氟化梯度折射率塑料光纖帶寬特性計算

苗 圃 吳樂南

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096)

塑料光纖(POF)由于其數(shù)值孔徑大、纖芯粗、柔韌性好、價格低廉、易于與光器件鏈接等優(yōu)點而越來越多地用于高速寬帶接入網(wǎng)中.研究和測試表明［1－3］，氟化聚合物梯度折射率塑料光纖(PF－GIPOF)在近紅外區(qū)域具有較小的衰減和微弱的模式色散且能夠使用石英玻璃光纖(GOF)系統(tǒng)常用的光電器件而成為接入網(wǎng)中最優(yōu)的傳輸介質(zhì)選擇.影響帶寬的主要因素是色散［2－4］，因此建立準確的色散模型，選擇最優(yōu)參量，可有效地提高光纖的帶寬性能和傳輸能力.

國內(nèi)外眾多學(xué)者對光纖的色散模型進行了研究.Kurt 等［5－6］考慮了部分參數(shù)作用下的傳輸特性而忽略了其他參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，該類模型具有一定的應(yīng)用局限.Garito 等［7］考慮到了模式耦合但忽略了模式損耗因素，僅在光源滿注入(OFL)條件下成立，給帶寬的預(yù)測帶來了限制.Gasulla等［8］推導(dǎo)出的多模光纖色散模型能夠很好地描述其傳輸特性，但實現(xiàn)困難，形式復(fù)雜，適用于理論研究卻不利于仿真計算.Yabre［9］分析了模式時延、耦合因子和衰減系數(shù)等因素，在限模注入(RML)和OFL 條件下推導(dǎo)出多模光纖色散模型，隨后Ge等［10］在此基礎(chǔ)上使用模式選擇激勵法提高傳輸帶寬，但實驗中細分的模式激勵卻不易準確實現(xiàn).本文在文獻［8－14］色散計算和模式耦合及損耗定量估計的基礎(chǔ)上，綜合考慮了折射率指數(shù)、材料色散、衰減系數(shù)、光注入條件和光源特性等因素，分析了全色散模型，借助數(shù)值計算研究了帶寬特性，旨在選擇最優(yōu)的光纖參量進而提升傳輸帶寬.

1 基帶功率傳輸函數(shù)分析與推導(dǎo)

假設(shè)a 為纖芯半徑，n1(λ)和n2(λ)分別為光纖軸心和包層處的折射率，λ 為激勵光源的自由空間波長，α 為纖芯折射率分布指數(shù)，r 為距光纖軸心的距離，則PF－GIPOF 的折射率滿足平方律分布:

圖1 PF-GIPOF 的折射率分布與工作波長關(guān)系

光纖中存在許多滿足Maxwell 方程解的模式，每個傳導(dǎo)模式的傳輸速度和傳播常數(shù)各有差異，但近鄰傳導(dǎo)模之間的傳播常數(shù)和速度卻近似相等，可將這些近鄰傳導(dǎo)模組合為模群.通過WKB 法可計算出單位纖長的模群延遲為［9］

令光纖長度為z，Ω 為基帶角頻率，P(λ，λ0)為時間非相干光源的光譜分布，Ceff(m，λ)和L(m，λ，z)分別為光源對m 模群的激勵系數(shù)和傳輸損耗，G(m，λ，z，Ω)為不同光入射條件下的模式耦合效應(yīng).假設(shè)式(1)所定義的PF－GIPOF 是線性系統(tǒng)，當(dāng)a 較大且激勵光源頻譜線寬均方根W 滿足［10］

時，所激勵出的模式之間排列就會異常緊密，可認為m 是連續(xù)值，那么m 和λ 對功率貢獻的和值計算便可使用積分來代替.則在復(fù)頻域內(nèi)其基帶功率傳輸函數(shù)可寫為

假設(shè)光源能量主要集中在中心波長λ0處，則Ceff(m，λ)，L(m，λ，z)和G(m，λ，z，Ω)可由它們在λ0處的值來代替，以簡化模型的分析計算.

