2－qubit系統(tǒng)的糾纏魯棒性

史淑惠，許龍飛

（1.邯鄲學院 物理與電氣工程系，河北 邯鄲 056005；2.河北大學 物理科學與技術學院，河北 保定 071002）

量子糾纏是一個最微妙和迷人的自然現(xiàn)象，在量子計算和量子信息中起著非常重要的作用［1］.量子糾纏作為量子信息過程的重要資源，可以應用到許多方面如：量子隱形傳態(tài)［2］、量子計算［3］、量子編碼［4］、量子密碼［5］等等.然而，對于一個量子系統(tǒng)而言，它必然在處于某種環(huán)境中并與環(huán)境發(fā)生相互作用，通常會導致系統(tǒng)糾纏的降低.在量子信息處理上，這種退相干使得系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象.因此，研究量子糾纏的動力學特性尤為重要.最近有許多相關的工作被報道，例如，一個處于糾纏的量子態(tài)在環(huán)境的影響下其糾纏度會在有限的時間內變?yōu)榱?，這種現(xiàn)象被稱為糾纏猝死（entanglement sudden death，ESD）［6］，并且這一現(xiàn)象已經(jīng)在2－quibt光學系統(tǒng)中被觀測到［7］.量子糾纏在環(huán)境噪聲的影響下是非常脆弱易被破壞的，因此糾纏態(tài)對噪聲的抵抗能力在量子信息過程中是一個很重要的問題.糾纏的魯棒性便是反映該能力的一個量.1999年，Vidal和Tarrach［8］將一個糾纏態(tài)與可分離態(tài)混合時當糾纏恰好消失時可分離態(tài)混入的比例稱為該態(tài)的魯棒性.2002年，Simon和Kempe［9］考慮了將處于糾纏態(tài)的qubit置于相互獨立的環(huán)境中的情況，以完全退糾纏時噪聲的大小作為糾纏態(tài)的魯棒性.2010年，Zhao和Deng［10］給出了2－qubit純態(tài)在退極化噪聲下魯棒性與糾纏度的簡單關系.本文基于量子糾纏這一熱門領域，通過分析在退極化噪聲下糾纏態(tài)隨時間的演化特性，并給出一類2－qubit態(tài)的糾纏抗噪聲能力——糾纏魯棒性解析關系.

1 模型

對于開放系統(tǒng)而言，退相干是一種常見的量子現(xiàn)象.在研究的問題中，考慮一個初始時刻具有糾纏的2－qubit系統(tǒng)在退極化噪聲下的演化特性，此外單qubit能夠與環(huán)境獨立地發(fā)生相互作用.假設所有qubit受到相同的退極化過程，通過主方程的方法可以得到單qubit的動力學演化形式.系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生相互作用，在海森堡繪景下，系統(tǒng)的演化過程可以用Liouville方程表示出來，利用量子力學中的Born近似，將系統(tǒng)的演化內核部分保留到二階項.同時忽略環(huán)境的記憶效應（取Markovian近似），于是得到Lindblad形式的主方程.將其表示為Kraus算符的形式［11］

2 糾纏度

3 2－qubit糾纏猝死現(xiàn)象

在退極化噪聲下，為了不失一般性，從兩方面考慮2－qubit系統(tǒng)：純態(tài)和混態(tài).

對于純態(tài)而言，它是最簡單的兩體系統(tǒng).一般的2－qubit純態(tài)可以表示為｜ψ〉＝a｜00〉＋b｜01〉＋c｜10〉＋d｜11〉（其中｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2＋｜d｜2＝1），在局域幺正操作下，任意2－qubit純態(tài)等價于｜ψ〉＝cosθ｜00〉＋sinθ｜11〉（θ∈［0，π／2］），這是純態(tài)的Schmidt分解形式［1］.在退極化噪聲的作用下，2－qubit純態(tài)的糾纏 Concurrence變?yōu)?/p>

圖1 純態(tài)的糾纏隨參數(shù)的演化Fig.1 Plot of the evolution of Concurrence with parameters for pure state

圖2 Werner態(tài)的糾纏隨參數(shù)演化Fig.2 Plot of the evolution of Concurrence with parameters for Werner state

因此不難看出，在2－qubit系統(tǒng)中，無論是純態(tài)還是混態(tài)都出現(xiàn)了糾纏猝死現(xiàn)象，但是這2種態(tài)的糾纏猝死特性并不一致.對于純態(tài)系統(tǒng)而言，系統(tǒng)本身比較簡單，在退極化噪聲下呈線性改變；而在混態(tài)系統(tǒng)中狀態(tài)參量逐漸增多，在噪聲作用下多參數(shù)混態(tài)系統(tǒng)的演化狀態(tài)往往不再是單調的變化，狀態(tài)將變得更加復雜.

下面介紹一個物理量——糾纏魯棒性，用它來分析解決在相同環(huán)境下，量子系統(tǒng)對噪聲的抵抗能力將會如何，并且以此來區(qū)分該能力的強弱.

