多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面

張 莉， 劉靜靜， 檀結(jié)慶,

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面

張 莉1， 劉靜靜1， 檀結(jié)慶1,2

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

論文構(gòu)造了一類帶多個(gè)形狀參數(shù)的指數(shù)均勻 B樣條曲線曲面，它保持了指數(shù)均勻B樣條曲線曲面的主要性質(zhì)（如連續(xù)性、凸包性等）。此類曲線在不改變控制頂點(diǎn)的情況下，通過改變其形狀參數(shù)的取值，可以生成多條逼近于控制多邊形的曲線，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線的整體或局部調(diào)控。此外，它還可以精確表示雙曲線、懸鏈線等超越曲線。此類曲面是通過張量積的方法生成的，所以具有與曲線類似的性質(zhì)。論文結(jié)尾給出了大量數(shù)值實(shí)例。

均勻B樣條；調(diào)配函數(shù)；指數(shù)多項(xiàng)式；形狀參數(shù)

均勻 B樣條曲線曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中一個(gè)經(jīng)典的造型工具，它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在實(shí)際的工程中也得到了廣泛的應(yīng)用。然而，均勻B樣條曲線曲面也存在不足，如給定控制頂點(diǎn)后，B樣條曲線曲面是唯一的，如果要調(diào)整曲線曲面的形狀和位置，必須改變曲線曲面的控制頂點(diǎn)。為了克服上述不足，Barsky[12]提出了三次樣條曲線，它具有凸包性、局部性、變差縮減性等B樣條的若干優(yōu)良性質(zhì)，并且有2個(gè)可調(diào)形狀參數(shù)，達(dá)到 G2連續(xù)；吳曉勤[3]提出了帶形狀參數(shù)的Bézier曲線，具有形狀可調(diào)性。張紀(jì)文[4]提出了C-B樣條曲線，它可以精確表示圓和橢圓，但是，它們都不能精確表示雙曲線；王文濤[5-7]等分別提出了帶單形狀參數(shù)的均勻B樣條、三角均勻B樣條、雙曲均勻B樣條；趙顏利[8]等提出了單形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條。這些樣條曲線曲面除了具有不帶參數(shù)時(shí)的性能外，還可以對(duì)曲線曲面進(jìn)行整體調(diào)整。為了進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)曲線曲面的局部調(diào)控，曹娟等[9]給出了帶形狀參數(shù)的均勻B樣條的結(jié)構(gòu)；韓旭里[10]提出了帶形狀參數(shù)的三次非均勻樣條，擴(kuò)展了形狀參數(shù)曲線曲面的應(yīng)用；尹池江[11]、劉旭敏[12]、張莉[13]分別提出了帶多個(gè)參數(shù)的三角均勻B樣條、雙曲B樣條和均勻B樣條，它們除了具備不帶參數(shù)時(shí)的性能外，還可以對(duì)曲線曲面進(jìn)行整體和局部調(diào)控。

本文通過積分的方法引入多個(gè)形狀參數(shù)，構(gòu)造了一類n次帶多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面，通過改變形狀參數(shù)的取值來調(diào)整曲線（曲面）不同部分靠近控制多邊形（控制網(wǎng)格）的程度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)整體或局部調(diào)控。文章構(gòu)造的曲線不僅概括了文獻(xiàn)[8]的情形，而且可以精確表示雙曲線等重要曲線。此外，形狀參數(shù)的取值范圍隨著曲線階數(shù)的增大而增大。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：文章構(gòu)造的曲線比已有的樣條曲線更能靠近控制多邊形。通過大量圖例證實(shí)，文章構(gòu)造的曲線曲面在幾何造型和動(dòng)畫設(shè)計(jì)中具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 基函數(shù)的構(gòu)造及其性質(zhì)

1.1 基函數(shù)的構(gòu)造

稱式(1)為帶形狀參數(shù)α的一次（二階）指數(shù)多項(xiàng)式均勻 B樣條的調(diào)配函數(shù)（簡(jiǎn)稱調(diào)配函數(shù)）[8]。

設(shè) α1, α2∈ R ， t∈ [0,1]，分段積分有

定義1 稱式（2）為帶2個(gè)形狀參數(shù) α1, α2的二次（三階）指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條調(diào)配函數(shù)。