用泰勒級數(shù)對式(2)左半部分展開，可得

為簡化計算，式(5)中第2 項和第3 項系數(shù)可分別由它們的平均值D0(λ0)和S0(λ0)來代替，取前3 項代入式(4)中，拆分化簡后可得

其中，色度色散效應(yīng)傳輸函數(shù)為

模式色散效應(yīng)傳輸函數(shù)為

由式(6)～(8)可看出，PF－GIPOF 的基帶功率傳輸函數(shù)可由2 個獨立的函數(shù)乘積組成，且色度色散與時延相關(guān)，而光源激勵、模式時延、差分模式損耗和模式耦合卻決定了模式色散.

2 色度色散效應(yīng)計算

假設(shè)光源功率譜具有高斯線譜分布特征，即

將式(1)、(2)和(9)代入式(7)中，計算得

其中，w1=－ D0(λ0)Wz，w2=(S0(λ0)+2D0(λ0)/λ0)W2z.可看出，即使系統(tǒng)工作在零色散波長附近，由于S0(λ0)的存在，色度色散對帶寬的影響也不能忽略.當(dāng)遠離零色散波長區(qū)域時對色度色散的制約作用可忽略.

3 模式色散效應(yīng)計算

將式(8)對直流分量Hmd(λ0，z，0)進行歸一化:

式中，R(m，λ0，z，Ω)=Ceff(m，λ0)G(m，λ0，z，Ω)·L(m，λ0，z)e－jΩτ(m，λ0)z為m 模群在復(fù)頻域內(nèi)的能量分布.

3.1 差分模式損耗的擬合

差分模式損耗(DMA)是指傳導(dǎo)模由于路徑不同造成各模式間損耗系數(shù)不同的現(xiàn)象.由于PFGIPOF 的制造材料、設(shè)備工藝及應(yīng)用場合不同，因此DMA 至今沒有統(tǒng)一確定的計算公式.模式損耗L(m，λ0，z)=e－αT(m，λ0)z，大量的實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明αT(m，λ0)滿足修正的貝塞爾函數(shù)［9］，可表示為

式中，α0(λ)為本征損耗;Iρ為ρ 階修正的第一類貝塞爾函數(shù);η 為權(quán)重因子.根據(jù)測試數(shù)據(jù)找出合適的擬合因子ρ 和η，便可得出L(m，λ0，z)的解析表達式.

3.2 模式激勵系數(shù)

Ceff表示光耦合進入纖芯后不同傳導(dǎo)模的功率比例，其值與光入射條件有關(guān).在OFL 條件下，光斑直徑與纖芯直徑相當(dāng)，光錐角大于光纖的數(shù)值孔徑，傳導(dǎo)模被均勻地激勵，光波能量均勻分配，此時Ceff=1.而在目前中短距離高速數(shù)據(jù)傳輸試驗中，所用光源大多選擇受激輻射發(fā)光的半導(dǎo)體激光器或垂直腔面發(fā)射激光器，其發(fā)散角小、光束細且功率譜密度具有高斯線譜分布特征，注入到光纖截面的激光束直徑小于纖芯直徑，那么此時僅有部分傳導(dǎo)模被激勵承載光波能量，且各模式能量大小根據(jù)激光束半徑、注入到纖芯截面處的坐標和入射角數(shù)值孔徑的不同而各有差異.在RML 條件下，Ceff便可由激勵模式和入射激光電場強度的交迭積分計算得到.

假設(shè)激光束中心和光纖截面軸心對齊，與其幾何形狀耦合匹配，在光纖截面則呈現(xiàn)出半徑為w圓對稱的近場光分布.設(shè)(x，y)為纖芯截面平面坐標，則該點處的電場強度為

令Hu為u 次厄米特多項式，受激模式的厄米特－高斯場可近似表示為［10］

式中，w0為歸一化激光束半徑.則Ein(x，y)和ψuv(x，y)對纖芯截面的積分為

那么m 模群的功率激勵系數(shù)均值為

可求得被激勵的模群數(shù)為

MGB(λ)=M(α，λ)·

在一定的波長下，激光束所激勵的初始模群個數(shù)與w 有關(guān)，受激模群越少，其能量差異就越小，各模群所承載的光功率越易趨于平衡，模群到達接收端的時間就越趨于一致，導(dǎo)致輸出信號的脈沖展寬量就變小.因此，合理選擇激光束半徑，可以有效減小模式色散，提高傳輸帶寬.

