考慮固液范德華力作用的微圓管流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

王小鋒，朱維耀，鄧慶軍，隋新光，婁 鈺，張雪齡

（1．北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083； 2．大慶油田有限責(zé)任公司第一采油廠，黑龍江大慶163453）

考慮固液范德華力作用的微圓管流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

王小鋒1，朱維耀1，鄧慶軍2，隋新光2，婁 鈺1，張雪齡1

（1．北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083； 2．大慶油田有限責(zé)任公司第一采油廠，黑龍江大慶163453）

細(xì)小孔隙喉道下流體流動(dòng)呈非線性流動(dòng)，達(dá)西定律不適用，非線性流動(dòng)的機(jī)理認(rèn)識(shí)不清．在現(xiàn)有微尺度流動(dòng)實(shí)驗(yàn)和理論基礎(chǔ)上，分析影響多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)的微觀力種類和作用范圍及對(duì)流動(dòng)的影響，建立考慮固液間范德華力的圓管流動(dòng)數(shù)學(xué)模型．結(jié)果表明：對(duì)比泊肅葉流動(dòng)下的速度分布和平均流量，隨著微管尺寸的減小，固液間的范德華力作用增大，流體在微管內(nèi)的流動(dòng)規(guī)律影響也增大，因此固液間范德華力作用在細(xì)小孔隙流動(dòng)中不可忽略．

多孔介質(zhì)；微觀力；范德華力；速度分布；平均流量

0 引言

隨著微機(jī)械系統(tǒng)的發(fā)展，研究人員對(duì)于微尺度下的流動(dòng)問(wèn)題有一定認(rèn)識(shí)，油層巖石孔隙尺寸屬于微尺度范疇，因而，進(jìn)一步研究微尺度下流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)于油田開發(fā)具有重要意義［1—5］．Gad E H在實(shí)驗(yàn)中觀察到流動(dòng)的微尺度效應(yīng)；Pfahler J等進(jìn)行微觀流動(dòng)實(shí)驗(yàn)，研究表明流體流動(dòng)偏離N—S方程預(yù)測(cè)的理論值［6—7］；Li Qingren，Qu Weilin等在高為14．1，28．2，40．5μm的硅槽中進(jìn)行水和KCl水溶液的流動(dòng)實(shí)驗(yàn)，研究表明水的極性是產(chǎn)生微尺度下流動(dòng)偏離N—S方程的原因［8—9］；武東健等［10］建立水在固壁邊界條件和滑流邊界條件下的阻力因數(shù)和速度分布模型，研究表明流體在直徑小于幾百微米的微管中流動(dòng)特性，用經(jīng)典流體理論解釋圓微管中的牛頓流體的層流和電解質(zhì)流動(dòng)，實(shí)驗(yàn)與理論出現(xiàn)偏差［11—16］，發(fā)現(xiàn)管壁與流體之間的微觀力作用是造成這一結(jié)果的主要原因［13］．

目前，考慮微觀力作用的微管流動(dòng)模型鮮見(jiàn)，因此，筆者分析微管內(nèi)的微觀力作用，研究范德華力對(duì)流體在微圓管流動(dòng)產(chǎn)生的影響，建立固體管壁與流體間范德華力作用下的速度和平均流量模型，并對(duì)微圓管內(nèi)流體的流動(dòng)進(jìn)行模擬和分析，為認(rèn)識(shí)和探究多孔介質(zhì)細(xì)小孔喉內(nèi)流體的流動(dòng)規(guī)律提供參考．

1 多孔介質(zhì)中的微觀力

流體在多孔介質(zhì)的孔隙和喉道內(nèi)流動(dòng)時(shí)，由于孔喉的特征尺寸微小，流體流動(dòng)受管壁與流體間微觀力的影響增大，微觀力不可忽略．微觀力主要包括范德華力、靜電力、表面張力等．

分子間的范德華力包括3個(gè)部分，即取向力、誘導(dǎo)力和色散力．取向力是指分子永久偶極矩間的相互作用；誘導(dǎo)力是指分子被電場(chǎng)作用產(chǎn)生極化而形成的偶極矩與永久偶極矩間的相互作用；色散力是指分子瞬時(shí)偶極間的相互作用．黏度是分子間范德華力的表征，分子間范德華力越大，黏度越大，分子間范德華力越小，黏度越?。?/p>

