一種基于OSA 與CS 原理的SAR 成像算法研究

徐 濤，吳 軍，彭 芳，秦 陽

空軍工程大學(xué) 工程學(xué)院，西安710038

在聚束SAR 系統(tǒng)中，人們常常在應(yīng)用成像算法處理前對原始回波數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，回波數(shù)據(jù)經(jīng)過預(yù)處理后往往會在距離向和方位向上產(chǎn)生高階系統(tǒng)誤差項，對預(yù)處理后的回波數(shù)據(jù)直接進行傅里葉變換會引起圖像散焦，降低圖像等級。重疊子孔徑算法[1]（Overlapped Subaperture Algorithm，OSA）對復(fù)信號進行分段處理，在對信號進行傅里葉變換過程中，完成信號中高階誤差項的補償工作。因此可以利用OSA 算法對預(yù)處理后的SAR 進行誤差補償，同時完成傅里葉變換。OSA 算法己經(jīng)成功應(yīng)用于Sandia 實驗室雙水獺SAR 系統(tǒng)中，并取得顯著的效果。

Chirp Scaling 原理[1]使得不同距離上的目標的頻域距離徙動曲線一致化，因此可以準確校正距離徙動，最終實現(xiàn)精確成像。CS 原理還能解決二次距離壓縮（SRC）對方位頻率的依賴問題?；贑hirp Scaling 原理的CS 算法已經(jīng)成功地應(yīng)用于聚束式SAR 系統(tǒng)中。

成像過程中完全使用相位相乘會導(dǎo)致成像精度不夠，雷達視角較大時容易造成圖像聚焦模糊，如CS 算法。完全使用插值運算雖然會提高成像精度，但會導(dǎo)致運算量過大，影響算法的實用性，而且插值函數(shù)選擇不合適還會影響成像效果，如PF 與RM 算法。本文從復(fù)信號中的頻率分辨理論出發(fā)，詳細介紹了OSA 與CS 的基本原理，并給出OSA 算法具體的實現(xiàn)過程和仿真結(jié)果，在CS 原理的基礎(chǔ)上，提出將OSA 與CS 原理結(jié)合起來應(yīng)用到聚束式SAR 成像算法中。

1 復(fù)信號中的頻率分辨率原理

設(shè)有復(fù)信號f(t)中含有兩個相近角頻率wr1和wr2的復(fù)指數(shù)信號，表達式如下：

對f(t)依據(jù)奈奎斯特采樣定理進行采樣，設(shè)采樣點數(shù)為N ，采樣頻率為ws=2πN/T ，則采樣后的離散函數(shù)表達式為：

其中，wp1和wp2為數(shù)字角頻率，取值范圍為[-π,π]，利用等比數(shù)列求和公式求f(n)的傅里葉變換F(s)為：

圖1 f（n）的傅里葉變換

因為在實際處理中關(guān)心兩根譜線之間是否能夠分開來，所以只需要關(guān)心F(s)的幅度大小，c sin cN(x)的包絡(luò)類似sin c(x)函數(shù)，在x=0 時幅度取得最大值，x=±π 時為距離x=0 最近的兩個零點，所以主瓣寬度為2π 。而根據(jù)FFT 原理的基本原理[2]可以知道，數(shù)字角頻率的最小分辨單元為ρ=2π/N 。該值為數(shù)字角頻率的理想分辨率，對應(yīng)角頻率的理想分辨率為，fs為采樣頻率。

由上可知，如果函數(shù)f(n)中wp1和wp2這兩個數(shù)字角頻率相差大于ρ，那么就可以在F(s)中對應(yīng)兩個不同的峰值（即譜線），這樣就可以識別出wp1和wp2。但實際處理中因為取樣的數(shù)據(jù)有限，對f(n)進行傅里葉變換時，就會出現(xiàn)頻譜泄漏現(xiàn)象，數(shù)字角頻率的兩根譜線將不再是一根直線，而是圍繞這個中心頻率形成兩個很窄的包絡(luò)。如果f(n)含有高階誤差項，這個包絡(luò)將會進一步擴展。顯然，提高頻率分辨率的關(guān)鍵在于減少這個包絡(luò)寬度。