3.3 模式耦合函數(shù)

傳導(dǎo)模沿光纖傳播時，各模式之間非獨立，能量會隨機地在相鄰模式間轉(zhuǎn)移，引起能量重新分配.通過以上分析，Ceff，L 和τ 都可得到完整的解析表達，但由于模式之間能量轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性，卻很難得出G 的解析表達.在基于傳導(dǎo)模式為連續(xù)變量且能量耦合只發(fā)生在相鄰模式間的假設(shè)條件下［11］，可通過能流方程來測量模式耦合系數(shù).基于此，同樣地可通過求解傳導(dǎo)模的功率流方程來表示R(m，λ0，z，Ω).綜合考慮式(11)中各個函數(shù)，參照Gloge 能流方程，可推出傳導(dǎo)模的功率流方程為

式中，d(m，λ0)為歸一化到M2(λ0)的模式耦合系數(shù).對于此類偏微分方程，使用Crank－Nicholson 的格式有限差分法便可以求出R(m，λ0，z，Ω)的數(shù)值解，相應(yīng)地Hmd(λ0，z，Ω)也可計算求解.

4 計算結(jié)果與分析

通過以上分析可知，PF－GIPOF 的長度、折射率指數(shù)、工作波長、激勵光源等參量影響著色度色散和模式色散，在不同條件下通過式(7)、(8)計算其頻率響應(yīng)進而可得到其帶寬特性.由于模式耦合對帶寬影響甚微，在以下計算中取G =1.

4.1 傳輸參量計算與仿真

假設(shè)參數(shù)z =200 m，α =2，λ0=1 300 nm，芯/包直徑為120/490 μm，使用W =5 nm，w =20 μm的光譜高斯分布光源，通過式(1)可得n1=1.348，n2=1.336，Δ=0.009 5，數(shù)值孔徑NA=0.186 1.在1 300，850 和650 nm 工作波長下，保持其他參量不變，計算單位長度模群時延，結(jié)果如圖2所示.由圖可見，650 nm 的高階模群時延量要小于低階模群，而1 300 nm 的情況與其相反，850 nm 的模群間時延的差異最小.

圖2 不同工作波長下單位長度的模群時延對比

改變w，可得到被激勵的模群數(shù)與w 在不同工作波長下的仿真對比，如圖3所示.該類曲線呈開口向上的拋物線狀，不同波長的光源所激勵的模群總數(shù)也有所不同，可求得在w =11.76 μm 處的激勵模群最少.因此合理選擇w，使激勵模群總量越少，其能量分配就越易趨向平衡狀態(tài)，模群傳播常量差異就愈小，色散效應(yīng)也就越弱，進而傳輸帶寬可得到相應(yīng)提高.

