廣義時(shí)滯系統(tǒng)的數(shù)控加工精度可靠性研究

張國(guó)艷 等

摘要：本文針對(duì)數(shù)控系統(tǒng)加工精度受外部客觀因素和系統(tǒng)內(nèi)部因素影響較大特點(diǎn)，通過(guò)容錯(cuò)技術(shù)中信息和控制系統(tǒng)容錯(cuò)設(shè)計(jì)方法，即以控制器為核心，利用傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行容錯(cuò)設(shè)計(jì)，引入廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容錯(cuò)控制，設(shè)計(jì)一個(gè)可靠的記憶狀態(tài)反饋控制器，用數(shù)學(xué)思想表明該設(shè)計(jì)方法在數(shù)控加工系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，利用使系統(tǒng)穩(wěn)定工作或保持規(guī)定的動(dòng)態(tài)性能，從而保證數(shù)控系統(tǒng)的加工精，提高其可靠性。

Abstract： The NC machining accuracy is deeply affected by external factors and internal factors， this article uses information and control system fault tolerance design method in fault-tolerant technology， which is designing with sensors and actuators as the core of controller，

introducing the fault tolerant control of generalized system with time delay， designing a reliable memory state feedback controller. Then， using mathematical thinking indicates that when the NC machining system failure， the design method can ensure the machining accuracy of NC system， and improve its reliability， by using the dynamic performance which can make the system work stably and keep the prescribed.

關(guān)鍵詞： 數(shù)控加工精度；廣義時(shí)滯系統(tǒng)；可靠控制；容錯(cuò)技術(shù)

Key words： NC machining accuracy；singular time-delay systems；reliable control；fault-tolerant technique

中圖分類號(hào)：TG519.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2013）03-0019-02

0 引言

數(shù)控技術(shù)是一門(mén)先進(jìn)的加工技術(shù)，它在復(fù)雜、高精度零件加工方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因而被廣泛應(yīng)用到電子工業(yè)、航空航天、高端設(shè)備制造等領(lǐng)域。近年來(lái)，數(shù)控加工由于其高精度、高效率等特點(diǎn)，在現(xiàn)代加工領(lǐng)域中的地位日漸提高。數(shù)控加工技術(shù)已從單一的向高精度發(fā)展，轉(zhuǎn)變?yōu)橄蚋咝屎痛笮突瑫r(shí)發(fā)展。數(shù)控加工精度指的是實(shí)際的零件加工參數(shù)同理想?yún)?shù)的相符程度，因此，提高數(shù)控機(jī)床的加工精度成為擺在數(shù)控領(lǐng)域的重要課題。然而，在機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中，數(shù)控系統(tǒng)會(huì)受各種不同故障的影響，如振動(dòng)、環(huán)境變化、操作員不當(dāng)使用等外部影響因素，或系統(tǒng)性能老化、長(zhǎng)時(shí)間使用磨損、更新?lián)Q件不及時(shí)等內(nèi)部影響因素，各種因素都會(huì)影響機(jī)床加工精度，導(dǎo)致無(wú)法滿足加工要求[1]。

為了避免各種影響因素帶來(lái)的不良影響，保證系統(tǒng)能正常有序工作，就要提高系統(tǒng)的可靠性。提高系統(tǒng)可靠性的一個(gè)有效方法為容錯(cuò)技術(shù)，容錯(cuò)技術(shù)是指系統(tǒng)運(yùn)行中在允許范圍內(nèi)某些傳感器或執(zhí)行器出現(xiàn)故障時(shí)，利用余下的執(zhí)行器或傳感器使系統(tǒng)穩(wěn)定工作或保持規(guī)定的動(dòng)態(tài)性能。容錯(cuò)技術(shù)能夠自動(dòng)、適時(shí)地監(jiān)測(cè)并診斷出系統(tǒng)的故障，然后采取相應(yīng)的故障控制或處理方法，自動(dòng)修復(fù)或在線修復(fù)故障[2]。利用容錯(cuò)技術(shù)能在一定條件下允許系統(tǒng)出現(xiàn)故障而不影響系統(tǒng)功能的發(fā)揮，大大提高了系統(tǒng)的可靠性[3]。

