利用多面函數(shù)擬合法解算連續(xù)化的深度基準(zhǔn)面模型

孫翠羽，馬飛虎，陳艷華，崔 跡，李佩華

（1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌 330013；2.國家測繪局海島（礁）測量重點實驗室，山東青島 266590；3.廣島技術(shù)（南京）汽車部件有限公司，江蘇南京 211102）

在海洋測繪中，由于平均海面不具有等位的特性，以平均海面為參考的深度基準(zhǔn)體系或框架就更加具有復(fù)雜性［1-2］。在具體的工程實踐中，深度基準(zhǔn)面都是以一個或幾個驗潮站等離散點觀測的潮汐數(shù)據(jù)來確定的。而由于各地的潮汐性質(zhì)有差異、驗潮站潮汐資料獲取的時間歷元長短不一、各站計算深度基準(zhǔn)面時采用的算法不一致等原因，造成各驗潮站的深度基準(zhǔn)面值不一致［1，3-4］。幾十年來，我國雖然已對周邊海域進(jìn)行了廣泛勘查和測量，但由于長期缺乏統(tǒng)一高精度的海洋測量基準(zhǔn)，一直難以實現(xiàn)各個部門之間及不同時段獲得的數(shù)據(jù)之間的交換和相關(guān)圖件的拼接，不僅是陸地高程和海洋深度數(shù)據(jù)不能有效拼接，不同海域不同時期的海圖數(shù)據(jù)也難以融合。兩幅相鄰的海圖在水位歸算時按照就近原則采用了不同驗潮站的理論深度基準(zhǔn)值作為測深數(shù)據(jù)的起算基準(zhǔn)，會造成相同位置的等深線不完全重合等問題。這對沿海測繪、海岸帶調(diào)查、海岸工程建設(shè)以及沿海防潮洪警戒水位的確定等，都會帶來不利的影響［5-7］。海圖深度基準(zhǔn)在實現(xiàn)上的離散性和跳變性，已越來越不能滿足實際應(yīng)用的需求。

海圖深度基準(zhǔn)面呈點狀分布在各地沿岸的長期驗潮站處，也就是說按照某種算法求得的海圖深度基準(zhǔn)面數(shù)值僅是對真正曲面形態(tài)基準(zhǔn)面在特定點的采樣。隨著驗潮技術(shù)和測深技術(shù)的發(fā)展，沿海地區(qū)可以獲取更多的驗潮數(shù)據(jù)。因此，可考慮采取曲面擬合的方法建立一個漸進(jìn)性變化的連續(xù)的海圖深度基準(zhǔn)面模型。

曲面擬合是一種常用的技術(shù)，在工程、計算機圖形、圖像以及地球科學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。目前主要的擬合方法有：多項式曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、曲面樣條擬合法、移動曲面法以及Kriging擬合法等，本文對多面函數(shù)法在實現(xiàn)連續(xù)的海圖深度基準(zhǔn)面模型中的應(yīng)用作了研究，通過實例分析來探討其可行性。

1 多面函數(shù)擬合法

美國Hardy教授在1971年提出多面函數(shù)擬合法，其基本思想是：任何一個規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以用n個規(guī)則曲面的疊加來擬合或逼近。該方法是從幾何觀點出發(fā)的一種曲面逼近法，解決根據(jù)數(shù)據(jù)點形成一個平差的數(shù)學(xué)曲面問題。該方法在大地水準(zhǔn)面差距、重力異常、垂線偏差以及地殼變形等方面都取得了較好的擬合效果［8］。

在某一觀測區(qū)域，每個觀測點都可以同該區(qū)域中各個已知點分別建立函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)稱為核函數(shù)，它的圖形是一個規(guī)則數(shù)學(xué)曲面，將這些規(guī)則數(shù)學(xué)曲面按一定比例疊加起來，就可擬合出任何不規(guī)則的曲面，且能達(dá)到較好的擬合效果［9］。多面函數(shù)在笛卡爾坐標(biāo)系中的一般形式為

式中：βi為待定參數(shù)；F(x，y，xi，yi)為核函數(shù)；(x，y)為待求點坐標(biāo)，其中心在 (xi，yi)處，為已知點坐標(biāo)，核函數(shù)可以有多種表現(xiàn)形式，常用簡單的核函數(shù)有以下幾種：

上述各式中，[(x-xi)2+(y-yi)2]為內(nèi)插點到參考點之間的水平距離；C，δ是光滑系數(shù)，或稱為平滑因子。

設(shè)已知海圖深度基準(zhǔn)面值有m個點，其m×1向量記為l，選取其中n個結(jié)點為j=1，2，3，…，n(n≤m)，β=(β1，β2，β3，…，βn)為n×1向量，當(dāng)m＞n時，多面函數(shù)擬合法算法對應(yīng)的誤差方程式為V=Fβ-l，式中

在選擇已知點時，最好選擇測區(qū)中變化顯著的點，這些點能很好描述該區(qū)域內(nèi)各點的分布特征，一般位于最高、最低處以及坡度變化處。多面函數(shù)擬合法主要是確定核函數(shù)和平滑因子δ的選取，需要不斷試驗和改進(jìn)［10］，以切合曲面局部的變化趨勢，取得最佳的擬合效果。