圖3 不同光源激勵的模群數(shù)目對比

4.2 不同條件下的頻率響應(yīng)計算與分析

令w =11.76 μm，z =100 m，采用文獻［11－13］中的實驗方法，取ρ =11，η =12.2 對式(12)數(shù)值擬合［14］，保持光纖其他參量不變，在考慮DMA 和忽略DMA 情況下，系統(tǒng)頻率響應(yīng)計算對比如圖4所示.可以看出由于DMA 的作用，－3 dB 帶寬從1.56 GHz 提升到5.12 GHz.由于高階模群衰減大于低階模群，在傳輸一定距離后，高階模群會因劇烈衰減而消失，在輸出端的最大相對延遲不再位于m/M =0 和m/M =1 之間，而是在m/M =0 和某個小于1 的模群之間.因此，高階模的消失在一定程度上減小了模式間的最大時延，導(dǎo)致脈沖展寬減小，模間色散減弱.這從另一方面說明了DMA 對傳導(dǎo)模具有“濾波”作用，其帶寬的提高是色散和損耗的折中結(jié)果.取不同纖長的頻率響應(yīng)，在忽略DMA、考慮DMA、使用Gasulla［8］模型和Tolga［5］模型情況下，計算出的－3 dB 帶寬分別為B1，B2，B3和B4，結(jié)果如圖5所示.可看出，B2和B3接近，但B3形式復(fù)雜不利于仿真計算，B4從脈沖時延角度統(tǒng)計帶寬，參數(shù)考慮不全面，結(jié)果與B1近似.

圖4 考慮DMA 和忽略DMA 情況下的頻率響應(yīng)對比

圖5 －3 dB 帶寬與光纖長度的關(guān)系對比

DMA 可提高傳輸帶寬，但為了研究其他參數(shù)對帶寬的影響，就必須忽略DMA 以免與其他參數(shù)的作用發(fā)生混淆.由于α 影響著纖芯折射率的分布情況，α 不同，傳導(dǎo)模的路徑也就不同.保持材料參數(shù)和光源參數(shù)不變，α 分別取1.8，2.0，2.1，2.16和2.3，得到的頻率響應(yīng)對比如圖6所示.α 增大，帶寬相應(yīng)提高，但α 同時又影響著材料色散和模式耦合，并非愈大愈好.當(dāng)α 逐漸增大以致折射率分布結(jié)構(gòu)愈趨近于SIPOF 時，模式傳播路徑被延長，模式耦合便對傳輸特性起主導(dǎo)作用，帶寬反而急劇下降.因此選擇合理的α 可使模式間路程差最小，耦合效應(yīng)最低，帶寬最大.計算后可知，α =2.16 時對應(yīng)的最優(yōu)－3 dB 帶寬為3.92 GHz.

圖6 不同折射率指數(shù)下的頻率響應(yīng)對比

同樣地，α 仍取2.0，忽略DMA，其他參數(shù)同上，λ 分別取650，1 300 和1 550 nm 時，頻率響應(yīng)對比如圖7所示.經(jīng)計算可知盡管在1 550 nm 處存在較小的材料色散，但由于DMA 效應(yīng)要比1 300 nm 處的小，在材料色散和DMA 對帶寬的影響中，DMA 仍占據(jù)主導(dǎo)作用，因此－3 dB 帶寬就小于1 300 nm 處的帶寬.所以，波長對帶寬的影響其本質(zhì)是不同激勵條件下的材料色散和DMA 共同競爭的結(jié)果.通過圖4～圖7的頻率響應(yīng)對比可知，帶寬特性是眾多傳輸參量共同作用的結(jié)果，改變單一參量并不能使傳輸性能最優(yōu).綜合考慮各個因素對傳輸特性的影響，合理選擇傳輸參量，才能最大程度地提升帶寬性能.

圖7 不同工作波長下的頻率響應(yīng)對比

5 結(jié)語

PF－GIPOF 良好的物理特性和寬帶特性使其成為短距通信的最佳傳輸介質(zhì).本文在任意折射率圓對稱光纖傳輸參量計算的基礎(chǔ)上，理論分析了傳輸特性，推導(dǎo)出基帶功率傳輸函數(shù)，得到綜合折射率指數(shù)、材料色散、光注入條件等因素的色散計算模型，仿真得到模群時延和模式損耗的分布特性，取不同參數(shù)計算頻率響應(yīng)和－3 dB 帶寬.實驗結(jié)果表明:DMA 在一定程度上可提高傳輸帶寬，合理選擇激勵光源和光纖傳輸參量可有效提高系統(tǒng)的通信性能.該色散模型可用于任意條件下PF－GIPOF 傳輸參量和帶寬的估算及仿真，為推動POF在數(shù)據(jù)通信等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論分析和實驗基礎(chǔ)，具有一定的實用價值.

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