1 數(shù)控加工精度的可靠性分析

數(shù)控加工系統(tǒng)是一項(xiàng)多級(jí)別、多單元組成的系統(tǒng)，因此，數(shù)控加工系統(tǒng)的精度受眾多因素影響，當(dāng)某一分系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，利用容錯(cuò)設(shè)計(jì)對(duì)所發(fā)生故障的系統(tǒng)及其組成單元進(jìn)行分析，鑒別其故障模式、故障原因或故障機(jī)理，估計(jì)該故障模式對(duì)系統(tǒng)可能產(chǎn)生的影響，采取容錯(cuò)方法保證可靠性指標(biāo)分配[4]。目前，數(shù)控加工系統(tǒng)中常見(jiàn)故障的容錯(cuò)設(shè)計(jì)方法有三類：

①機(jī)械系統(tǒng)容錯(cuò)設(shè)計(jì)方法，即對(duì)機(jī)械構(gòu)件的載荷和強(qiáng)度發(fā)生的隨機(jī)故障、永久故障、瞬間性故障進(jìn)行容錯(cuò)控制；②計(jì)算機(jī)與軟件系統(tǒng)容錯(cuò)設(shè)計(jì)方法，即利用軟件恢復(fù)、指令重復(fù)、程序卷回等方法進(jìn)行容錯(cuò)設(shè)計(jì)；③信息和控制系統(tǒng)容錯(cuò)設(shè)計(jì)方法，即以控制器為核心，利用傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行容錯(cuò)設(shè)計(jì)。在工程實(shí)際中，幾乎總是幾種故障模型同時(shí)出現(xiàn)，對(duì)此我們提出一種新的方法，即在數(shù)控加工系統(tǒng)中引入廣義時(shí)滯線性系統(tǒng)的容錯(cuò)控制。容錯(cuò)控制（Fault Tolerant Control，F(xiàn)TC）是指當(dāng)控制系統(tǒng)中的某些部件發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)能夠利用其冗余的部件完全代替或部分代替故障部件的作用，并通過(guò)特定的控制方法使故障系統(tǒng)繼續(xù)保持規(guī)定的性能（如H∞性能）或不喪失最基本的要求（如穩(wěn)定性）。

2 基于廣義時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)反饋控制器

在數(shù)控加工系統(tǒng)中時(shí)滯現(xiàn)象是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的主要原因。而且，控制元件在工作過(guò)程中可能發(fā)生故障，這必將導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不能達(dá)到某些需要的性能，影響數(shù)控加工過(guò)程的精度，而利用廣義系統(tǒng)能更一般地描述客觀系統(tǒng)，因此在廣義時(shí)滯系統(tǒng)中設(shè)計(jì)一個(gè)記憶狀態(tài)反饋控制器保證系統(tǒng)在發(fā)生故障時(shí)，不影響原功能的發(fā)揮，依據(jù)數(shù)學(xué)方法論證了其假設(shè)的可行性，進(jìn)而保證數(shù)控系統(tǒng)加工精度，提高其可靠性能[5]。

設(shè)控制單元為一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，即為如下連續(xù)時(shí)滯廣義線性系統(tǒng)[6]：

Ex（t）=Ax（t）+Adx（t-d）+Bu（t）+B1ω（t）（1）

z（t）=Cx（t）+Du（t）（2）

x（t）=？準(zhǔn)（t），t∈[-d，0]（3）

其中x（t）∈Rn、u（t）∈Rm和z（t）∈Rq分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量，ω（t）∈Rp為外部擾動(dòng)，如前面提到的客觀原因的干擾，如震動(dòng)、溫度變化、零件磨損等，且ω（t）？埸L2[0，∞]，d＞0為定常時(shí)滯，？準(zhǔn)（t）（t∈[-d，0]）為相容初始函數(shù)，E、A、Ad、B、B1、C和D為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的定常矩陣并且rankE=q？燮n。

采用如下的執(zhí)行器故障模型：

u■■（t）=ρ■u■（t）（0？燮■■？燮ρ■？燮■■i=1，…，m，j=1，…，L）（4）

其中ρ■為未知常數(shù).這里指標(biāo)j代表第j種故障模式， L為故障模式的總數(shù)。設(shè)u■■（t）為發(fā)生第j種故障模式時(shí)第i個(gè)執(zhí)行器發(fā)出的信號(hào)。對(duì)于每種故障模式，■■和■■分別表示ρ■的上界和下界。特別地，當(dāng)■■=■■=0時(shí)，則在第j種故障模式下，第i個(gè)執(zhí)行器完全損耗；當(dāng)■■=■■=1時(shí)，則在第j種故障模式下，第i個(gè)執(zhí)行器無(wú)損耗；當(dāng)0＜■■？燮ρ■？燮■■＜1時(shí)，則在第j種故障模式下，第i個(gè)執(zhí)行器部分損耗.記u■■（t）=[u■■（t），u■■（t），…，u■■（t）]T=ρju（t），（j=1，…，L）（5）

