環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法綜述

沈方偉 杜成斌

(河海大學(xué)工程力學(xué)系,江蘇南京 210098)

1 引言

傳統(tǒng)的試驗?zāi)B(tài)分析方法(Experimental Modal Analysis，EMA)是基于系統(tǒng)輸入和輸出，求得頻響曲線(頻域法)或脈沖響應(yīng)曲線(時域法)，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的識別。但實際工程結(jié)構(gòu)往往具有尺寸較大、邊界條件復(fù)雜以及材料多樣的特征，使得該類方法的應(yīng)用受到局限。因此，運行模態(tài)分析方法(Operational Modal Analysis，OMA)的發(fā)展研究受到了廣泛關(guān)注。與EMA相比，OMA方法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在：

1）無需激勵設(shè)備，利用環(huán)境激勵進行參數(shù)識別，費用小，同時避免因激勵過大造成結(jié)構(gòu)損傷；

2）避免因激勵設(shè)備產(chǎn)生的信號與環(huán)境激勵產(chǎn)生的信號疊加和耦合，造成識別結(jié)果失真；

3）環(huán)境激勵往往是寬頻激勵，解決了因人工激勵信號的頻帶有限，無法激勵出結(jié)構(gòu)所有模態(tài)的問題；

4）最低限度的影響結(jié)構(gòu)的運行，更符合工程結(jié)構(gòu)的邊界條件和實際工況。

OMA從上世紀(jì)60年代開始研究，經(jīng)過半個世紀(jì)的發(fā)展，已形成多種理論技術(shù)。本文綜合國內(nèi)外最新文獻，介紹了各種理論方法和技術(shù)的發(fā)展及研究現(xiàn)狀，針對各方法的適用條件和優(yōu)缺點，總結(jié)了運行模態(tài)分析存在的關(guān)鍵問題和研究方向。本文根據(jù)識別信號域分類[1]，從頻域法、時域法和時頻法對目前運行模態(tài)分析方法進行了論述。

2 頻域法

頻域法通常是根據(jù)結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)來識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法，其物理意義明確，基于傅立葉快速譜，頻域法得以迅速發(fā)展完善。頻域法理論存在著一定的局限性，給識別結(jié)果帶來不可避免的誤差。

2.1 峰值法

頻域法的研究開展較早，Bendat等[2]發(fā)表專著《Engineering applications of correlation and spectral analysis》詳細論述了峰值拾取法(Peak Picking，PP)，峰值法基于結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)在固有頻率處會有峰值的原理，當(dāng)只知道輸出響應(yīng)時，用其功率譜代替頻響函數(shù)，利用平均正則化功率譜密度曲線的峰值確定模態(tài)特征頻率，利用工作撓度表征模態(tài)振型，利用半功率帶寬法確定模態(tài)阻尼比。但是該方法峰值選取比較主觀，對于密集模態(tài)無法識別，且僅適于識別實模態(tài)和比例阻尼結(jié)構(gòu)，阻尼識別結(jié)果不準(zhǔn)確，盡管如此，由于峰值法快速簡單，在工程中得到廣泛應(yīng)用。

2.2 頻域分解類方法

Brincke等[3]在復(fù)模態(tài)指示函數(shù)[4]的基礎(chǔ)上提出頻域分解法(Frequency Domain Decomposition，F(xiàn)DD)，對響應(yīng)功率譜進行奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)，得到對應(yīng)的一組單自由度系統(tǒng)功率譜，對于密集模態(tài)頻率有較好的識別，抗噪性強，克服了峰值法存在的一些缺陷，但是FDD只適用于小阻尼結(jié)構(gòu)，且無法得到準(zhǔn)確的阻尼識別結(jié)果，理論上只能識別輸入激勵為白噪聲的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。Brincke等[5]提出增強頻域分解法(Enhanced Frequency Domain Decomposition，EFDD)，在FDD的基礎(chǔ)上通過計算相關(guān)函數(shù)的持續(xù)時間和對數(shù)衰減率來識別模態(tài)頻率和阻尼，但由于計算相關(guān)函數(shù)截斷數(shù)據(jù)，使得阻尼識別結(jié)果產(chǎn)生誤差。Jacobsen等[6]在EFDD的基礎(chǔ)上提出消除諧波干擾的方法，利用SVD曲線中的峰值對諧波干擾進行判定，經(jīng)試驗取得了不錯的結(jié)果。王彤等[7]提出頻域空間域分解法，通過在響應(yīng)功率譜矩陣前后乘以奇異向量矩陣得到增強響應(yīng)功率譜矩陣，更接近于單自由度系統(tǒng)功率譜，利用最小二乘擬合可以得到準(zhǔn)確的模態(tài)頻率和阻尼，克服了EFDD存在的一些問題，但對大阻尼結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別能力有限。