2 OSA 基本原理與實現(xiàn)

重疊子孔徑算法是一個線性處理過程[3]，為了不失一般性，假設(shè)如下混有高階誤差項的單頻率復(fù)采樣信號：

其中，w0是要提取的數(shù)字角頻率，ξ(w0,n)是含有的高階誤差函數(shù)。這里的ξ(w0,n)主要考慮二次項相位誤差。因此在下面的分析中，假定ξ(w0,n) 的表達式為ξ(w0,n)=aw20n2，其中0 ＜a ＜1。其他形式的高次誤差項處理方法類似，a 為誤差加權(quán)因子。若a=0，直接對f(n)進行傅里葉變換就可以得到理論分辨率ρ；但一般情況下a ≠0，且遠遠小于1，設(shè)a=0.000 2，N=255，直接對f(n)進行傅里葉變換，變換結(jié)果如圖1 所示。

由圖1 可以看出，f(n)的傅里葉變換在w0處（仿真時進行了平移變標處理，將w0置于頻譜中心）形成一個包絡(luò)，隨著a 的增大，這個包絡(luò)越寬，嚴重影響了復(fù)信號的分辨率。

下面將討論如何利用重疊子孔徑方法來減少包絡(luò)寬度。定義N 為總孔徑長度，把總孔徑劃分成多個區(qū)間，每個區(qū)間部分重合，則這樣的區(qū)間被稱為子孔徑，劃分示意圖見圖2[4]。

圖2 子孔徑劃分示意圖

從圖2 可以看出，該孔徑被劃分成L-2 段，每個子孔徑長度M，兩個子孔徑之間的重合長度為M-d ，則總孔徑中的任一點可以表示為：

其中，-M/2 ≤m ≤M/2-1，-L/2 ≤l ≤L/2-1，M 是每個子孔徑的長度，L 是N 點數(shù)據(jù)分成的子孔徑的數(shù)目，劃分合適的情況下有N=L×d,如圖2 所示。通過以上劃分得到了一個L×M 的重疊子孔徑矩陣，如圖3 所示。

圖3 OSA 矩陣及Wp 的分布圖

將式（5）帶入式（4）得：

上式就是二維OSA 矩陣的表達式，按m 方向看去，二次項為aw20m2和2aw20ld×m，其引起的最大瞬時頻率變化量為aw20M 和2aw20Ld ，因為Ld ＞M ，所以只要令aw20Ld ≤π/M則aw20ld引起的頻率遷徙可以忽略。按第二個參數(shù)m進行傅里葉變換得：

由csinc(x)的性質(zhì)可知，在OSA 矩陣的每一行，位于同一列位置處，將會出現(xiàn)一個最大值點，理論上u0滿足w0-2πu0/M=0。如果忽略指數(shù)項，則可以看出對于每個子孔徑，其峰值都出現(xiàn)在u0=w0M/2π 。此式是在忽略誤差項后得到的結(jié)果，因此，由上式只能得到w0的大致估計值w′0=2πu0/M，利用這個估計值可以產(chǎn)生一個補償值：

把這個補償值與式（7）相乘即可完成補償操作。實際處理中，OSA 矩陣每一列（對應(yīng)不同的u）都要產(chǎn)生一個w′0，然后對每一列中的數(shù)據(jù)（對應(yīng)不同的l）產(chǎn)生不同的g(l)，利用g(l)對每個點進行補償，從而完成OSA 矩陣的聚焦處理。此時OSA 矩陣的表達式為：

為了在l向上分辨率接近理想的分辨率，必須滿足a(w20-w′20)l2d2≤2π 。在l方向?qū)κ剑?）第二個指數(shù)項進行FFT 變換，得到OSA 矩陣最終表達式為：

參見得到w′0的過程，通過上式最大值所在點，可以得到w0的新的估計值：

按照上述方法對式（4）進行處理，并且設(shè)a=0.000 2，N=255，L=32，M=16，d=8，圖4 即f(n)所對應(yīng)的OSA 矩陣幅度圖。與沒有經(jīng)過OSA 處理的幅度圖作比較，單頻包絡(luò)寬度明顯減小，從而可以增加復(fù)頻率分辨率。

上面所有的過程均為線性的，因此對于預(yù)處理后得到的多頻率線性疊加復(fù)信號，也可以按照同樣的步驟對高階誤差向進行補償，在聚束式SAR 成像算法中，主要考慮二次項誤差。綜上所述，重疊子孔徑算法的流程圖，如圖5[5]。