當(dāng) k≥ 3時(shí)，依次定義 k次（ k+1階）帶 k個(gè)形狀參數(shù) αi( i = 1,2,… ,k)的指數(shù)多項(xiàng)式均勻 B樣條調(diào)配函數(shù)如下：

并分別平移 i- k, i - k + 1,… ,i - 1,i 個(gè)單位，則有

由式（4）可以看出樣條函數(shù)的每一段（除去第1段和最后1段）都有2個(gè)形狀參數(shù)。我們用 η, β代表這兩類形狀參數(shù)，其中η代表，β代表。為了使(t ;η, β) 非負(fù)，不妨取η, β ∈ [-1,1]。事實(shí)上，形狀參數(shù)η , β的范圍隨著階數(shù)的增加而增大。

圖1給出了三次（四階）帶多形狀參數(shù)指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條基函數(shù)的圖形，圖1(a)是2個(gè)形狀參數(shù)相等情形，即文獻(xiàn)[8]的情況。圖中的形狀參數(shù)分別為η = β = 3,1,-1 0,-20，其中前2條基函數(shù)曲線圖為單峰，后兩條基函數(shù)曲線圖為雙峰。圖1(b)是2個(gè)形狀參數(shù)不同的情形，其中中間偏高的曲線段的參數(shù)為η = β =3，偏左邊的曲線段的參數(shù)為η =-1 5,β =3，偏右邊的曲線段的參數(shù)為η = 3， β=-1 5?？梢杂^察出：當(dāng)參數(shù)相等時(shí)（就是單參數(shù)的情形），基函數(shù)對(duì)稱，當(dāng)參數(shù)不等時(shí)，基函數(shù)圖形就不再對(duì)稱，2個(gè)參數(shù)既可以上下調(diào)節(jié)曲線的形狀，又可以左右調(diào)節(jié)曲線形狀，正是由于左右調(diào)節(jié)后的不對(duì)稱性，才可以局部調(diào)控曲線。

圖1 三次（四階）帶形狀參數(shù)的指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條基

1.2 基函數(shù)的性質(zhì)

將上面 2式分別在[x, 1]與[0,x]上積分，然后相加整理可得：所以， k = n+ 1時(shí)，，由歸納法原理可知結(jié)論成立。

表1 參數(shù)變化范圍

如圖2所示，帶形狀參數(shù)的三次指數(shù)曲線，帶形狀參數(shù)的一般均勻 B樣條和三角多項(xiàng)式均勻B樣條與其控制多邊形距離大小的比較。圖2中曲線1是指數(shù)均勻B樣條的情形，曲線2是三角多項(xiàng)式均勻B樣條情形，曲線3是一般均勻B樣條的情形。可以看出當(dāng)3種B樣條的參數(shù)都取參數(shù)最大時(shí)，指數(shù)均勻B樣條曲線可以比均勻B樣條和三角B樣條曲線更接近于控制多邊形。

圖2 不同基生成曲線的比較

2 多形狀參數(shù)指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條曲線曲面

與標(biāo)準(zhǔn)均勻B樣條曲線曲面類似，帶多形狀參數(shù)指數(shù)多項(xiàng)式均勻 B樣條基函數(shù)也可以構(gòu)造出相應(yīng)的曲線曲面。為了方便表達(dá)，我們?cè)O(shè)形狀參數(shù) αi∈[-1 ,1],(i = 1,2,… ,n)。

定義 3 給定空間 R2或 R3中控制頂點(diǎn)P0, P1,… ,Pn( n ≥ 2)，及形狀參數(shù)，不妨令αi∈[-1 ,1],(i = 1,2,… ,n)，構(gòu)造曲線段

(0 ≤ t ≤ 1,i = 0,1,… ,n -k )。 然后將它們平移后復(fù)合所得曲線為：

稱式（6）為 k次帶多形狀參數(shù)的指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條曲線的表達(dá)式，其中是（3）式定義的基函數(shù)。

