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    關(guān)于數(shù)字10的神奇特征(續(xù)十二)

    2013-04-02 01:45:32王仲才
    江西廣播電視大學學報 2013年2期
    關(guān)鍵詞:次方偶數(shù)正整數(shù)

    王仲才

    (南昌理工學院 江西 南昌 330044)

    [引理1] 接連的10個正整數(shù)中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

    證明 設(shè)n為正整數(shù),那么接連的10個正整數(shù)中,前5個是

    前后對應(yīng)之差都是5,代數(shù)和是45=5×9

    證畢。

    [引理2] 接連的10個正整數(shù)的2l次方中(l為正整數(shù)),前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

    證明 由[引理1],l=0時結(jié)果成立,由2數(shù)平方差

    得知,結(jié)論對于l=1時成立。

    假設(shè)結(jié)論對于l=h(正整數(shù))成立,即

    是5的整數(shù)倍,那么,對于l=h+1時

    由假設(shè)得悉,它是5的整數(shù)倍,總的代數(shù)和自然也是5的整數(shù)倍。

    證畢。

    [定理2] 接連的10個正整數(shù)的3l次方 (l為正整數(shù))中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

    證明 由2數(shù)立方差公式

    和[引理1]得悉,對應(yīng)項之差都是5的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和自然是5的整數(shù)倍,即結(jié)論對l=1時成立。

    假設(shè)l=h(正整數(shù))時結(jié)論成立,即

    是5整數(shù)倍,那么對于l=h+1

    由假設(shè)它是5的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和的自然數(shù)是5的整數(shù)倍。

    證畢。

    [定理3] 接連的10個正整數(shù)的5l次方 (l為正整數(shù))中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

    證明 設(shè)n,m為正整數(shù),則

    它是5的整數(shù)倍。

    由[引理1]和公式得知(上式取m=1)

    即對應(yīng)項之差是5的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和自然是5的整數(shù)倍,即結(jié)論對5次方成立。

    假設(shè)對于l=h(正整數(shù))結(jié)論成立,即

    是5的整數(shù)倍,那么對于l=h+1

    是(1)式和假設(shè),它也是5的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

    證畢。

    [定理4] 接連的10個正整數(shù)的7l(l為正整數(shù))次方中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

    證明 設(shè)n,m為正整數(shù),則由(1)式得

    它是5的整數(shù)倍。

    由(2)得悉,結(jié)論對l=1成立,即若a-b是5的整數(shù)倍,那么a7-b7也是5的整數(shù)倍,現(xiàn)假設(shè)l=h(正整數(shù))結(jié)論成立,即

    是5的整數(shù)倍,那么對于l=h+1時,

    由歸納假設(shè)和(2)式得知,它也是5的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和的自然也是5的整數(shù)倍。

    證畢。

    注意到

    li為正整數(shù),那么有

    證明 這是反復應(yīng)用[定理1-4]和式(2)的直接結(jié)果。

    證畢。

    [定理6] 設(shè)h為正整數(shù),則10h個正整數(shù)(接連的)的2l,3l,5l,7l次方中(l為正整數(shù))的5h個取負,后5h個取正,則它們的代數(shù)和都是5的整數(shù)倍(h為正整數(shù))。

    證明 設(shè)n為正整數(shù),則接連的10h個正整數(shù)中,前5h個是

    后5h個是

    對應(yīng)項之差都是5h,即是5的整數(shù)倍。

    由[定理1-4]和式(2),即得結(jié)論。

    證畢。

    [引理2] 接連的10個偶數(shù)中,前5個取負,后5個取正,它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

    證明 設(shè)n為正整數(shù),則接連的10個偶數(shù)中,前5個是

    后5個是

    對應(yīng)項之差都是10,從而它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

    [定理7] 接連的10個偶數(shù)的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數(shù))的2l,3l,5l,7l中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和都是10的整數(shù)倍。

    證明 由式(2),取m=2,類似[定理1-4]的證明,即得結(jié)論。

    證畢。

    證明 由[引理2]和類似[核心定理5]的證明,即得結(jié)論。

    證畢。

    證明 10h個偶數(shù)中,前5h個是

    后5個是

    對應(yīng)項之差都是10h,類似[定理1-4]和式(2)即得結(jié)論。

    [引理3] 接連的10個奇數(shù)中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

    證明 接連的10個奇數(shù)中,前5個是

    后5個是2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17

    對應(yīng)項之差都是10,那么的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

    證畢。

    [定理10] 接連的10個奇數(shù)的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數(shù))次方中,前5個取負,后5個取正,則它們的代數(shù)和都是10的整數(shù)倍。

    證明 由[引理3]這個證明完全類似[定理7]的證明。

    證畢。

    證明 由[引理3],這個證明完全類似[核心定理8]的證明。

    證明 接連的10h個奇數(shù)中,前5h個是

    對應(yīng)項之差都是10h,由(2)式和[定理9]的證明,即得結(jié)論。

    證畢。

    [1]王仲才.關(guān)于12的神奇特征[J].江西廣播電視大學學報,2012,(2).

    [2]王仲才.關(guān)于6的整數(shù)倍的第三個神奇特征[J].江西廣播電視大學學報,2012,(4).

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