2.3 最小二乘復(fù)頻域類方法

申凡等[8]運用多參考點頻域法識別結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)，基于互功率譜密度函數(shù)識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，但由于相同模態(tài)階次的情況下，功率譜密度階次是頻響函數(shù)階次的兩倍，識別精度有限，針對這個缺點，Guillaume等[9]利用相關(guān)圖法得到的相關(guān)函數(shù)進行快速傅立葉之后得到半功率譜，具有與頻響函數(shù)相似的表達式，從而可以采用傳統(tǒng)的EMA方法進行參數(shù)識別。Guillaume等[10]提出最大似然識別法(Maximum Likelihood Identification，MLI)和最小二乘復(fù)頻域法(Least-Squares Complex Frequency-domain，LSCF)，LSCF起初是用于估計MLI的迭代初值，但發(fā)現(xiàn)其估計結(jié)果已有較高精度而得到推廣應(yīng)用，LSCF能產(chǎn)生清晰的穩(wěn)定圖，但是對于密集模態(tài)識別結(jié)果較差；MLI引入隨機變量的條件分布密度函數(shù)或似然函數(shù)，利用LSCF估計迭代初值，求解非線性方程組來確定模態(tài)參數(shù)，抗噪性很強，但是計算量較大。Guillaume等[11]又提出多參考最小二乘復(fù)頻域法，LMS公司將其稱為PolyMAX，通過使用頻響函數(shù)的右矩陣分式模型代替LSCF中的公分母模型，使其密集模態(tài)識別能力有了較大提高，且只需要極少的計算量。El-Kafafy等[12]在PolyMAX的基礎(chǔ)上提出一個結(jié)合隨機性和確定性的模態(tài)參數(shù)識別方法，首先利用MLI作為隨機部分，去除噪聲干擾，然后用PloyMAX的估計量作為確定部分平滑數(shù)據(jù)從而提高模態(tài)參數(shù)特別是阻尼的識別精度，該方法改善了PloyMAX法在大阻尼和噪聲高時對阻尼識別精度不高的問題。

頻域法因直觀、快速得到極大的推廣，在辨識過程中，通常用輸出信號的譜密度函數(shù)代替頻響函數(shù)，物理意義明確，信噪比較高，但是通常適用于小阻尼，且阻尼辨識結(jié)果不準(zhǔn)確，對于密集模態(tài)辨識能力較弱，在傅立葉變換過程中也存在一定的譜泄露問題，導(dǎo)致精度下降，這些正是頻域法研究的重點。

3 時域法

時域法是直接利用結(jié)構(gòu)的實際響應(yīng)信號建立模型并進行參數(shù)識別的方法，通常可以較好識別模態(tài)阻尼，彌補頻域法識別結(jié)果的不足。國內(nèi)外學(xué)者在運行模態(tài)分析的時域法領(lǐng)域做了大量研究，目前已有多種成熟的理論。

3.1 時間序列分析方法

Akaike[13]首次在白噪聲激勵下利用自回歸滑動平均模型(Auto Regressive Moving Average，ARMA)來識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。Box等[14]發(fā)表專著《Time Series Analysis:Forecasting and Control》，詳細論述了時間序列模型預(yù)測方法，并將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)參數(shù)識別，但是該方法需要專業(yè)的理論知識，且預(yù)測費用較高。Gautier等[15]利用系統(tǒng)響應(yīng)信號的相關(guān)函數(shù)來提高ARMA識別方法的抗噪性和魯棒性。Vu等[16]提出一種改進的多維ARMA方法，引入噪聲率秩序因子(Noise rate Order Factor，NOF)來確定模態(tài)階次，該方法在鋼板實驗中取得良好的結(jié)果，并與仿真結(jié)果相一致。