靜電力是帶電分子或粒子間的作用力，大小與距離的平方成反比，作用距離比范德華力長(zhǎng)，在距離小于0．1μm時(shí)最為重要，在10μm時(shí)仍有影響．在靜電力作用下，壁面與電解質(zhì)溶液形成雙電層，當(dāng)溶液受到壓力差驅(qū)動(dòng)時(shí)，雙電層內(nèi)的凈電荷隨溶液運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生流動(dòng)誘導(dǎo)電場(chǎng)，電場(chǎng)作用使微通道雙電層上的凈電荷向溶液流動(dòng)的反方向運(yùn)動(dòng)，使溶液的正向流速減慢．

表面張力是由液體表面層分子引力不均衡引起的．液體界面的分子與液體本體內(nèi)的分子所受力不同，表層分子比內(nèi)部水分子儲(chǔ)存多余的自由能，如果要把內(nèi)部的水分子舉升到水表面上，需要付出能量做功，能量轉(zhuǎn)化為表面自由能．表面自由能有趨于最小的趨勢(shì)，液體表面有自動(dòng)縮小的趨勢(shì)，收縮力即為表面張力．表面張力與溫度、界面性質(zhì)有關(guān)，油層中流體的表面張力影響油層中流體在巖石表面上的分布，對(duì)孔隙中毛管力的大小和方向也有影響，表面張力越大，毛管力越大，也影響流體在多孔介質(zhì)中的滲流規(guī)律．

2 微圓管流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

2．1 假設(shè)條件

假設(shè)有水相流體在水平放置的微圓管內(nèi)定常流動(dòng)，忽略重力影響（見(jiàn)圖1）．圖1把x軸設(shè)在管軸上，令r表示由軸心向外度量的徑向坐標(biāo)，周向和徑向的速度分量為0，微圓管的半徑為R，平行于管軸方向的速度分量為ux（僅僅依賴于r），沿x方向上的壓力梯度為常數(shù)，微圓管的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，入口壓力為p1，出口壓力為p2，考慮固體壁面與流體間的范德華力作用．

圖1 水平放置的微圓管流體流動(dòng)示意Fig．1 The scheme of fluid in the horizontal placement micro tube

2．2 黏度方程

當(dāng)水相在微圓管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，流體與管壁間的范德華力作用使流體間的分子引力增大，因而流體黏度μ增大，假設(shè)流體黏度由2部分組成：一是不考慮固液范德華力作用時(shí)流體的黏度μ0；二是考慮固液間長(zhǎng)程范德華力后增大的黏度，所以流體黏度表示為

式（1—4）中：b為黏度增加因數(shù)；x為到固體壁面的距離；μ1、α1、Ι1分別為水分子的偶極距、極化率和電離能；μ2、α2、Ι2分別為固體表面分子的偶極距、極化率和電離能；Aw、As分別為水和固體管壁的哈默克常數(shù)；βw、βs分別為水和管壁的范德華力作用因子；Mw、Ms分別為水和管壁的相對(duì)分子質(zhì)量；ρw、ρs分別為水和管壁的密度；NA為阿伏伽德羅常數(shù)；k為波爾茲曼常數(shù)．

2．3 運(yùn)動(dòng)方程

柱坐標(biāo)系下N—S方程為

式中：uθ為周向分速度；fx為x方向慣性力；ρ為管內(nèi)流體密度．

流體在管內(nèi)定常流動(dòng)，周向和徑向的速度分量為0，速度u僅僅依賴于r，因而

邊界條件為

結(jié)合式（1—7），推導(dǎo)可得微圓管內(nèi)水相速度u為

由式（8）積分求得通過(guò)微圓管截面的平均流量Q，即

若不考慮固體管壁與流體間范德華力作用時(shí)，即AS＝Aw，代入式（9），則式（9）退化為泊肅葉定律形式，即

3 實(shí)例分析

3．1 不同管徑下速度分布

根據(jù)推導(dǎo)的微圓管內(nèi)流體的速度分布模型，當(dāng)流體黏度μw＝1mPa·s，壓力梯度dp／dx＝1×105Pa／m，流體的Hamaker常數(shù)Aw＝4．2×10—20J，管壁的Hamaker常數(shù)分別取As＝3．6×10—20J，As＝4．2× 10—20J，As＝4．8×10—20J時(shí)，模擬流體在不同固液范德華力作用下的速度與泊肅葉流動(dòng)下的速度，管徑分別取1，100μm，模擬結(jié)果見(jiàn)圖2．