此類曲線的性質(zhì)：

性 質(zhì) 1 （凸包性質(zhì)）由式(6)定義的曲線p( t) 在 區(qū) 間 [i, i +1 ]內(nèi) 的 一 段 曲 線pk( t)(i ≤ t ≤ i+1,i = 0,1,… ,n -k)恒位于由k+ 1個(gè)控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)，整條曲線恒位于這些凸包的并集之內(nèi)。

性 質(zhì)2 （幾何不變性質(zhì)）由式(6)定義的曲線形狀不因坐標(biāo)系的選取而改變。

性 質(zhì) 3 （局部支承性質(zhì)）當(dāng)曲線的一個(gè)控制頂點(diǎn)改動(dòng)時(shí)，曲線 p( t)僅有 k+1個(gè)子段曲線的形狀發(fā)生改變，其余部分不變。而當(dāng)其中某1個(gè)形狀參數(shù)改變時(shí)，僅影響到與之相關(guān)的k個(gè)子曲線段。

性 質(zhì)4 （連續(xù)性質(zhì)和求導(dǎo)公式）含多形狀參數(shù)的 k次指數(shù)多項(xiàng)式均勻 B 樣條曲線，且有

定 義 4 給定空間 R3中的(m + 1)× (n +1)個(gè)點(diǎn)，張量積多形狀參數(shù)的指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條曲面可如下定義：

張量積曲面保持了曲線的主要性質(zhì)：凸包性、幾何不變性、局部支承性等。曲面的導(dǎo)數(shù)公式為：

其中：

3 形狀參數(shù)對(duì)曲線曲面的調(diào)控

3.1 形狀參數(shù)對(duì)曲線的調(diào)控

我們可以根據(jù)表1選取形狀參數(shù)。圖3(a)是當(dāng)形狀參數(shù) α1= α2= α3= α的情況，即單參數(shù)時(shí)的圖形。曲線1，2，3所對(duì)應(yīng)的形狀參數(shù)分別取α= 3,1,- 10。此時(shí)，形狀參數(shù)對(duì)曲線僅有整體調(diào)控作用。圖3(b-d)所示的曲線為形狀參數(shù)互不相等的情形。圖3(b)中的曲線段1，2，3，4的形狀參數(shù)分別為 αi= {3,3,3}， αi= {- 10,- 10,3}，αi= {3,- 10,- 10}， αi={- 10,- 10,- 10}。可以觀察到，曲線段4的某一端形狀參數(shù) α1或 α3增大時(shí)，曲線段將逼近控制點(diǎn) P1或 P2；圖3(c)中的曲線段1, 2, 3的形狀參數(shù)分別為 αi= {3,3,3}，αi={-1 0,3,-1 0}， αi={- 10,- 10,- 10}，曲線3中間形狀參數(shù) α2增大時(shí)，曲線段兩端將同時(shí)向兩側(cè)擴(kuò)張；圖3(d)中的曲線段1，2，3，4的形狀參數(shù)分 別 為 αi= {3,3,3}， αi= { -10,3,3}，αi= {3,3,- 10}， αi={- 10,- 10,- 10}，曲線段4的某一端相鄰的2個(gè)形狀參數(shù) α1, α2或 α2,α3同時(shí)增大時(shí)，曲線段將逼近相應(yīng)一側(cè)的控制頂點(diǎn)，另一側(cè)則向外擴(kuò)張。

3.2 形狀參數(shù)對(duì)曲面的調(diào)控

由式（7）知，曲面是曲線張量積生成的，所以曲面也可作相應(yīng)調(diào)控，下面以雙二次帶多形狀參數(shù)的指數(shù)B樣條曲面為例，簡(jiǎn)單說明曲面的調(diào)控。圖 4控制網(wǎng)格不變時(shí)，改變參數(shù){α1,α2,β1, β2}的值得到不同的雙二次多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲面片，我們可以既整體又局部地對(duì)曲面片進(jìn)行調(diào)控。