3.2 隨機減量技術(shù)

Cole[17]提出隨機減量技術(shù)(Random Decrement Technique，RDT)，利用測量得到的響應(yīng)信號構(gòu)造出表征結(jié)構(gòu)自由振動的響應(yīng)信號，并應(yīng)用于航天飛機的模型結(jié)構(gòu)實驗。Ibrahim[18]把這個技術(shù)擴展到多通道信號領(lǐng)域，在模型結(jié)構(gòu)的振動實驗響應(yīng)提取方面取得了滿意的成果。張西寧等[19]改進了RDT，采用了正、負閾值同時截取的提取方法，使參與平均的項增多，使提取的信號質(zhì)量得到提高，一定程度解決了信號提取中截取閾值和平均次數(shù)的矛盾。黃方林等[20]利用RDT從測量響應(yīng)中提取結(jié)構(gòu)的自由振動響應(yīng)，并綜合運用參數(shù)識別理論、最優(yōu)估計理論，成功識別了大型斜拉橋的模態(tài)參數(shù)。

2.3 ITD(IbrahimTime Domain)類方法和自然激勵技術(shù)

Ibrahim[21]提出ITD方法，以粘性阻尼線性多自由度系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)可以看作各階模態(tài)的組合這一理論為基礎(chǔ)，利用各測點三次不同延時采樣的響應(yīng)數(shù)據(jù)，構(gòu)造增廣矩陣，建立特征方程，求解和估計各階模態(tài)參數(shù)。此法精度較高，但只適合用于線性結(jié)構(gòu)或弱非線性機構(gòu)，抗噪性較差，處理測點數(shù)較多的數(shù)據(jù)的魯棒性較差。在此基礎(chǔ)上，Ibrahim[22]自己改進ITD，提出省時Ibrahim時域法(Spare Time Domain，STD)，通過構(gòu)造Hessenberg矩陣，避免求解特征矩陣時進行QR分解，提高了求解效率和精度，同時減少了參數(shù)選擇。James等[23]提出自然激勵技術(shù)(Natural Excitation Technology，NExT)，基于不同測點的信號之間互相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)具有相似的數(shù)學(xué)表達式，利用互相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)函數(shù)，再采用其他的識別理論，如ITD方法，進一步識別。李中付等[24]根據(jù)環(huán)境激勵具有隨機性的特點，應(yīng)用ITD改進了特征矩陣的算法，并結(jié)合NExT法的原理，提出了一種在線參數(shù)識別的新方法，通過數(shù)值算例驗證了該方法對于稀疏模態(tài)和密集模態(tài)均適用，并具有一定的魯棒性，但不能完全消去噪聲干擾。

2.4 隨機子空間法

Peeters等[25]對隨機子空間法(Stochastic Subspace Identification，SSI)進行了深入研究，應(yīng)用于土木工程的參數(shù)識別中，并提出用穩(wěn)定圖確定系統(tǒng)的階次。常軍等[26]針對穩(wěn)定圖法容易識別出虛假模態(tài)的缺點，利用模態(tài)置信因子來消除虛假模態(tài)，改進了穩(wěn)定圖法，并驗證了該方法的有效性。Magalh?es等[27][28]將SSI應(yīng)用于識別拱橋結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，并輔以一種新的穩(wěn)定圖方法來篩選出真實模態(tài)，可在線識別大型拱橋結(jié)構(gòu)，而后又以拱橋為例來闡述OMA，詳細介紹了FDD、PolyMAX和SSI的處理步驟，為橋梁健康監(jiān)測提供了有效的處理程序。

