基于區(qū)間模糊數(shù)的模糊線性回歸模型及其應(yīng)用

付云鵬，郭云峰，馬樹才

(1遼寧大學(xué)信息學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)，110036;2沈陽(yáng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院;3遼寧大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院)

線性回歸模型是統(tǒng)計(jì)推理中一類應(yīng)用較為廣泛的模型，在工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。但是經(jīng)典的線性回歸模型只能討論精確數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)稀少、無(wú)統(tǒng)計(jì)意義、數(shù)據(jù)的信息具有不確定性時(shí)，經(jīng)典的線性回歸模型無(wú)法解決這類問(wèn)題。模糊集理論的提出為解決這類問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)。1982年，H.Tanaka等［1］首次提出了模糊線性回歸模型;胡良劍等［2］研究了對(duì)稱三角模糊數(shù)據(jù)的線性回歸模型;王麗軍等［3］采用梯形模糊數(shù)討論了一元模糊線性回歸模型;谷振濤等［4］運(yùn)用模糊線性規(guī)劃模型對(duì)井群系統(tǒng)開采量總和進(jìn)行了測(cè)算。宋業(yè)新等［5］討論了具有模糊不等式約束和模糊等式約束的模糊系數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法，將轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)規(guī)劃問(wèn)題求解。趙海坤等［6］提出目標(biāo)函數(shù)和約束條件中均含有模糊數(shù)的模糊線性規(guī)劃問(wèn)題，利用模糊數(shù)的排序關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為經(jīng)典線性規(guī)劃的方法求解。高淑萍等［7］利用一種新的模糊數(shù)排序關(guān)系解決了含有三角模糊數(shù)的模糊線性規(guī)劃問(wèn)題，并將其應(yīng)用于具有模糊等式約束的運(yùn)輸問(wèn)題。筆者將以區(qū)間模糊數(shù)為研究對(duì)象建立模糊線性回歸模型，并給出最小二乘意義下的參數(shù)估計(jì)方法，最后結(jié)合沈陽(yáng)市的溫度變化情況給出該模型的實(shí)際應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［8］實(shí)數(shù)域R到區(qū)間［0，1］的映射稱為R上的模糊數(shù)，如果滿足:

(1){x|(x)≥α}為閉區(qū)間，(α∈(0，1));(2)存在x0∈R使(x0)=1。

定理1［9］(區(qū)間模糊數(shù)的運(yùn)算規(guī)則)設(shè)［a，b］，［c，d］是區(qū)間模糊數(shù)，則由擴(kuò)展原理可得以下結(jié)論:

(1)加法 ［a，b］+［c，d］=［a+c，b+d］

(2)減法 ［a，b］－［c，d］=［a－d，b－c］

(3)乘法 ［a，b］×［c，d］=［min{ac，bc，ad，bd}，max{ac，bc，ad，bd}］，特別地，當(dāng)a＞0，c＞0 時(shí)，有［a，b］×［c，d］=［ac，bd］

則稱N(，)為模糊集與的貼近度，稱N為F(R)上的貼近度函數(shù)。

貼近度是對(duì)兩個(gè)模糊集之間接近程度的一種度量，是一個(gè)原則性的概念。其具體規(guī)則可視實(shí)際需要而定，在此只介紹一種測(cè)度貼近度［8］。

上述積分為勒貝格積分，若U為實(shí)數(shù)域R，被積函數(shù)為黎曼可積，且廣義積分收斂，則上述積分化為

設(shè)［a，b］，［c，d］是區(qū)間模糊數(shù)，則兩個(gè)模糊數(shù)［a，b］，［c，d］之間的貼近度為N(［a，b］，［c，d］)為

貼近度刻畫了［a，b］，［c，d］之間的接近程度，貼近度越大，則兩個(gè)模糊數(shù)越接近，這等價(jià)與計(jì)算d2(［a，b］，［c，d］)=(c－a)2+(d－b)2，d2越小，則兩個(gè)區(qū)間模糊數(shù)之間的貼近度越大，兩個(gè)模糊區(qū)間數(shù)越接近，于是給出如下定義:

定義4 設(shè)［a，b］，［c，d］是區(qū)間模糊數(shù)，則為區(qū)間模糊數(shù)［a，b］，［c，d］之間的距離。

事實(shí)上，定義4中的距離定義滿足距離的3條公理。

設(shè)［a，b］，［c，d］，［e，f］為3 個(gè)任意的區(qū)間模糊數(shù)，則

綜上所述，定義4中的距離滿足3條公理，因此是一種合理的距離定義。

2 多元模糊線性回歸模型

2.1 自變量為實(shí)數(shù)，因變量和參數(shù)為區(qū)間模糊數(shù)的模糊線性回歸模型

2.2 自變量和因變量均為區(qū)間模糊數(shù)，回歸系數(shù)為實(shí)數(shù)的模糊線性回歸模型

2.3 自變量、因變量和回歸系數(shù)均為區(qū)間模糊數(shù)的模糊線性回歸模型

3 模型的應(yīng)用

沈陽(yáng)市1995～2011年的全年最低氣溫和最高氣溫?cái)?shù)據(jù)如表1所示，數(shù)據(jù)具有區(qū)間模糊數(shù)的特點(diǎn)。為研究該城市的溫度隨時(shí)間的變化情況，可建立含有區(qū)間模糊數(shù)的模糊線性回歸模型。其中自變量xi為實(shí)數(shù)，因變量為區(qū)間模糊數(shù)立如下模型

將樣本數(shù)據(jù)代入到模型中，按照模型(2)的估計(jì)方法求出各參數(shù)的估計(jì)值為

于是可得模糊線性回歸的估計(jì)模型為

當(dāng)xi=11時(shí)，求得=［－24.606 7，35.500 0］，即為2011年沈陽(yáng)市氣溫的預(yù)測(cè)值，其真實(shí)值為［－23.8，32.3］，真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間的貼近度為0.933 34，說(shuō)明應(yīng)用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)效果較好。

表1 沈陽(yáng)市2001～2011年的全年最低氣溫和最高氣溫?cái)?shù)據(jù)

4 結(jié) 論

筆者提出含有區(qū)間模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，并就不同的系數(shù)類型分別討論了模型的求解方法，給出不同模型的參數(shù)估計(jì)方法，最后結(jié)合沈陽(yáng)市溫度預(yù)測(cè)問(wèn)題給出模型的實(shí)際應(yīng)用。實(shí)證結(jié)果表明:該模型的預(yù)測(cè)精度較高，對(duì)2011年沈陽(yáng)市的最高溫度和最低溫度作為區(qū)間模糊數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的貼近度達(dá)到了0.933 34，說(shuō)明該模型有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

［1］ TANAKA H，UEJIMA S，ASAI K.Linear Regression Analysis with Fuzzy Model［J］.IEEE Trans System Man Cybernet，1982，12:213-222.

［2］ 胡良劍，宗云南.模糊數(shù)據(jù)的線性回歸模型［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16(1):87-95.

［3］ 王麗軍，馮玉瑚.模糊線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)［J］.東華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，32(6):38-42.

［4］ 谷振濤，潘俊.用模糊線性規(guī)劃計(jì)算井群開采量［J］.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996(2):16-23.

［5］ 宋業(yè)新，姜禮平，陳綿云.一類模糊線性規(guī)劃模型的模糊最優(yōu)區(qū)間值［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16(2):86-91.

［6］ 趙海坤，郭嗣琮.一類全系數(shù)模糊線性規(guī)劃的求解方法［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2009，23(3):139-144.

［7］ 高淑萍，劉三陽(yáng).一類模糊線性規(guī)劃的求解方法及應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005，27(8):1 412-1 415.

［8］ 胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2006.

［9］ 楊綸標(biāo)，高英儀.模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用［M］.廣州:華南理工大學(xué)出版社，2002.

(責(zé)任編輯:朱寶昌)