2 擬合模型實例分析

為了探討曲面擬合方法建立網(wǎng)格海圖深度基準(zhǔn)面模型的可行性，選擇渤海灣作為實驗區(qū)進(jìn)行分析。實驗區(qū)位于渤海西部，以大清河口至山東舊黃河口一線為界，面積約1.75 km2。深度基準(zhǔn)采用國際海道測量組織推薦的最低天文潮面［11］，試驗區(qū)共有1 369個深度基準(zhǔn)數(shù)據(jù)點，周邊地區(qū)158個數(shù)據(jù)點。該地區(qū)深度基準(zhǔn)值范圍在0.787～2.614m之間。分別采用4種核函數(shù)錐面、正雙曲面、倒雙曲面和三次曲面對模型進(jìn)行計算，結(jié)果精度如表1～表4所示。

表1 錐面核函數(shù)擬合精度Tab.1 Fitting precision of cone surface kernel function

表2 正雙曲面核函數(shù)擬合精度Tab.2 Fitting precision of right two curved-surface kernel function

表3 倒雙曲面核函數(shù)擬合精度Tab.3 Fitting precision of reverse two curved-surface kernel function

表4 三次曲面核函數(shù)擬合精度Tab.4 Fitting precision of cubic surface kernel function

從表1～4的比較分析可知，在采用多面函數(shù)擬合深度基準(zhǔn)面模型的過程中，核函數(shù)對平滑因子δ的依賴性不同，結(jié)果精度也有區(qū)別。其中，倒雙曲面多面函數(shù)對平滑因子δ最敏感。在使用多面函數(shù)擬合法進(jìn)行曲面擬合時，平滑因子δ的取值非常重要，一般規(guī)律是隨著結(jié)點間平均距離的增加，δ值的選取也要增加，具體變化取值需要對已知數(shù)據(jù)點進(jìn)行反復(fù)試算來確定。選取各個核函數(shù)取得最佳可調(diào)參數(shù)值狀態(tài)進(jìn)行比較，核函數(shù)為倒雙曲面時擬合精度最佳，4種核函數(shù)的最佳擬合殘差分布如圖1所示。

通過對擬合計算過程的分析，可以得到如下結(jié)論：

1）不同的核函數(shù)對平滑因子δ顯示出不同的依賴性，對擬合結(jié)果的精度也有相應(yīng)的影響。其中倒雙曲面多面函數(shù)對平滑因子δ最為敏感，參數(shù)選取稍有偏離就可能產(chǎn)生較大誤差；而三次曲面多面函數(shù)對平滑因子δ的依賴性很弱，可以在比較大的范圍內(nèi)保持一定的擬合精度；對于正雙曲面多面函數(shù)，當(dāng)可調(diào)參數(shù)在一定范圍內(nèi)時，擬合精度隨參數(shù)的變化而逐漸變化。在各自都取得最佳參數(shù)值時，倒雙曲面多面函數(shù)的擬合精度高于其它3種。

2）使用多面函數(shù)擬合法進(jìn)行曲面擬合時，平滑因子δ的取值非常重要，在選取時有一定的規(guī)律可循。一般若結(jié)點間的平均距離增加，則選取的δ值相應(yīng)也要提高；反之亦然。δ可以取已知數(shù)據(jù)點間距平均值的倍數(shù)，具體要對已知數(shù)據(jù)點進(jìn)行反復(fù)試算來確定。

采用擬合精度最好的倒雙曲面多面函數(shù)擬合方法解算連續(xù)的渤海灣最低天文潮面模型如圖2所示。

圖1 多面函數(shù)擬合殘差分布Fig.1 Residualdistribution of polyhedral function fitting

3 結(jié)語

圖2 渤海灣連續(xù)最低天文潮面模型Fig.2 Depth datum model for BohaiBay

利用多面函數(shù)擬合法對渤海灣的最低天文潮面進(jìn)行了擬合研究，分別采用錐面、正雙曲面、倒雙曲面和三次曲面為核函數(shù)對模型進(jìn)行實例計算，擬合精度高，其中倒雙曲面的綜合精度最好，由此建立的連續(xù)最低天文潮面模型的殘差值不超過15 cm，可以滿足100m以淺海道測量30 cm的精度要求。需要注意的是，采用多面函數(shù)擬合深度基準(zhǔn)面模型，節(jié)點位置的選擇需要遵循點位分布均勻的原則，平滑因子也需要通過多次試算來擇優(yōu)而選，比較適合于已知采樣點的單點精度比較高的情況。此外，與擬合結(jié)果精度類似的Kriging方法相比［13］，由于在計算核函數(shù)矩陣時計算量非常大，而對計算的速度能力要求更高。

插值法曲面擬合的方法很多，在陸地高程擬合中應(yīng)用的方法也很多，后繼研究中將選擇其他擬合方法應(yīng)用于深度基準(zhǔn)面的連續(xù)化，以進(jìn)行比對研究。

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