2.5 最小二乘復(fù)指數(shù)類方法

Brown等[29]提出最小二乘復(fù)指數(shù)法(Least Squares Complex Exponential method，LSCE)，利用系統(tǒng)的單個脈沖響應(yīng)函數(shù)與留數(shù)、極點間的關(guān)系來求結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型、頻率和阻尼，LSCE計算量比ITD小很多，而且有較高的識別精度，但是LSCE是建立在單點激勵的基礎(chǔ)上的，無法有效識別大型結(jié)構(gòu)的參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，Vold等[30]基于多輸入多輸出的脈沖響應(yīng)矩陣的相關(guān)理論，提出多參考點復(fù)指數(shù)法，以彌補LSCE對于大型結(jié)構(gòu)參數(shù)識別的不足。Mohanty等[31]對LSCE法進行修正用于識別包含諧波分量的結(jié)構(gòu)自由振動，并在梁振動試驗中取得良好的結(jié)果。鄭敏等[32]在互相關(guān)函數(shù)理論的基礎(chǔ)上，將響應(yīng)間的互相關(guān)函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)復(fù)指數(shù)法中的脈沖響應(yīng)函數(shù)，提出了互相關(guān)復(fù)指數(shù)法，并進行了試驗驗證該方法的有效性。

2.6 特征系統(tǒng)實現(xiàn)法

Juang等[33]基于控制理論中的Ho-kalman的最小實現(xiàn)理論，提出了特征系統(tǒng)實現(xiàn)法(Eigensystem Realization Algorithm，ERA)，由系統(tǒng)的脈沖輸出響應(yīng)，采用SVD求解系統(tǒng)的特征值和特征向量，進而得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，多名學(xué)者[34][35]提出了基于輸出響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)ERA和大幅提高ERA計算效率的快速ERA，對于算法的抗噪能力和計算效率有較大提高。秦仙蓉等[36]研究比較了ERA的幾種方法：ERA、相關(guān)ERA、快速ERA和快速相關(guān)ERA，結(jié)果表明引入相關(guān)概念后阻尼識別精度受噪聲干擾較小，而快速ERA提高速度4~10倍，且不影響精度。

時域法利用響應(yīng)信號直接進行模態(tài)參數(shù)的識別，因而可以對運行中的設(shè)備進行在線參數(shù)識別，反映了結(jié)構(gòu)的真實工作模態(tài)，對于識別模態(tài)密集的結(jié)構(gòu)具有優(yōu)勢。但時域法對于噪聲較敏感，抗噪能力差，且易產(chǎn)生虛假模態(tài)，亟待后續(xù)研究解決此類問題。

4 時頻法

大多數(shù)頻域、時域識別方法要求環(huán)境激勵是白噪聲或非白噪聲平穩(wěn)激勵，然而工程實際不能總是滿足，而時頻分析方法能同時在時域和頻域內(nèi)分析信號的變化，研究響應(yīng)信號的局部時頻特征，因此對于平穩(wěn)和非平穩(wěn)信號均適用。而且時頻方法能識別時變系統(tǒng)和一類非線性問題，例如Bonato等[37]提出了基于時頻/模糊函數(shù)態(tài)濾波的參數(shù)識別方法，并用于識別非平穩(wěn)風(fēng)載下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，比較傳統(tǒng)頻域方法和時域ARMA方法，該方法可識別密集耦合模態(tài)，魯棒性好。

時頻表示可分為線性和雙線性時頻表示，魏格納分布（Wigner-Ville Distribution，WVD)是較早出現(xiàn)的時頻識別方法，Xu等[38]對比了WVD方法，頻域PP方法和時域ARMA方法，比較發(fā)現(xiàn)PP識別快速但精度較低，阻尼結(jié)果不可靠，ARMA可以精確的識別平穩(wěn)信號激勵下的振動模態(tài)參數(shù)，而WVD可以識別非平穩(wěn)激勵響應(yīng)和密集模態(tài)。但是WVD屬于一種雙線性時頻表示方法，其能量分布存在交叉項且可能出現(xiàn)負值，改進這一點是該類方法當(dāng)前的研究重點。Nagarajaiah等[40]利用短時傅立葉變換(Short-Time Fourier Transform，STFT)來識別風(fēng)振作用下裝有調(diào)諧質(zhì)量控制系統(tǒng)的建筑結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其具有一定魯棒性。STFT通過對信號加短時分析窗來提取信號的時頻特性，屬于線性時頻表示方法，能量分布不存在交叉干擾項且始終為正，但是由于不能改變信號窗的形狀，導(dǎo)致STFT的頻率分辨率和時間分辨率相互制約，所以人們提出基于小波變換(Wavelet Transform，WT)的識別方法來改善這一缺點。續(xù)秀忠等[39]分別利用STFT和WVD識別時變結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，對剛度突變和連續(xù)變化的單自由度系統(tǒng)進行仿真，驗證了時頻變換方法的有效性。