由圖2可知，當(dāng)微圓管半徑在1～10μm時(shí)，如果考慮固體管壁與流體間的范德華力作用，那么微管內(nèi)流體的速度分布明顯低于泊肅葉流動(dòng)，管徑越小，與泊肅葉流動(dòng)之間的速度偏離程度越大，固壁面的Hamaker常數(shù)越大，與泊肅葉流動(dòng)的速度偏離程度越大；隨著管徑的增大，分子作用的影響逐漸減小，流體速度也越接近于泊肅葉流動(dòng)，當(dāng)管徑達(dá)到100μm時(shí)，偏離程度已經(jīng)較小．管徑小于10μm時(shí)，速度偏差較大，不能忽略固液間范德華力作用的影響．

3．2 不同管徑下平均流量

根據(jù)推導(dǎo)的平均流量模型，當(dāng)流體黏度μw＝1mPa·s，壓力梯度dp／dx＝1×105Pa／m，流體的Ha—maker常數(shù)Aw＝4．2×10—20J，管壁的Hamaker常數(shù)分別取As＝3．6×10—20J，As＝4．2×10—20J，As＝4．8×10—20J時(shí)，模擬流體在不同固液范德華力作用下的平均流量與泊肅葉流動(dòng)下的平均流量，管徑分別取0．1～1．0，10～100μm，模擬結(jié)果見(jiàn)圖3．

圖2 范德華力作用下不同管徑的速度分布Fig．2 Velocity distribution under different diameters considering van der Waals forces

圖3 范德華力作用下不同管徑的平均流量變化曲線Fig．3 Velocity distribution under different diameters considering micro force

由圖3可知，當(dāng)管徑在0．1～1．0μm時(shí)，如果考慮固體管壁與流體間的范德華力作用，那么微管內(nèi)流體的平均流量明顯低于泊肅葉流動(dòng)，管徑越小，與泊肅葉流動(dòng)之間的平均流量偏離程度越大，固壁面的Hamaker常數(shù)越大，與泊肅葉流動(dòng)的平均流量偏離程度越大；隨著管徑的增大，范德華力作用的影響逐漸減小，流體平均流量越接近于泊肅葉流動(dòng)，當(dāng)管徑達(dá)100μm時(shí)，偏離程度已經(jīng)較小，當(dāng)管徑達(dá)10～100μm時(shí)，幾乎沒(méi)有偏離．管徑小于10μm時(shí)，平均流量偏差較大，不能忽略固液間范德華力作用的影響．

4 結(jié)論

（1）建立考慮固液間范德華力作用的微圓管流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)牛頓流體在微圓管內(nèi)的速度分布和平均流量模型．

（2）考慮管壁與流體之間的范德華力作用時(shí)，對(duì)比泊肅葉流動(dòng)下的流體速度和平均流量，半徑越小，與泊肅葉流動(dòng)之間的偏離程度越大，管徑在0．1～1μm時(shí)，偏離程度很大；半徑越大，范德華力作用的影響逐漸減弱，速度和平均流量越接近于泊肅葉流動(dòng)，管徑在10～100μm時(shí)，偏離程度較小，分子作用幾乎沒(méi)有影響．

（3）把巖石孔隙喉道抽象為微圓管，當(dāng)多孔介質(zhì)的孔隙喉道尺度小于10μm時(shí)，固液間范德華力作用明顯，不可忽略；當(dāng)孔隙喉道尺度大于10μm時(shí)，固液間范德華力作用不明顯，可忽略不計(jì)．

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TE312

A

2095—4107（2013）05—0085—05

DOI 10．3969／j．issn．2095—4107．2013．05．012

2013—07—23；編輯：關(guān)開澄

國(guó)家重點(diǎn)基金項(xiàng)目（50934003）；教育部科技專項(xiàng)（FRF—MP—B 12006B）

王小鋒（1985—），男，博士研究生，主要從事油藏?cái)?shù)值模擬和滲流理論方面的研究．