王仲才
(南昌理工學院 江西 南昌 330044)
[引理1] 接連的10個正整數(shù)中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。
證明 設(shè)n為正整數(shù),那么接連的10個正整數(shù)中,前5個是
前后對應(yīng)之差都是5,代數(shù)和是45=5×9
證畢。
[引理2] 接連的10個正整數(shù)的2l次方中(l為正整數(shù)),前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。
證明 由[引理1],l=0時結(jié)果成立,由2數(shù)平方差
得知,結(jié)論對于l=1時成立。
假設(shè)結(jié)論對于l=h(正整數(shù))成立,即
是5的整數(shù)倍,那么,對于l=h+1時
由假設(shè)得悉,它是5的整數(shù)倍,總的代數(shù)和自然也是5的整數(shù)倍。
證畢。
[定理2] 接連的10個正整數(shù)的3l次方 (l為正整數(shù))中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。
證明 由2數(shù)立方差公式
和[引理1]得悉,對應(yīng)項之差都是5的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和自然是5的整數(shù)倍,即結(jié)論對l=1時成立。
假設(shè)l=h(正整數(shù))時結(jié)論成立,即
是5整數(shù)倍,那么對于l=h+1
由假設(shè)它是5的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和的自然數(shù)是5的整數(shù)倍。
證畢。
[定理3] 接連的10個正整數(shù)的5l次方 (l為正整數(shù))中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。
證明 設(shè)n,m為正整數(shù),則
它是5的整數(shù)倍。
由[引理1]和公式得知(上式取m=1)
即對應(yīng)項之差是5的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和自然是5的整數(shù)倍,即結(jié)論對5次方成立。
假設(shè)對于l=h(正整數(shù))結(jié)論成立,即
是5的整數(shù)倍,那么對于l=h+1
是(1)式和假設(shè),它也是5的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。
證畢。
[定理4] 接連的10個正整數(shù)的7l(l為正整數(shù))次方中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。
證明 設(shè)n,m為正整數(shù),則由(1)式得
它是5的整數(shù)倍。
由(2)得悉,結(jié)論對l=1成立,即若a-b是5的整數(shù)倍,那么a7-b7也是5的整數(shù)倍,現(xiàn)假設(shè)l=h(正整數(shù))結(jié)論成立,即
是5的整數(shù)倍,那么對于l=h+1時,
由歸納假設(shè)和(2)式得知,它也是5的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和的自然也是5的整數(shù)倍。
證畢。
注意到
li為正整數(shù),那么有
證明 這是反復應(yīng)用[定理1-4]和式(2)的直接結(jié)果。
證畢。
[定理6] 設(shè)h為正整數(shù),則10h個正整數(shù)(接連的)的2l,3l,5l,7l次方中(l為正整數(shù))的5h個取負,后5h個取正,則它們的代數(shù)和都是5的整數(shù)倍(h為正整數(shù))。
證明 設(shè)n為正整數(shù),則接連的10h個正整數(shù)中,前5h個是
后5h個是
對應(yīng)項之差都是5h,即是5的整數(shù)倍。
由[定理1-4]和式(2),即得結(jié)論。
證畢。
[引理2] 接連的10個偶數(shù)中,前5個取負,后5個取正,它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。
證明 設(shè)n為正整數(shù),則接連的10個偶數(shù)中,前5個是
后5個是
對應(yīng)項之差都是10,從而它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。
[定理7] 接連的10個偶數(shù)的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數(shù))的2l,3l,5l,7l中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和都是10的整數(shù)倍。
證明 由式(2),取m=2,類似[定理1-4]的證明,即得結(jié)論。
證畢。
證明 由[引理2]和類似[核心定理5]的證明,即得結(jié)論。
證畢。
證明 10h個偶數(shù)中,前5h個是
后5個是
對應(yīng)項之差都是10h,類似[定理1-4]和式(2)即得結(jié)論。
[引理3] 接連的10個奇數(shù)中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。
證明 接連的10個奇數(shù)中,前5個是
后5個是2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17
對應(yīng)項之差都是10,那么的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。
證畢。
[定理10] 接連的10個奇數(shù)的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數(shù))次方中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和都是10的整數(shù)倍。
證明 由[引理3]這個證明完全類似[定理7]的證明。
證畢。
證明 由[引理3],這個證明完全類似[核心定理8]的證明。
證明 接連的10h個奇數(shù)中,前5h個是
對應(yīng)項之差都是10h,由(2)式和[定理9]的證明,即得結(jié)論。
證畢。
[1]王仲才.關(guān)于12的神奇特征[J].江西廣播電視大學學報,2012,(2).
[2]王仲才.關(guān)于6的整數(shù)倍的第三個神奇特征[J].江西廣播電視大學學報,2012,(4).