4.1 魏格納分布和短時傅立葉變換

4.2 小波變換

Staszewski[41]對系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)進行時間尺度分解，將WT運用于多自由度結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別；而后又利用小波脊和骨架識別非線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)[42]。Le等[43]利用新構(gòu)造的連續(xù)小波變換直接對輸出響應(yīng)進行參數(shù)識別，從而避免了RDT預(yù)處理，利用SVD來檢測小波“脊”和“骨架”來提高算法的抗噪能力，通過算例和實驗驗證了該方法的有效性。WT可以解決STFT信號窗固定的缺點，在低頻時可得到較高的時間分辨率，而高頻時得到較高的頻率分辨率，從而獲取信號更精確的時頻特征，但WT對于非線性系統(tǒng)的參數(shù)識別還沒有形成完善的理論，有待進一步研究。

4.3 希爾伯特-黃變換

Huang等[44]提出希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform，HHT)，包括經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD) 和Hilbert變換兩部分。EMD利用響應(yīng)信號本身的時間尺度特征在時域內(nèi)進行分解得到各階固有模態(tài)分量，再通過Hilbert譜分析得到模態(tài)參數(shù)，HHT能有效的處理非平穩(wěn)信號和一些非線性問題，且可以去除高頻噪聲。陳雋等[45]研究討論了HHT方法處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的性能，利用HHT方法分別識別平穩(wěn)及非平穩(wěn)的實測信號的頻率、阻尼，并用于識別青馬橋的實測響應(yīng)，結(jié)果表明HHT識別非平穩(wěn)信號具有優(yōu)勢。鄭敏等[46]在SVD對信號進行預(yù)處理的基礎(chǔ)上，研究了HHT方法對于密集模態(tài)的識別精度，并對飛機模型進行仿真分析，結(jié)果表明參數(shù)識別結(jié)果符合基準(zhǔn)模態(tài)。

時頻法兼有時域法和頻域法的優(yōu)點，對于非平穩(wěn)激勵下的結(jié)構(gòu)振動識別具有優(yōu)勢，對于時變結(jié)構(gòu)的和非線性系統(tǒng)的參數(shù)識別也有一定的效果，是一種前景廣闊的識別方法。目前時頻法需要解決的問題主要是提高識別效率和尋找更適用于工程實際的辨識方法，例如尋找或構(gòu)造能適于系統(tǒng)固有特征的小波基函數(shù)，完善非線性問題識別方法等。

5 結(jié)論與展望

近年來，隨著工程應(yīng)用技術(shù)要求的不斷提高，學(xué)科交叉融合不斷拓展，運行模態(tài)參數(shù)識別受到越來越多的關(guān)注，具有廣闊的研究前景。雖然目前OMA有大量的研究成果，可以解決大部分工程實際問題，指導(dǎo)數(shù)值仿真模擬，但由于工程問題具有復(fù)雜的材料特性、邊界條件和大量振動噪聲干擾，OMA在參數(shù)識別方面仍然存在一些問題：

1）現(xiàn)今OMA理論推導(dǎo)過程中往往存在簡化、假設(shè)，如假設(shè)輸入激勵為白噪聲，結(jié)構(gòu)一般為線性或小阻尼，與工程實際應(yīng)用有差別，對于復(fù)雜的工程實際如何提高識別結(jié)果的魯棒性。

2）實際工程現(xiàn)場存在大量噪聲，對于現(xiàn)場采集如何減小噪聲干擾，對于所得的響應(yīng)信號處理如何提高識別方法的抗噪性，并有效的剔除虛假模態(tài)。

