具有分布時(shí)滯的隨機(jī)中立型系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定

汪 慧， 丁 健

（安徽新華學(xué)院 公 共課教學(xué)部，安徽 合 肥 230088）

0 引 言

工業(yè)技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)和生物工程等領(lǐng)域存在的許多問(wèn)題，其動(dòng)態(tài)規(guī)律皆可用確定模型和隨機(jī)模型來(lái)描述。在理想狀態(tài)下，系統(tǒng)經(jīng)常表述為確定性模型。當(dāng)對(duì)系統(tǒng)研究有較高的精度要求時(shí)，必須充分考慮隨機(jī)因素的影響。而現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中由于傳輸、測(cè)量等各類因素的影響，普遍存在著時(shí)滯現(xiàn)象，這常常是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要因素之一。目前對(duì)于中立型系統(tǒng)的研究成果已經(jīng)推廣到隨機(jī)中立型系統(tǒng)，如文獻(xiàn)［1－2］對(duì)隨機(jī)中立型系統(tǒng)的魯棒控制進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［3］給出了隨機(jī)時(shí)滯中立系統(tǒng)的L2－L∞濾波設(shè)計(jì)的充分條件。在實(shí)際運(yùn)用中由于種種因素均會(huì)造成控制器實(shí)現(xiàn)過(guò)程中參數(shù)發(fā)生一定程度的變化，結(jié)果往往會(huì)導(dǎo)致原來(lái)穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。因此，對(duì)不確定隨機(jī)中立系統(tǒng)的研究逐步成為研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［2］研究了不確定隨機(jī)中立系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定和H∞控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［4］又對(duì)此類系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性給出了結(jié)論。近年來(lái)，文獻(xiàn)［5］提出了具有分布時(shí)滯的隨機(jī)中立系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定和H∞控制問(wèn)題，并給出了充分條件。雖然對(duì)此類時(shí)滯系統(tǒng)的控制器的研究已經(jīng)有很多［6－9］，但對(duì)于不同時(shí)變時(shí)滯的不確定隨機(jī)中立系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題研究報(bào)道尚少，有廣泛的研究空間。

本文關(guān)注的是同時(shí)具有離散和分布的時(shí)變時(shí)滯的不確定隨機(jī)中立型系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題。針對(duì)一類在狀態(tài)項(xiàng)含時(shí)變時(shí)滯，狀態(tài)項(xiàng)和控制項(xiàng)都含不同時(shí)變時(shí)滯，且不確定參數(shù)是有界范數(shù)的隨機(jī)中立型時(shí)滯系統(tǒng)，利用隨機(jī)Lyapunov穩(wěn)定性理論和It＾o微分法則，采用線性矩陣不等式方法，推導(dǎo)出系統(tǒng)的隨機(jī)漸近穩(wěn)定的充分條件，并進(jìn)一步給出隨機(jī)魯棒可鎮(zhèn)定的充分條件。鎮(zhèn)定控制器主要采用狀態(tài)反饋的方法設(shè)計(jì)，從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

1 問(wèn)題描述與準(zhǔn)備

考慮如下一類具有分布時(shí)滯的不確定隨機(jī)中立系統(tǒng)：

其中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u（t）∈Rm為控制輸入；y（t）∈Rq為控制輸出；φ（t）為定義在時(shí)域區(qū)間L2F0（［－d，0］；Rn）連續(xù)的初始實(shí)函數(shù)；w（t）為定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，Ρ）上的一維零均標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程。假定：

在系統(tǒng)（1）中，d1（t）、d2（t）和d3（t）表示系統(tǒng)隨時(shí)間變化的未知時(shí)滯，且滿足：

其中，d2、d3、μ和μ1為已知的正實(shí)數(shù)。

其中，A1、A2、A3、B1、D、F1、F2、F3為已知適維常數(shù)矩陣；A1、A2、A3、B1是連續(xù)適維的時(shí)變不確定參數(shù)，且滿足匹配條件：

其中，M、L1、L2、L3、L4為已知常數(shù)實(shí)矩陣；F（t）為具有Lebesgue可測(cè)量元素的適維時(shí)變未知矩陣，并且滿足：

假設(shè)矩陣D滿足ρ（D）＜1，其中ρ（D）為矩陣D的譜半徑。

定義1 對(duì)系統(tǒng)（1），當(dāng)u（t）＝0時(shí)，若在任意初始條件下，有‖x（t）‖2｝＝0成立，則稱系統(tǒng)（1）是均方漸近穩(wěn)定的（隨機(jī)漸近穩(wěn)定）。

