一種修正的矢量奇異值分解DOA估計算法?

謝鑫??，路翠華，李國林

（海軍航空工程學院7系，山東煙臺264001）

一種修正的矢量奇異值分解DOA估計算法?

謝鑫??，路翠華，李國林

（海軍航空工程學院7系，山東煙臺264001）

在均勻線性陣列模型下，特征矢量奇異值分解算法能夠對相干信號進行DOA估計，但相干和不相關信號同時存在時，算法的估計會出現(xiàn)錯誤。針對這一問題，提出了一種修正算法（MESVD），該算法選取經過加權處理的特征向量來構造矩陣，并利用該矩陣進行子空間估計。理論分析和數(shù)值仿真證明：修正后的算法能夠正確估計相干、相關和不相關信號，估計性能與空間平滑算法（FBSS）相當。

DOA估計；相干信號；奇異值分解；不相關信號

??通訊作者：xxin1980＠163.com Corresponding author：xxin1980＠163.com

2 信號模型

考慮一個由N個全向陣元組成的均勻線性陣列，陣列間距為d，如圖1所示。

圖1 均勻線性陣列Fig.1 Uniform linear array

假設M個遠場窄帶信號（M＜N）分別從θi（i＝1，2，…，M）方向入射到接收陣列，且入射波信號和噪聲不相關，以陣元1為參考陣元，則第k個陣元的輸出信號可表示為

其中，si（t）為第i個信號的復包絡，λi為其中心波長，nk（t）為第k個陣元中的零均值高斯加性白噪聲。則陣列的輸出信號矢量可表示為

其中：

為N×M維陣列流形矩陣，該矩陣的秩為M，a（θi）為對應的方向向量，且有

為M個入射信號矢量。

為噪聲矩陣，其中ni（t）為第i個陣元中的零均值高斯加性白噪聲，方差為σ2，且滿足

式中，I表示N×N維單位陣，上標H表示共軛轉置，上標T表示轉置。

3 奇異值分解算法［8］

基本的子空間類算法（如MUSIC）首先計算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣

對RXX進行分解可以分別得到由信號特征矢量張成的信號子空間和由噪聲特征矢量張成的噪聲子空間，且信號源完全不相關時，信號子空間的維數(shù)等于信號源數(shù)，信號特征矢量與陣列流形矢量張成同一個信號子空間。而當信號源相干時，信號子空間的維數(shù)會減少。已證明［9］，此時的信號特征矢量與陣列流形之間仍然滿足一定的線性關系。

設信號協(xié)方差矩陣的秩為K（K≤M），若噪聲協(xié)方差矩陣RN為滿秩矩陣，則有如下線性關系滿足：

式中，1≤k≤K，ek為特征矢量，αk（n）為線性組合因子。

顯然，當噪聲為理想白噪聲時，噪聲協(xié)方差矩陣RN＝σ2I，則式（10）可簡化為

該矩陣可表示為如下形式：

其中：

矩陣A1和A2分別為M個信號組成的維數(shù)為m×M和p×M的陣列流形。

因此，Y一般是一個長方陣，而不是方陣，則可對Y進行奇異值分解，可得

其中，Λ為一個由奇異值組成的m×p維矩陣，U為左奇異矩陣，V為右奇異矩陣。

則理想情況下矩陣Y的大奇異值個數(shù)為M，左奇異矩陣中小奇異值對應的矢量張成的空間即為噪聲子空間，大奇異值對應的矢量張成信號子空間，此時結合MUSIC，即可對入射信號進行DOA估計。

4 修正的ESVD算法

ESVD采用最大特征矢量構造矩陣Y，這一矢量的選取在入射信號完全相干時無疑是最佳的，而當入射信號中同時存在不相關和相干信號時，會存在幾個大特征矢量。由式（11）可知，每個大特征矢量都含有入射信號信息，但此時若選取其中最大特征矢量e1，其中包含的非相關信號的能量可能會減弱，在信噪比較低時，會造成對不相關信號的DOA估計失敗。

取陣元數(shù)為15，4個等功率信號分別從－20°、0°、12°、45°方向入射，其中12°方向信號與其他3個信號不相關，在10 dB信噪比條件下，采樣200次快拍，采用ESVD算法進行DOA估計仿真，選取信號特征矢量矩陣的第1列構造矩陣Y，同時圖中加入了FBSS算法作為對比，得到仿真結果如圖2所示。

圖2 ESVD算法DOA估計（選取信號特征矢量矩陣的第1列構造矩陣Y）Fig.2 DOA estimation with ESVD（choose the 1st column of eigenvector to constructmatrix Y）

從圖中可以看出，ESVD算法能夠成功估計3個相干入射信號，估計性能略優(yōu)于FBSS，但是對于12°方向上的非相關入射信號卻產生了信號丟失；而此時信號協(xié)方差矩陣的大特征值不止1個，若換取信號特征矢量矩陣的第2列構造矩陣Y，估計結果則如圖3所示。與前一仿真相反，此時僅正確估計出了12°方向的信號，這也恰好說明了不同的大特征矢量所包含的信號信息是不同的。

圖3 ESVD算法DOA估計（選取信號特征矢量矩陣的第2列構造矩陣Y）Fig.3 DOA estimation with ESVD（choose the 2nd column of eigenvector to constructmatrix Y）

