二維粒子輸運問題的G—S和SOR迭代方法

王曉慧 等

摘要： 解決粒子輸運問題最基本方法是源迭代。對于簡單系統(tǒng)，源迭代收斂速度很快。然而對于復(fù)雜系統(tǒng)用源迭代求解，收斂速度變得很慢。文章考慮采用高斯-塞德爾（G-S）迭代方法和超松弛（SOR）迭代方法求解粒子輸運問題，加快迭代收斂速度。數(shù)值實驗表明，G-S和SOR迭代方法收斂所需的次數(shù)和CPU時間比源迭代要少。

Abstract： The most basic transport iteration method is source iteration. For the simple physical system， source iteration converges fast. But when the physical system is complicated， it is inefficient. In the paper， we shall use Gauss-Seidel （G-S） and Successive Over Relaxation （SOR） iterative methods to solve the particle transport problem to accelerate the convergence speed. Numerical experiments show iterates and CPU time needed for convergence are less than those of the source iteration.

關(guān)鍵詞： 粒子輸運；源迭代；超松弛迭代

Key words： particle transport；source iteration；SOR iterative method

中圖分類號：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2013）03-0299-02

0 引言

最基本的輸運迭代方案為源迭代，對于一個粒子經(jīng)歷很少碰撞的問題，源迭代收斂得很快，此類問題要么是泄露系統(tǒng)（粒子可能經(jīng)歷幾次碰撞就很快逃離外邊界），或者處于一個系統(tǒng)里到處存在強吸收（粒子可能經(jīng)過幾次碰撞就被俘獲）。然而對于擴散特性的空間區(qū)域，其中包含光學(xué)厚（泄露幾率很?。┘吧⑸渚又鲗?dǎo)地位的復(fù)雜系統(tǒng)（俘獲幾率很小），大量粒子被俘獲或泄露出去之前需要經(jīng)歷多次碰撞，仍應(yīng)用源迭代求解，收斂速度會很慢，成本昂貴。而很多實際問題都屬于后一類型，因此，人們一直渴望加快SI的收斂速度。

1 源迭代

柱坐標(biāo)（r，z；ω，η）下的輸運方程為：

■■（r？準(zhǔn)（r，z；ω，η））+η■（？準(zhǔn)（r，z；ω，η））-■■（ξ？準(zhǔn)（r，z；ω，η））+∑？準(zhǔn)（r，z；ω，η）=S（r，z） （1）

其中，S（r，z）=q（r，z）+■？驀？準(zhǔn)（r，z；ω′，η′）dη′dω′

μ=■·■■，μ=■cosω，η=■·■■，-1？燮η？燮1，0？燮ω？燮π，r∈（0，R），ξ=■·■■，ξ=■sinω。

上述方程中各物理量的含義為：∑是總截面，σ■是散射截面，q是內(nèi)部的各向同性源，S是源，？準(zhǔn)是待求的角通量。

為了方便，在簡單連續(xù)性方程條件下引進(jìn)一些基本概念，我們定義如下簡化抽象的算子形式：

L？準(zhǔn)？劬■■（r？準(zhǔn)）+η■？準(zhǔn)-■■（ξ？準(zhǔn)）+∑？準(zhǔn)

S？準(zhǔn)+q？劬S（r，z）

則方程（1）可以寫為L？準(zhǔn)=S？準(zhǔn)+q。

最基本的輸運迭代方案為源迭代，其定義如下：

L？準(zhǔn)■=S？準(zhǔn)■+q l？叟0

其中？準(zhǔn)■由使用者給定，每次迭代的開始，都需把一個前一時刻的？準(zhǔn)■代入上式的右端，得到一個新的估計值，迭代過程重復(fù)執(zhí)行，直到連續(xù)兩次估計值小于預(yù)先指定的數(shù)值。

2 G-S迭代與SOR迭代

源迭代是解決粒子輸運問題的最基本方案，它具有簡單的物理解釋。對于大量粒子在被俘獲或泄露出去之前只需經(jīng)歷很少碰撞的簡單系統(tǒng)，源迭代很有效。而對于包含有光學(xué)厚（泄露幾率很?。┘吧⑸渚又鲗?dǎo)地位的復(fù)雜系統(tǒng)（俘獲幾率很小），大量粒子被俘獲或泄露出去之前需要經(jīng)歷多次碰撞。在這些系統(tǒng)中，應(yīng)用源迭代收斂很慢，成本昂貴。實際問題中很多問題屬于后一類型，因此長久以來，人們一直渴望加快源迭代的收斂速度。

從數(shù)值分析知道，簡單迭代法收斂速度是很慢的，為了提高收斂速度，自然想到把已算出的值代替舊值。因此，我們采用Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法對離散縱標(biāo)方程求解。從求解格式可以看出，G-S和SOR方法與源迭代相比，所需的計算量和存儲量都是一樣的，沒有任何明顯的增加，但數(shù)值實驗表明，迭代次數(shù)和所需時間都明顯減少，加快了收斂速度。

3 數(shù)值實驗

表1為空間離散網(wǎng)格為I×J=200×200和方向離散為S2（即M=16）時，源迭代與G-S方法的比較。表2則是源迭代與SOR方法的比較。可以看出，G-S方法和SOR方法收斂所需的迭代次數(shù)和CPU時間都少于源迭代所需要的。隨著∑和σ■的同步增大，對應(yīng)所求解的物理系統(tǒng)越來越復(fù)雜，三種方法收斂所需迭代次數(shù)和CPU時間都增大了，源迭代收斂所需迭代次數(shù)和CPU時間都最多，G-S方法次之，SOR方法最少。但是SOR方法求解時，松弛因子很小的增大或減小都可能導(dǎo)致收斂非常慢，甚至不收斂，因而松弛因子的選擇比較困難。

4 結(jié)束語

文章給出了求解二維輸運方程的G-S和SOR迭代方法，兩種方法都與源迭代方法一樣易于編程實現(xiàn)，而且它們所需的計算量和存儲量也都與源迭代方法相當(dāng)。數(shù)值實驗表明，在各種求解系統(tǒng)中，它們收斂所需要的次數(shù)和CPU時間都比源迭代少。特別是隨著物理系統(tǒng)越來越復(fù)雜，這種加速比越明顯。

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