基于小波樹(shù)和四叉樹(shù)的圖像分形編碼算法研究*

牟宇飛，張文普，彭 畑，陽(yáng) 溢

（重慶通信學(xué)院，重慶400035）

分形圖像編碼是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種編碼技術(shù)，它以分形理論為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[1]。BARNSLEY M于1988年首先提出基于塊的編碼方案[2]，分形編碼就作為一種新的圖像編碼技術(shù)受到人們的廣泛關(guān)注。隨后他的學(xué)生JACQUIN A提出一個(gè)基于仿射變換的完全自動(dòng)的圖像編碼方案[3]，分形編碼的計(jì)算復(fù)雜性由值域塊的匹配塊的搜索過(guò)程決定。由于分形編碼運(yùn)算復(fù)雜度太大，編碼時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，極大地限制了其應(yīng)用。因此，縮短分形編碼時(shí)間是分形編碼技術(shù)面臨的一個(gè)重要問(wèn)題。

圖像經(jīng)過(guò)多級(jí)小波分解后，各級(jí)小波子帶具有明顯的相似性，可利用小波變換和分形編碼的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行圖像壓縮編碼。

小波和分形的混合編碼比較經(jīng)典的算法有兩類：RINALDO R等人提出代表性的基于小波變換的分形預(yù)測(cè)圖像編碼算法[4]，低分辨率圖像預(yù)測(cè)高分辨率圖像的編碼仍采用仿射變換，但不需收縮映射，解碼時(shí)不需迭代且可直接估計(jì)均方差；DAVIS G M把零樹(shù)概念引入到分形圖像編碼[5]，把相似塊與圖像塊之間的分形匹配轉(zhuǎn)化為相似樹(shù)與圖像樹(shù)之間的分形匹配，通過(guò)小波變換產(chǎn)生子圖之間的相似性，用分形方法來(lái)開(kāi)發(fā)這些相似性。

1 圖像小波變換和分形編碼

1.1 圖像小波變換

一幅圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，可分解為不同方向、不同分辨率的子帶圖像。二維Mallat小波分解和重構(gòu)算法的公式為：

多級(jí)小波變換是將上級(jí)小波變換得到的低頻子帶系數(shù)再進(jìn)行一級(jí)小波變換。多級(jí)小波變換后將圖像分解成不同分辨率的子帶，如圖1所示。由于圖幅大小的關(guān)系，只標(biāo)出了一級(jí)和二級(jí)分解的小波子帶，多級(jí)小波變換產(chǎn)生的子帶以此類推。其中，HL是水平子帶，LH是垂直子帶，HH是對(duì)角子帶。

圖1 小波多級(jí)分解子帶示意圖

小波系數(shù)的零樹(shù)結(jié)構(gòu)是Shaprio在研究小波系數(shù)的漸進(jìn)傳輸時(shí)提出來(lái)的。下文中提到的小波樹(shù)和零樹(shù)結(jié)構(gòu)有相同點(diǎn)，也有區(qū)別。小波樹(shù)是將水平、垂直和對(duì)角3個(gè)方向上的小波子帶的小波系數(shù)結(jié)合考慮，同時(shí)小波樹(shù)的根可以不只是一個(gè)系數(shù)，還可以是2×2的小波系數(shù)塊。

1.2 圖像分形壓縮編碼

分形編碼的主要理論基礎(chǔ)是迭代函數(shù)系統(tǒng)理論、不動(dòng)點(diǎn)定理和拼貼定理，所要解決的主要問(wèn)題是把待編碼的圖像作為吸引子時(shí)如何得到IFS參數(shù)。基本算法的主要步驟如下：

（1）將原始圖像分成不重疊的值域塊（記為R塊），大小為n=B×B像素。

（2）將原始圖像分成可以重疊的定義域塊（記為D塊），大小為2B×2B像素。

（3）對(duì)每一個(gè)R塊，搜索一個(gè)D塊，使D塊經(jīng)過(guò)式（6）變換后得到的D′與R塊的誤差最小。R和D′的像素值分別為ai、bi（i=1，2，…，n）。

其中，γ是收縮變換，可以采取4像素取平均值得到與R塊同樣大小的塊；Tk是8種仿射變換，包括關(guān)于x軸、y軸、y=x、y=-x對(duì)稱，以及關(guān)于中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°、90°、180°和270°；I為全1矩陣，s、o、j、k為要求的參數(shù)，s為對(duì)比度因子，o為灰度偏移量，j為D塊的序號(hào)，記錄了D塊的位置，k為仿射變換的種類。