上面的分析和仿真給我們一個啟示：當入射信號同時含有相關和非相關信號時，特征值分解得到的幾個大特征矢量所包含的入射信號信息各不相同，取其中某一個特征矢量進行的ESVD算法都難以完成所有信號DOA估計。因此，需要對ESVD算法進行修正，修正的ESVD算法（MESVD）選取所有大特征矢量之和esum來構造矩陣Y，即：

顯然，esum同樣為陣列流形矢量的線性組合，且esum更全面地包含了所有入射信號的信息。以esum構造矩陣Y時，

A1和A2不變，可見，矩陣Y的性質不變，同樣可對其進行奇異值分解并得到信號子空間和噪聲子空間。

采用與前一仿真中相同的條件，利用MESVD算法進行DOA估計仿真計算，結果如圖4所示。從圖中可見，在入射信號同時包含相關和不相關信號時，修正的ESVD算法能夠準確估計出所有入射信號的DOA，估計性能與FBSS相當。

圖4 MESVD算法DOA估計Fig.4 DOA estimation with MESVD

5 結論

綜上所述，本文通過仿真分析和理論推導，對ESVD算法進行了修正，修正后的算法解決了ESVD算法在相干信號和不相關信號同時存在時不能正確進行DOA估計的問題。仿真結果表明，MESVD算法能夠實現(xiàn)相干和相關信號的DOA估計，估計精度與FBSS相當。因此，修正后的算法大大降低了ES-VD類算法的應用條件，增強了算法的魯棒性，而且該算法的優(yōu)勢還在于能夠結合新興的多級維納濾波（MSWF）方法實現(xiàn)特征向量的快速估計，從而提高運算速度。

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謝鑫（1980—），男，湖北隨州人，2010年獲博士學位，現(xiàn)為講師，主要研究方向為引信信號處理；

XIE Xin was born in Suizhou，Hubei Province，in 1980.He received the Ph.D.degree in 2010.He is now a lecturer.His research concerns fuze signal processing.

Email：xxin1980＠163.com

路翠華（1978—），女，山東煙臺人，2011年獲博士學位，現(xiàn)為講師，主要研究方向為引信信號處理；

LUCui-hua was born in Yantai，Shandong Province，in 1978. She received the Ph.D.degree in 2011.She is now a lecturer.Her research concerns fuze signal processing.

李國林（1955—），男，吉林永吉人，教授、博士生導師，主要研究方向為電子對抗、引信技術。

LIGuo-lin was born in Yongji，Jilin Province，in 1955.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns EW，fuze technology.

A M odified ESVD Algorithm for DOA Estimation

XIE Xin，LU Cui-hua，LIGuo-lin
（The 7th Department，Naval Aeronautics and Astronautics University，Yantai264001，China）

The Extended Singular Value Decomposition（ESVD）algorithm can dealwith the coherent signals exactly in Uniform Linear Array（ULA），butwhen the coherent signals and the uncorrelated signals inject at the same time，the ESVD algorithm usually gives incorrect result.According to this problem，amodified algorithm（MESVD）is proposed，which uses aweighted eigenvector to constructamatrix for subspaces estimation.Analysis and simulations show that the MESVD algorithm can give right estimation without considering the relativity of signals and its estimation performance is corresponding to that of FBSSalgorithm.

DOA estimation；coherent signal；singular value decomposition；uncorrelated signal

TN911.7；TN97

A

1001－893X（2013）02－0162－04

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.02.010

1 引言

2012－06－12；

2012－09－24 Received date：2012－06－12；Revised date：2012－09－24

到達角（DOA）估計是陣列信號處理研究的主要問題之一，在無線電通信、電子偵察等領域有著廣泛的應用。子空間類算法由于其超分辨能力而成為DOA估計算法的重要分支，但該類算法都不能直接對相關或者相干信號進行有效估計，要利用此類算法，都需要預先進行解相關處理。傳統(tǒng)的解相關處理一般是采用空間平滑技術，包括前后向平滑算法（FBSS）及其多種變形［1－3］，該類算法存在的問題在于需要先對接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣（記為RXX）進行空間平滑處理以實現(xiàn)解相關，該處理增加了計算量，減小了陣列孔徑；特別是進行空間平滑的子陣個數(shù)和相關入射信號的個數(shù)有關，而在大多數(shù)情況下，相關入射信號的個數(shù)是無法預知的，這就限制了空間平滑類算法的應用。文獻［4］提出了一種基于RXX的迭代解相關算法，該算法能直接應用于非均勻陣列和圓陣列，但運算量較大。奇異值分解（ESVD）算法［5］能夠實現(xiàn)對相干信號的DOA估計，且估計精度要優(yōu)于FBSS，但該算法對相關信號的DOA估計會出現(xiàn)較大偏差，同時，該算法需要進行兩次特征值分解，運算量較大，這在很大程度上限制了該算法的應用。而隨著多級維納濾波（MSWF）［6－7］等快速子空間估計方法的研究進展，ESVD算法的運算量有望大大縮減，因此，本文針對相干信號與不相關信號同時存在的信號環(huán)境，對ESVD算法進行修正，希望能夠擴展其應用范圍。