則稱在均方條件下，滿足（7）式、（8）式的含適維不確定參數(shù)的系統(tǒng)（1）隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定。

（1）S＜0。

（2）s11＜0，s22

（3）s22＜0，s11

引理2 對(duì)給定的適當(dāng)維數(shù)矩陣X＝XT，U，V，W，且對(duì)所有的V滿足VTV≤I，有X＋UVW＋WTVTUT＜0，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)指標(biāo)ε＞0，使得X＋ε－1UUT＋εWTW＜0。

引理3 對(duì)任意的正定矩陣M，實(shí)數(shù)γ＞0，以及任意可微的向量函數(shù)f：［0，γ］→Rn，則有下式成立，即

本文研究目的如下：

（1）當(dāng)控制輸入u（t）＝0時(shí)，尋找系統(tǒng)（1）隨機(jī)漸近穩(wěn)定的充分條件。

（2）構(gòu)造適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制器，即

其中K∈Rm×n為狀態(tài)反饋控制器增益，在此控制器的作用下，使得閉環(huán)中立隨機(jī)分布時(shí)滯系統(tǒng)為：

對(duì)任何不確定性在均方意義下為隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定。

2 主要結(jié)果

首先考慮的是u（t）＝0時(shí)系統(tǒng)（1）的隨機(jī)漸近穩(wěn)定性，研究在狀態(tài)反饋控制器u（t）＝Kx（t）作用下的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定。

定理1 對(duì)于系統(tǒng)（1），當(dāng)u（t）＝0時(shí)，具有隨機(jī)漸近穩(wěn)定性的充分條件是：如果存在正定矩陣P、Q、R、S、U及實(shí)數(shù)標(biāo)量d2＞0，d3＞0，u＞0，u1＞0，ε＞0，使得如下的線性矩陣不等式成立：

其中，＊表示對(duì)應(yīng)元素的轉(zhuǎn)置矩陣。

證明 系統(tǒng)（1）可改寫為：

其中

同時(shí)，可把系統(tǒng)（1）計(jì)為：

建立如下的Lyapunov函數(shù)：

其中

當(dāng)u（t）＝0，沿著系統(tǒng)（1）的軌跡，運(yùn)用It＾o微分法則，對(duì)（16）式取導(dǎo)，得

由引理3易知：

再把矩陣P前置，結(jié)合（14）式、（15）式，易知：

把（18）～（20）式代入（17）式，得

由（21）式可得：

由引理1可知Γ等價(jià)于：

由（6）～（8）式及引理1和引理2，知

其中

則由（13）式知，Γ≤Υ＜0時(shí)可以保證LV（t）＜0，即當(dāng)u（t）＝0，系統(tǒng)（1）具有隨機(jī)漸近穩(wěn)定性。

定理2 考慮不確定中立隨機(jī)分布時(shí)滯系統(tǒng)（10），若存在正定矩陣P、Q、R、S、U及實(shí)數(shù)標(biāo)量d2＞0，d3＞0，u＞0，u1＞0，ε＞0，滿足以下線性矩陣不等式：

其中

則存在狀態(tài)反饋控制率u（t）＝Kx（t），K＝ZX－1，在此控制器作用下，對(duì)于任何時(shí)滯和不確定項(xiàng)，閉環(huán)不確定中立隨機(jī)分布時(shí)滯系統(tǒng)（10）在均方意義下為隨機(jī)魯棒穩(wěn)定。

具體證明與定理1類似，故略。

3 數(shù)值算例

考慮不確定時(shí)變時(shí)滯隨機(jī)中立系統(tǒng)（1），系統(tǒng)參數(shù)如下：

選擇滿足系統(tǒng)（10）的參數(shù)，d2＝0.5，d3＝0.4，u＝0.6，u1＝0.2。

運(yùn)用Matlab中的LMI工具箱，可得：

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一類同時(shí)具有離散和分布的時(shí)變時(shí)滯的不確定隨機(jī)中立型系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題。針對(duì)一類同時(shí)具有3個(gè)時(shí)變時(shí)滯的且不確定參數(shù)是有界范數(shù)的隨機(jī)中立型時(shí)滯系統(tǒng)，利用隨機(jī)Lyapunov穩(wěn)定性理論和It＾o微分法則，推導(dǎo)出系統(tǒng)的隨機(jī)漸近穩(wěn)定的充分條件，并進(jìn)一步給出隨機(jī)魯棒可鎮(zhèn)定的充分條件和鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法。文中研究結(jié)果以線性矩陣不等式的形式給出，數(shù)值算例表明了此控制器設(shè)計(jì)方法的正確性和適用性。

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