圖3 帶3個(gè)形狀參數(shù)的三次指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條曲線段

圖4 雙二次多形狀參數(shù)指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條曲面片

3.3 形狀參數(shù)的幾何意義

由式（4）及形狀參數(shù)對(duì)曲線曲面的調(diào)控效果，我們不難得出形狀參數(shù)的幾何意義。關(guān)于全局形狀參數(shù)，增大形狀參數(shù)會(huì)使曲線（曲面）更加靠近控制頂點(diǎn)（控制網(wǎng)格），反之遠(yuǎn)離。關(guān)于調(diào)整局部形狀參數(shù)，對(duì)于曲面的形狀參數(shù)iα增大時(shí)，曲線會(huì)逼近于與第i個(gè)控制頂點(diǎn)iP相連接的控制多邊形，反之遠(yuǎn)離。對(duì)于曲面，形狀參數(shù)iα增大時(shí)，曲面片逼近于與相連的控制網(wǎng)格，反之遠(yuǎn)離。

4 曲線的應(yīng)用

定理1 給定平面上不共線的3點(diǎn) P2( x2, y2), P1( x1, y1),P0( x0, y0)，令形狀參數(shù) α1= α2= 0或α1= α2=-1，則三階帶多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線為雙曲線的一部分。

證 明 ： 當(dāng) α1= α2= 0時(shí) 取 控 制 頂 點(diǎn)

得

圖5 雙曲線

5 圖形實(shí)例

下面是2種參數(shù)模型的比較。圖6(a)和圖6(b)是開曲線花瓣模型。圖 6(a)中曲線的參數(shù)αi= 3,0,- 3,- 10,-2 0，圖 6(b)中曲線參數(shù)α1= 2,αi=-1 0（, i ≠1），α3=-5 ,αi=-1 0（, i≠3）和αi= 3。圖 6(c)和圖 6(d)為四葉草模型，是閉曲線模型。圖6(c)的參數(shù)為 αi= 3,0,-3 ,-1 0,-2 0。圖6(d)的參數(shù)為 α3=-2 0, αi= 3（, i≠4）。通過圖形實(shí)例可以看出：對(duì)圖形進(jìn)行單參數(shù)調(diào)控時(shí)，無論參數(shù)取何值，都不能覆蓋住多參數(shù)時(shí)的圖形。反之，多參數(shù)調(diào)控時(shí)，只要取相同參數(shù)便可得到單參數(shù)的圖形。故多參數(shù)的引入使曲線形狀更豐富，多參數(shù)還可應(yīng)用于動(dòng)畫設(shè)計(jì)，得到更加豐富多樣的造型。

圖6 單參數(shù)模型和多參數(shù)模型的比較

圖7所示為帶多形狀參數(shù)的指數(shù)多項(xiàng)式均勻B樣條曲線構(gòu)造的花瓶模型。 圖7(a)中花瓶所對(duì)應(yīng)的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,…6 )。圖7(b)中花瓶的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,4,5,6)，α3=-1 0，此時(shí)花瓶只有一部分發(fā)生改變。圖7(c)中花瓶的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,5,6)， α3=-1 0,α4=- 20，此時(shí)花瓶相鄰的兩部分發(fā)生改變。圖7(d)中花瓶的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,4,5)， α3=- 10，α6=- 20此時(shí)曲線發(fā)生改變的部分互不相交。顯然，多形狀參數(shù)實(shí)現(xiàn)了局部調(diào)控曲線，得到了更多樣的曲面造型。