其中ρj=diag（ρ1j，ρ2j，…，ρmj）?？紤]到ρij的上界■■，定義■■=diag（■■，■■，…，■mj），（j=1，…，L）（6）

在此，假設(shè)數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)同一時(shí)間只能發(fā)生一種故障，即不會(huì)存在一下情況：第i個(gè)執(zhí)行器在t時(shí)刻發(fā)生第p種故障，而第j個(gè)執(zhí)行器在t時(shí)刻發(fā)生第q種故障，其中i≠j，p≠q。從而，公式（5）簡(jiǎn)化為

uF（t）=pu（t），？坌ρ∈{ρ1，…，ρL}（7）

因此，存在執(zhí)行器故障（7）的廣義系統(tǒng)（l）（2）（3）具有如下形式：Ex（t）=Ax（t）+Adx（t-d）+Bρu（t）+B1ω（t）（8）

z（t）=Cx（t）+Dρu（t）（9）

考慮有記憶狀態(tài)反饋控制器

u（t）=K1x（t）+K2x（t-d）（10）

其中K1和K2為待設(shè)計(jì)的控制增益。從而，廣義系統(tǒng)（8）（9）在反饋控制器（10）作用下構(gòu)成的閉環(huán)廣義系統(tǒng)為：

Ex（t）=Ac（ρ）x（t）+Adc（ρ）x（t-d）+B1ω（t）（11）

z（t）=Cc（ρ）x（t）+Cdc（ρ）x（t-d）（12）

其中

Ac（ρ）=A+BρK1，Adc（ρ）=Ad+BρK2，Cc（ρ）=C+DρK1，Cdc（ρ）=DρK2

當(dāng)矩陣對(duì)（E，Ac（ρ））正則時(shí)，閉環(huán)廣義系統(tǒng)（11）（12）從外部擾動(dòng)ω（t）到輸出z（t）的傳遞函數(shù)為：

Gzω（s）=（Cc（ρ）+Cdc（ρ）e-sd）[sE-Ac（ρ）-Adc（ρ）e-sd]-1B1（13）

由此可以設(shè)計(jì)一個(gè)有記憶狀態(tài)反饋控制器（10）使得閉環(huán)廣義系統(tǒng)（11）（12）對(duì)于所有可能的故障模式ρ∈{ρ1，…ρL}都滿足：

①當(dāng)ω（t）=0時(shí)，閉環(huán)廣義系統(tǒng)（11）（12）容許。

②閉環(huán)廣義系統(tǒng)（11） （12）的傳遞函數(shù)Gzω（s）的H∞范數(shù)小于γ，即‖Gzω（s）‖∞＜γ其中γ＞0為給定的標(biāo)量。

對(duì)于廣義系統(tǒng)（8） （9），若存在實(shí)對(duì)稱正定陣Q，非奇異矩陣X，矩陣Y、Z和標(biāo)量ω＞0使得以下不等式成立：

XTET=EX？叟0（14）

■＜0

？坌■∈{■1，■2，…■■}（15）

則存在有記憶狀態(tài)反饋（10）使得閉環(huán)廣義系統(tǒng)（11） （12）滿足條件①和條件②。進(jìn)而，一個(gè)有記憶狀態(tài)反饋控制器可取為u（t）=YX-1x（t）+ZQ-1x（t-d）（16）

3 結(jié)論

由以上論證可以得到重要的結(jié)論：在任何故障的模式下，理論上都可以得到一個(gè)供數(shù)控系統(tǒng)正常工作的控制單元。因此利用這種數(shù)學(xué)方法研究了連續(xù)廣義線性時(shí)滯系統(tǒng)在有記憶狀態(tài)反饋?zhàn)饔孟碌娜蒎e(cuò)控制問(wèn)題，給出了故障發(fā)生時(shí)閉環(huán)廣義系統(tǒng)容許且性能指標(biāo)滿足給定上界的充分條件。同時(shí)，給出了有記憶狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)方法，充分證明了設(shè)計(jì)的這個(gè)控制器在容錯(cuò)技術(shù)方法中的應(yīng)用時(shí)可行性。將此設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到數(shù)控系統(tǒng)中，可以在有故障發(fā)生時(shí)保證系統(tǒng)的正常工作，保障了生產(chǎn)的穩(wěn)定性、保證數(shù)控加工過(guò)程中的精度要求，同時(shí)也提高了工作時(shí)的可靠性[7]。

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