4 糾纏魯棒性

首先，不同于文獻［8－10］中對糾纏魯棒性的定義，定義糾纏魯棒性為［16］

在退極化噪聲下，用數(shù)值模擬的方法給出了糾纏和糾纏魯棒性的關系（如圖3）.從圖3中，明顯可以看到糾纏魯棒性存在邊界，那么邊界態(tài)對應形式是什么呢？

因為2－qubit純態(tài)是2－qubit態(tài)中最簡單的狀態(tài)，故首先考慮這一形式.對于任意2－qubit純態(tài)｜ψ〉＝cosθ｜00〉＋sinθ｜11〉（θ∈［0，π／2］），利用p＝1－exp［－κt］（由于κ表示衰減常數(shù)且在相同環(huán)境下比較系統(tǒng)穩(wěn)定性方面是一致的，因此可取κ＝1），可以得到退糾纏速率

結果與文獻［10］很相似，其糾纏魯棒性僅僅取決于糾纏度C.另外，可以看到純態(tài)的糾纏和魯棒性的關系正好對應圖3中的邊界，圖中用黑粗實線標出.

圖3 10 000個任意2－qubit態(tài)的糾纏魯棒性R與糾纏（Concurrence）的關系Fig.3 Plots of the relations between the entanglement robustness and Concurrence of randomly generated two－qubit states 10 000randomly generated states and the curve showing the upper bound

圖4 Negativity對糾纏魯棒性R的影響（等高線表示Negativity的值）Fig.4 Plot of the effect of Negativity on the entanglement robustness，with the contours of the Negativity

為了進一步分析問題，考慮一類態(tài)ansatz態(tài)［17］

其中0≤x，y，a，b，γ≤1且x＋y＋a＋b＋γ＝1，可以看到 Werner態(tài)也滿足ansatz態(tài)的形式.該態(tài)的糾纏度Concurrence為

對于這類態(tài)而言，發(fā)現(xiàn)在退極化噪聲作用下態(tài)的形式不發(fā)生改變，只是參數(shù)會相應改變.在退極化噪聲作用下，可以看到所研究的態(tài)ρansatz變?yōu)棣眩╰），即

從式（16）可以看到ansatz態(tài)的糾纏魯棒性僅僅取決于3個參量γ，a，b，即一旦這3個參量給定，那么糾纏魯棒性就被確定下來了.

當a＝b且a，b≠1時，該態(tài)的魯棒性為R＝1－Exp［－C／（2C＋1）］，這與純態(tài)的結果一致，滿足任意2－qubit態(tài)的上邊界關系（見圖3）.另外，還可以看到，在退極化噪聲作用下，當初態(tài)為純態(tài)時，系統(tǒng)演化過程中糾纏魯棒性始終保持R－C（其中R＝1－Exp［－C／（2C＋1）］）這一關系.如果初態(tài)為Bell態(tài)（即最大糾纏態(tài)C＝1），那么該態(tài)在退極化噪聲下逐步演化將會沿著邊界線（圖3中的實線）進行變化，從最大糾纏態(tài)逐漸變?yōu)闊o糾纏態(tài)；糾纏魯棒性也會相應減小甚至變成0，即抗噪聲能力逐漸降低.對于其他滿足a＝b糾纏態(tài)（可看出Werner態(tài)只是屬于這類態(tài)中的一種形式）的演化情況同純態(tài)的情況相似，只是起始糾纏大小不同而已.對于一般ansatz態(tài)（a≠b且a，b不同時為0）來說，也有相似結論，只是演化曲線Ra－Ca不再是邊界線.

通過以上分析，可以看到對于該類對角混態(tài)（ansatz態(tài)），在每一時刻糾纏的魯棒性（即抗噪聲能力）都可以被確定，即任意時刻ansatz態(tài)的糾纏魯棒性都是確定的.另外，根據(jù)糾纏和魯棒性的關系，可看出糾纏猝死時間在很大程度上取決于初始糾纏大小和糾纏魯棒性，而且糾纏魯棒性越大糾纏猝死時間越長.

下面分析其他糾纏度量對糾纏魯棒性的影響，如Negativity［18］.任意2－qubit糾纏可以表示為N＝的負本征值，T表示對ρ的子系統(tǒng)A的部分轉置.對于ansatz態(tài)來說，為AAB了方便，取x＝y(tǒng)＝0，此時態(tài)記為ρn.為了更加清晰地呈現(xiàn)問題，將Negativity作為等高線來刻畫另一糾纏度對糾纏魯棒性的影響（如圖4）.從圖4中，可以看到，當Concurrence一定時，Negativity越大糾纏魯棒性越強，那么糾纏猝死的時間將會更長.由于2－qubit系統(tǒng)的糾纏的度量方式是多樣化的，所以對于其他糾纏度的影響在此就不再一一贅述.

5 結論

分析了2－qubit量子系統(tǒng)在退極化噪聲作用下的一些糾纏特性.通過分析對角混態(tài)的糾纏魯棒性（系統(tǒng)抵抗噪聲的能力），給出了這類量子態(tài)的解析關系.由于兩比特系統(tǒng)在具有各向同性噪聲（退極化噪聲）下，對角混態(tài)（ansatz）可以通過不改變本身糾纏的局域幺正操作得到絕大多數(shù)的兩比特態(tài)，因此說系統(tǒng)糾纏猝死時間對糾纏和糾纏魯棒性有一定的依賴性.糾纏作為量子通訊和量子計算的信息載體，其穩(wěn)定性是至關重要的，選擇具有較強抗噪能力的量子態(tài)是很必要的，期望對系統(tǒng)糾纏魯棒性的分析可以為量子態(tài)調控方面起到一定的促進作用.

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