根據(jù)最小二乘法，可以計(jì)算：

2 相關(guān)算法研究

[6]提出小波域內(nèi)相鄰子圖的分形預(yù)測(cè)編碼算法。在低分辨率子帶水平、垂直和對(duì)角3個(gè)方向上分別進(jìn)行分形編碼，用此編碼對(duì)在水平、垂直和對(duì)角3個(gè)方向上預(yù)測(cè)得到高分辨率子帶的分形編碼，但是沒(méi)有給出具體如何預(yù)測(cè)。參考文獻(xiàn)[7]提出對(duì)得到的低分辨率子帶的分形編碼進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋壤儞Q以得到高分辨率子帶的分形編碼，其壓縮效果較好，但是獲得高分辨率子帶上的分形編碼時(shí)，依據(jù)不是很充分，在壓縮比較大時(shí)解碼圖像質(zhì)量有所下降。參考文獻(xiàn)[8]提出一種基于小波域的分形圖像編碼改進(jìn)算法。該算法首先將圖像分解到小波域，然后根據(jù)各子圖像所包含能量的大小和所代表的方向等信息，采用不同大小、形狀和類別的圖像塊及相似塊進(jìn)行分形編碼。在編碼過(guò)程中按照零樹(shù)結(jié)構(gòu)在同方向不同分辨率的各個(gè)子帶圖像上確定要預(yù)測(cè)的圖像塊，同時(shí)在同方向低一級(jí)分辨率的子帶圖像上尋找與其最佳分形匹配的相似塊，并由各級(jí)相似塊構(gòu)成預(yù)測(cè)樹(shù)。算法取得較高的壓縮比，解碼質(zhì)量也有所下降。參考文獻(xiàn)[9]提出基于方向性零樹(shù)小波的分形圖像編碼，將小波零樹(shù)與分形編碼的優(yōu)勢(shì)相結(jié)合。

3 基于小波樹(shù)和四叉樹(shù)的圖像分形編碼算法研究

圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，除去最后一級(jí)小波變換產(chǎn)生的4個(gè)最低分辨率子帶，對(duì)其他高分辨率子帶按照小波樹(shù)結(jié)構(gòu)形成一棵棵小波樹(shù)，所形成的即為待編碼的小波樹(shù)，記為值域樹(shù)。值域樹(shù)根節(jié)點(diǎn)所在子帶低一級(jí)分辨率子帶上，也可以形成小波樹(shù)結(jié)構(gòu)，去掉它們?cè)诘谝患?jí)小波變換的小波系數(shù)節(jié)點(diǎn)，則與值域樹(shù)有相同的大小、相同的層次，記為定義域樹(shù)。

算法的主要步驟如下：

（1）對(duì)256像素×256像素大小的灰度圖像經(jīng)過(guò)多級(jí)小波變換，分解成多級(jí)小波子帶，如進(jìn)行4級(jí)小波分解。

（2）對(duì)最低分辨率子帶，也就是最后一級(jí)小波分解產(chǎn)生的低頻子帶LL4和水平HL4、垂直LH4、對(duì)角HH43個(gè)高頻子帶，進(jìn)行失真較小的編碼，采用均勻量化編碼。

（3）對(duì)高分辨率子帶按照小波樹(shù)結(jié)構(gòu)形成一棵棵小波樹(shù)，即為待編碼的小波樹(shù)，記為值域樹(shù)。小波樹(shù)的根可以是單個(gè)系數(shù)，也可以是2×2的小波系數(shù)塊等。設(shè)定一個(gè)閾值，當(dāng)小波樹(shù)的所有小波系數(shù)都小于等于閾值時(shí)直接置0，不進(jìn)行分形編碼。

（4）對(duì)小波系數(shù)大于閾值的值域樹(shù)進(jìn)行分形編碼。分形編碼就是搜索值域樹(shù)最匹配的定義域樹(shù)，搜索的范圍在值域樹(shù)根的位置按小波樹(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)到低一級(jí)位置鄰近的一個(gè)區(qū)域，不采用全局搜索，以加快算法的速度。

令i′=ceil（i/2），j′=ceil（j/2），則i′-5≤m≤i′+5且1≤m≤16，j′-5≤n≤j′+5且1≤n≤16。

如果分形編碼時(shí)誤差小于等于設(shè)定的誤差閾值，則記錄分形參數(shù)；如果大于設(shè)定的誤差閾值，則對(duì)設(shè)立標(biāo)志位，對(duì)大于小波系數(shù)閾值的系數(shù)進(jìn)行均勻量化編碼。然后去掉根節(jié)點(diǎn)，對(duì)剩下的小波樹(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分形編碼，此時(shí)的定義域樹(shù)也去掉根節(jié)點(diǎn)，如果誤差小于等于設(shè)定的誤差閾值，則記錄分形參數(shù)；如果大于設(shè)定的誤差閾值，則進(jìn)行四叉樹(shù)分裂，形成根節(jié)點(diǎn)在等4個(gè)位置上的小波樹(shù)，即根節(jié)點(diǎn)在第2級(jí)小波子帶上。此后的編碼同根節(jié)點(diǎn)在第3級(jí)小波子帶上類似。