圖7 花瓶模型

6 結(jié) 束 語

文章采用分段積分的方法，構(gòu)造了多形狀參數(shù)指數(shù)多項(xiàng)式均勻 B樣條基函數(shù)和多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面。一方面，它擴(kuò)展了指數(shù)多項(xiàng)式均勻 B樣條基函數(shù)的形式；另一方面，在保持原有性質(zhì)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了對(duì)曲線曲面的整體與局部調(diào)控。當(dāng)然，文章構(gòu)造的曲線還存在要改進(jìn)的地方，例如，與文獻(xiàn)[13]的曲線相比較，文獻(xiàn)[13]的代數(shù)多項(xiàng)式被指數(shù)多項(xiàng)式所替代，這樣，現(xiàn)有的一些比較成熟的算法（如de Boor算法）就不能使用了。但是，本文提出的曲線也有自己的優(yōu)點(diǎn)：同文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]相比，參數(shù)范圍更廣，可以更接近或遠(yuǎn)離控制多邊形。又由于指數(shù)均勻B樣條是定義在 Ωk上，且 Ωk對(duì)積分運(yùn)算是封閉的，即對(duì)任意的 Nt∈Ωk有 ∫Ntdt=1，為相關(guān)的積分運(yùn)算帶來方便。此外，文章中的曲線可以精確表示雙曲線、旋鏈線等超越曲線。通過最后的圖形實(shí)例可以看出，由于曲線形狀隨著參數(shù)的改變而改變，可將其用于曲線曲面造型和動(dòng)畫設(shè)計(jì)。尺有所短，寸有所長(zhǎng)，現(xiàn)有的曲線曲面都有著各自的優(yōu)缺點(diǎn)，只能通過取長(zhǎng)補(bǔ)短來彌補(bǔ)各自的不足。我們的目標(biāo)是在以后的工作中構(gòu)造出更多具有優(yōu)良性質(zhì)的曲線曲面。

[1] Barsky B A, Computer graphics and geometric modeling using beta-splines [M]. Springer-Verlag, New York, 1988: 12-48.

[2] Barsky B A, Beatty J C. Local control of bias and tension in beta-splines [J]. Computer graphics,1983, 17(3): 193-218.

[3] 吳曉勤. 帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[J]. 中國圖象圖形學(xué)報(bào), 2006, 11(2): 269-274.

[4] Zhang Jiwen. C-curves: Two different forms of C-B-Splines [J]. Computer Aided Geometric Design, 1997, 14(1): 31-41.

[5] 王文濤, 汪國昭. 帶形狀參數(shù)的均勻 B樣條[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 16(6): 783-788.

[6] 王文濤, 汪國昭. 帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻 B樣條[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2005, 28(7): 1192-1198.

[7] 王文濤, 王國昭. 帶形狀參數(shù)的雙曲多項(xiàng)式B樣條[J].軟件學(xué)報(bào), 2005, 16(4): 625-633.

[8] 趙顏利, 郭成昊, 劉鳳玉. 帶形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條模型[J]. 計(jì)算機(jī)科學(xué), 2008, 35(2): 238-241.

[9] Cao Juan, Wang Guozhao. The structure of uniform B-spline curves with parameters [J]. Progress inNatural Science, 2008, 18(3): 303-308.

[10] Han Xuli. A class of general quartic spline curveswith shape parameters [J]. Computer Aided Geometric Design, 2011, 28(3): 151-163.

[11] 尹池江, 檀結(jié)慶. 帶多形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻B樣條曲線曲面[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào), 2011, 23(7): 1131-1138.

[12] Liu Xumin, Xu Weixiang, Guan Yong, et al. Hyerbolic polynomial uniform B-spline curves and surfaces with shape parameters [J]. Graphical Models,2010, 72(1): 1-6.

[13] 張 莉, 鄔弘毅. 多形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 30(2): 252-256.

[14] 施法中. 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理 B樣條[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 75-163.

Exponential Uniform B-Spline Curves and Surfaces with Multiple Shape Parameters

Zhang Li1, Liu Jingjing1, Tan Jieqing1,2
( 1. College of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. College of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

A class of exponential uniform B-spline curves and surfaces with multiple shape parameters is provided. They preserve the main properties of the exponential uniform B-spline curves and surfaces, such as positive property, convexity-preserving property and so on. The curves can be adjusted by changing the values of shape parameters without moving their control points. So we can realize the entire or local adjustment of the curves. What’s more, the exponential uniform B-spline curves can represent hyperbola, catenary and other transcendental curves precisely. The corresponding surfaces can be constructed by using tensor product, so their properties are similar to that of the curves. Plenty of numerical tests are given to show the effectiveness of our method.

uniform B-spline; Blending function; exponential polynomial; shape parameters

TP 391.72

A

2095-302X (2013)03-0029-07

2012-07-15；定稿日期：2012-11-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（U1135003,61100126）；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目（20100111120023, 20110111120026）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11040606Q42）；安徽省高等學(xué)校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金資助項(xiàng)目（2011SQRL184）

張 莉（1976-），女，安徽合肥人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：hgdzli@126.com