3）對于復(fù)雜的工程實際，如旋轉(zhuǎn)機械等結(jié)構(gòu)，往往存在很強的諧波干擾，如何消除諧波干擾。

4）運行結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性是變化的，如有控制裝置的高層建筑等結(jié)構(gòu)，如何識別結(jié)構(gòu)的時變模態(tài)參數(shù)。

運行模態(tài)分析方法對于滿足一定工況的結(jié)構(gòu)參數(shù)識別具有很大的優(yōu)勢，以后的研究要根據(jù)工程實際，結(jié)合信號處理分析科學(xué)，多種方法優(yōu)勢互補，提高識別效率和精度，為結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計和有限元仿真計算提供實際依據(jù)。

[1] 續(xù)秀忠,華宏星,陳兆能.基于環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)辨識方法綜述[J].振動與沖擊.2002,21(3):2-5. 2000.

[2] Bendat J. S. Piersol A. G. Engineering applications of correlation and spectral analysis[M].New York:Wiley-Interscience, 1980.

[3] Brinker R, Zhang L, Anderden P. Modal identification from ambient responses using frequency domain decomposition[C]. Proceedings of 18th IMAC, San Antonio, TX, 2000: 625-630.

[4] Shih C. Y., Tsuei Y. G., Allemang R. J., et al. Complex mode indication function and its applications to spatial domain parameter estimation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing. 1988. 2(4):367-377.

[5] Brincker R., Ventura C.E., Andersen P. Damping estimation by frequency domain decomposition[C].Proceedings of 19th IMAC, Orlando, FL, 2001: 441-446.

[6] Jacobsen N.J., Andersen P., Brinker R. Using enhanced frequency domain decomposition as a robust technique to harmonic excitation in operational modal analysis[C]. Proceedings of ISMA, Leuven, Belgium,2006.

[7] 王彤,張令彌.運行模態(tài)分析的頻域空間域分解法及其應(yīng)用[J]. 航空學(xué)報,2006, 27(1): 62-66.

[8] 申凡,鄭敏,史東鋒,等.一種基于互功率譜密度的頻域模態(tài)識別法[J]. 振動工程學(xué)報, 2001, 14(3): 259-267。

[9] Guillaume P., Hermans L., Van Der Auweraer H. Maximum Likelihood Identification of Modal Parameters from Operational Data[C]. Proceedings of 17th IMAC.Kissimmee, 1999.

[10] Guillaume P., Verboven P., Vanlanduit S.Frequency Domain Maximum Likelihood Identification of Modal Parameters with Confidence Intervals[C].Proceeding of 23th ISMA, Leuven, Belgium, 1998.

[11] Guillaume P., Verboven P., Vanlanduit S., et al.A Poly-reference Implementation of the Least-Squares Complex Frequency Domain Estimator[C].Proceeding of the 21st IMAC, Kissimmee, 2003.

[12] El-Kafafya M.,Guillaumea P.,Peeters B. Modal parameter estimation by combining stochastic and deterministic frequency-domain approaches[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2012.

[13] Akaike H. Power spectrum estimation through autoregressive model fitting[J]. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 1969, 21.

[14] Box G. E. P., Jenkins G. M. Time serics analysis:forecasting and control, 2nd ed, San Francisco:Holden-Day, 1976.

[15] Gautier P. E., Gontier C., Smail M. Robustness of an arma identification method for modal analysis of mechanical systems in the presence of Noise[J].Journal of Sound and Vibration, 1995, 179(2): 227-242.

[16] Vu V. H., Thomas M. Lakis A. A., et al. Operational modal analysis by updating autoregressive model[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2011,25(3): 1028-1044.

[17] Cole H. A. Method and apparatus for measuring the damping characteristic of structure. United State Patent. NO.3,620,069, 1971.

[18] Ibrahim S. R. Random decrement technique for modal Identification of structures[J]. Journal of Spacecraft and Rochets, 1977, 14(11): 696-700.

[19] 張西寧,屈梁生.一種改進的隨機減量信號提取方法[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報, 2000, 34(1): 106-110.

[20] 黃方林,何旭輝,陳政清等.隨機減量法在斜拉橋拉索模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用[J].機械強度,2002, 24(3):331-334.

[21] Ibrahim S.R. Mikulcik E.C. A method for the direct identification of vibration parameters from the free response. Shock and Vibration Bulletin,1977, 47: 183-198.

