的.設(shè)Kp'是K的Hall p'-子群，顯然Kp'也是G的Hall p'-子群，則Kp'char K??G，故由引理6知Kp'?G，故G是p-冪零的，矛盾.

(2)Op'(G)=1.若Op'(G)≠1，考慮商群G/Op'(G).由引理1知G/Op'(G)符合定理?xiàng)l件，故由|G|的歸納法知G/Op'(G)是p-冪零的.因此G是p-冪零的，矛盾.

(3)G=PQ，Q∈Sylq(G)，q∈π(G)且q≠p.事實(shí)上，由引理4知G可解.從而G p-可解.故可設(shè)Q∈Sylq(G)，其中q∈π(G)，且q≠p，是G的包含P的Sylow系中不同于P的Sylow子群，使得G1=PQ≤G，若G1＜G，由于NG1(P)≤NG(P)，則NG1(P)是p-冪零的.由引理1知G1符合定理?xiàng)l件，再由G的極小性知G1=PQ是p-冪零的.于是P≤NG(Q).由Q的任意性知P含在G的Hall p'-子群的正規(guī)化子當(dāng)中，因此G是p-冪零的，矛盾.從而G=PQ.

(4)最終的矛盾.設(shè)N是G的極小正規(guī)子群且N≤Op(G)，由引理1知G/N符合條件，由G的極小性知G/N是p-冪零的，由p-冪零類形成飽和群系，不妨令N是G的任一含于Op(G)的極小子群且N≤/φ(G)，由引理7知N=F(Op(G))=Op(G)是初等Abel p-群.由于N是G的Abel極小正規(guī)子群，則存在G的一個(gè)極大子群L，使得G是L與N的半直積，即G=L∝N.現(xiàn)設(shè)P″∈Sylp(L)，則P=NP″.若P″=1，則P=N?G，于是G=NG(P)是p-冪零的，矛盾.故P″≠1.取P的極大子群P1，使P″≤P1.若P″=P1，則P=P1∝N，從而|N|=|P:P1|.對(duì)?q∈π(G)，q≠p，令Q∈Sylq(G)，則NQ ＜ G.由N/C定理及(|G|，p2-1)=1，易知NQ是p-冪零的.故NQ=N×Q于是Q≤CG(N)=CG(OP(G))≤OP(G)，矛盾，故P″＜P1.取P的二次極大子群P2使得P″≤P2，于是N≤/P2(否則，如果N≤P2則有P=NP″≤P2，矛盾)由定理?xiàng)l件P2≠s-正規(guī)于G，即存在T??G，使得G=TP2且T∩P2≤(P2)SG≤Op(G)=N，且P2∩N=1及N的極小性知(P2)SG=1，類似于(1)的證明可證G是p-冪零的，矛盾.所以極小階反例不存在，結(jié)論成立.

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