（5）對(duì)根節(jié)點(diǎn)在第2級(jí)小波子帶上的小波樹(shù)進(jìn)行分形編碼，如果誤差小于等于設(shè)定的誤差閾值，則記錄分形參數(shù)；如果大于設(shè)定的誤差閾值，則設(shè)立標(biāo)志位，對(duì)大于小波系數(shù)閾值的系數(shù)進(jìn)行均勻量化編碼。

編碼算法流程圖如圖2所示。

解碼是編碼的逆過(guò)程，由LL4、HL4、LH4、HH4逐級(jí)外推解碼出3級(jí)、2級(jí)、1級(jí)小波子帶，最后進(jìn)行多級(jí)小波重構(gòu)，恢復(fù)出原圖像。

圖2 編程算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對(duì)Lena、cameraman和couple 3幅256×256的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試灰度圖像進(jìn)行了分形編碼解碼實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Core i3 M330 CPU，2GB內(nèi)存，Windows XP系統(tǒng)。用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并將基本算法、參考文獻(xiàn)[8]算法與本文算法進(jìn)行了比較。

實(shí)驗(yàn)1

分別用上述3種方法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lena進(jìn)行分形編碼解碼，結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯霰疚乃惴ㄟ€存在一定的塊效應(yīng)，這是由于對(duì)某些小波系數(shù)直接置0所引起的。

實(shí)驗(yàn)2

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)試圖像cameraman進(jìn)行分形編碼解碼，結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯霰疚乃惴ù嬖趬K效應(yīng)，同時(shí)人物的手部不是很清晰，還有改進(jìn)的余地。

實(shí)驗(yàn)3

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)試圖像couple進(jìn)行分形編碼解碼，結(jié)果如圖5所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)1結(jié)果

圖4 實(shí)驗(yàn)2結(jié)果

圖5 實(shí)驗(yàn)3結(jié)果

最后列出了各算法的編碼時(shí)間、PSNR和壓縮比，如表1所示。

從表1可以看出，與基本算法相比，本文算法在解碼圖像質(zhì)量上，Lena圖像在根采用單節(jié)點(diǎn)時(shí)PSNR略有提高，在根采用2×2塊時(shí)略有下降；couple圖像的PSNR值略微下降；cameraman圖像在根采用單節(jié)點(diǎn)時(shí)PSNR值提高了約1.8 dB，在根采用2×2塊時(shí)也提高了1.1 dB。與參考文獻(xiàn)[8]算法相比，3幅圖像的PSNR值都有很大提高，平均提高了5 dB。但是本文算法在一些圖像細(xì)節(jié)邊緣上不夠清晰，存在一定的塊效應(yīng)，還有待改進(jìn)，如考慮減小閾值或者設(shè)置感興趣區(qū)域。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

由于搜索匹配樹(shù)是在值域樹(shù)相應(yīng)的鄰近區(qū)域搜索，沒(méi)有采用全局搜索，且沒(méi)有進(jìn)行8種仿射變換，運(yùn)算速度有很大改善，運(yùn)算時(shí)間大約為基本算法的1/40，為參考文獻(xiàn)[8]算法的1/12。

從壓縮比來(lái)看，參考文獻(xiàn)[8]算法最高，本文算法次之，基本算法最低。對(duì)本文算法，根采用2×2塊時(shí)與根采用單節(jié)點(diǎn)相比，在解碼圖像略微降低的情況下，提高了壓縮比。

將小波變換與分形編碼相結(jié)合對(duì)圖像進(jìn)行壓縮編碼，發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)是值得研究的方向。小波分解形成3個(gè)方向的子帶，自然地對(duì)分形編碼中的定義域塊和值域塊進(jìn)行了分類，從而減少了編碼搜索的時(shí)間。同時(shí)，小波分解產(chǎn)生的各級(jí)子帶間具有較強(qiáng)的相似性，分形的優(yōu)勢(shì)正好在于自相似性強(qiáng)的圖像，如何利用分形開(kāi)采這種相似性，提高圖像解碼質(zhì)量，有待于深入地研究。

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