[22] Ibrahim S.R.An upper Hessenberg sparse matrix algorithm for model identification on minicomputer[J]. Journal of Sound and Vibration,1987,113(1): 47~57.

[23] James G. H., Garne T. G., Lauffer J. P. The natural excitation technique (NExT) for modal parameter extraction from operating wind turbines[C]. Technical Report, New Mexico, 1993.

[24] 李中付,華宏星,宋漢文,等.基于環(huán)境激勵的工作模態(tài)參數(shù)識別[J].上海交通大學(xué)學(xué)報,2001,35(8):1167-1171.

[25] Peeters B., Deroeck G. Reference-based stochastic subspace identification for output-only modal analysis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1999, 13(6): 855-878.

[26] 常軍,張啟偉,孫利民.穩(wěn)定圖方法在隨機子空間識別模態(tài)參數(shù)中的應(yīng)用[J].工程力學(xué), 2007, 24(2): 39-44.

[27] Magalh?es F., Cunha A., Caetano E. Online automatic identification of the modal parameters of a long span arch bridge[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23(2), 316-329.

[28] Magalh?es F., Cunha A. Explaining operational modal analysis with data from an arch bridge.Mechanical Systems and Signal Processing[J]. 2011,25(5): 1431-1450.

[29] Brown D., Allemang R., Zimmerman R., et al.Parameter Estimation Techniques for Modal Analysis.SAE Technical Paper No. 790221, 1979.

[30] Vold H., Kundrat J., Rocklin G., et al. A Multi-Input Modal Estimation Algorithm for Mini-Computers. SAE Technical Paper No. 820194, 1982.

[31] Mohanty P., Rixen D. J. Operational modalanalysis in the presence of harmonic excitation[J]. Journal of Sound and Vibration. 2004, 270(1-2):93-109.

[32] 鄭敏,申凡,陳同綱.采用互相關(guān)復(fù)指數(shù)法進行工作模態(tài)參數(shù)識別[J].南京理工大學(xué)學(xué)報,2002,26(2):113-116.

[33] Juang J. N., Pappa R. S. An Eigensystem Realzation Algotithm(ERA) for Modal Parameter Identification and Model Reduction[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 1985, 8(5): 620-627.

[34] Juang J. N., Cooper J. E., Wright J.R. An Eigensystem Realization Algorithm Using Data Correlations(ERA/ DC) for Modal Parameter Identification[J]. Control Theory and Advance Technology, 1988, 4(1): 5-14.

[35] 劉福強,張令彌.一種改進的特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法及在智能結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用[J].振動工程學(xué)報.1999,12(3):316-321.

[36] 秦仙蓉,王彤,張令彌.模態(tài)參數(shù)識別的特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法:研究與比較[J].航空學(xué)報,2001,22(4):340-342.

[37] Bonato P., Ceravolo R., Stefano A. D. The use of wind excitation in structural identification[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1998, 74-76(1): 709-718.

[38] Xu L., Guo J. J., Jiang J. J. Time-frequency analysis of a suspension bridge based on GPS[J].Journal of Sound and Vibration, 2002, 254(1): 105-116.

[39] 續(xù)秀忠, 張志誼, 華宏星, 等. 結(jié)構(gòu)時變模態(tài)參數(shù)辨識的時頻分析方法[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報, 2003,37(2): 122-126.

[40] Nagarajaiah S., Varadarajan S. Short time Fourier transform algorithm for wind response control of buildings with variable stiffness TMD[J].Engineering Structures, 2005, 27(3): 431-441.

[41] Staszewski W. J. Identification of damping in MDOF systems using time-scale decomposition[ J].Journal of Sound and Vibration, 1997, 203(2): 283-305.

[42] Staszewski W. J. Identification of Non-linear systems using time-scale ridges and skeletons of the wavelet transform [J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 214(4): 639-658.

[43] Le T., Paultre P. Modal identification based on continuous wavelet transform and ambient excitation tests[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012,331(9): 2023-2037.

[44] Huang N. E, Shen Z., Long S.R., et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis,Proceeding of the Royal Society. London Series,1998.