3 CS 基本原理及RCMC

Chirp Scaling 原理[6]，即線性調(diào)頻信號與一個具有適當相關(guān)調(diào)頻率的調(diào)頻信號（稱為CS 因子）相乘，結(jié)果仍然是一個調(diào)頻信號，只是相位中心和調(diào)頻率發(fā)生變化。這樣采用新的調(diào)頻率進行距離壓縮后，信號的位置產(chǎn)生位移，使得不同距離上的目標的頻域距離徙動曲線一致化，因此可以準確校正距離徙動，最終實現(xiàn)精確成像。同時通過對Chirp 信號進行頻率調(diào)制，實現(xiàn)了對該信號的尺度變換（變標）或平移。基于這種原理，可以通過相位相乘替代時域插值來完成隨距離變化的RCMC。此外，由于需要在二維頻域進行數(shù)據(jù)處理，CS 還能解決二次距離壓縮（SRC）對方位頻率的依賴問題。

可得到信號：

其瞬時頻率為：

因此，新的線性調(diào)頻信號s'(τ)的調(diào)頻率將為k+kref，經(jīng)匹配濾波后峰值點出現(xiàn)在（令fτ'=0）時刻：

圖4 f（n）傅里葉變換

圖5 OSA 流程圖

實現(xiàn)了對信號的尺度變換或者平移。

算法中，通過Chirp Scaling 操作實現(xiàn)RCMC，即通過FFT、線性相位相乘，以及IFFT 等操作對目標的徙動軌跡進行上述的變標或平移，以實現(xiàn)距離徙動校正。與一般插值方法相比，Chirp Scaling 操作可以更高效、更精確地實現(xiàn)距離向插值，因此非常適于RCMC。但是，在使用Chirp Scaling 之前必須滿足兩個條件：首先，距離向數(shù)據(jù)必須具有Chirp 編碼特性；其次，Chirp Scaling 平移必須足夠小，以避免出現(xiàn)超出距離采樣率的混疊擴展頻譜。為了滿足第二個條件，可以將RCMC 分為兩步：首先對參考軌跡（測繪區(qū)域中心）進行RCM 校正，然后在Chirp Scaling 操作時，僅校正每條軌跡與參考軌跡之間的差量。這樣，Chirp Scaling所需的偏移量將會很小，從而大大降低了帶寬增幅。

對于最短距離為R0的目標，距離多普勒域的距離等式近似為：

這種近似適用于低斜視角和窄孔徑情況。距離徙動由上式的第二項給出，它是最短斜距R0的線性函數(shù)，也是方位頻率fη的二次函數(shù)。其中λ 為雷達波束長度，Vr為雷達平臺徑向速度。距離多普勒域中的每一水平線具有同樣的fη，因而通常在該方向上逐行進行RCMC[1，6-7]。

可以將上式的RCM 看成是整體RCM。使用Chirp Scaling 校正整體RCM，可能會造成信號移出距離基帶上的匹配濾波器頻帶。解決方案是將RCM 分為兩部分：表示參考或中心目標RCM 的“一致RCM”以及“補余RCM”。對所有目標來說，一致RCM 都是相同的，補余RCM 表示RCM 的殘余部分。補余RCM 是與距離相關(guān)的，與一致RCM 相比小得多。這樣每一RCM 分量可以通過不同操作分別校正。

圖6 為一致/補余RCM 的示意圖。圖6（a）給出了不同距離上的三個目標的能量軌跡（為簡便計，數(shù)據(jù)已經(jīng)過距離壓縮）。垂直坐標為多普勒頻率，每個目標具有相同的多普勒帶寬（為簡便計，多普勒中心頻率假設(shè)為零）。由于上式中的二階系數(shù)隨距離增大，因而每個目標的曲率各不相同。如果參考目標選在中心，則將該點處的RCM定義為一致RCM。一致RCM 不隨距離改變，也就是說，其對所有目標來說是相同的，如圖6（b）所示。從每個目標中去除一致RCM 后，就得到了補余RCM，如圖6（c）所示。為了表示的需要，圖6 中所示的補余RCM 被夸大了，實際上它與一致RCM 相比非常小。

圖6 整體RCM 為一致RCM 與補余RCM 之和

在進行RCMC 時，可以相對任何初始位置進行平移，為此可將參考位置選在RCMC 為零的距離和方位點上。由于主要目的之一是減少Chirp Scaling 操作引入的頻譜偏移，所以參考點在選擇上應(yīng)盡量減小補余RCMC。

4 算法流程設(shè)計與仿真實驗

4.1 算法流程設(shè)計

Chirp Scaling 操作可以高效、精確地實現(xiàn)距離向處理，因此非常適于RCMC。重疊子孔徑算法對復(fù)信號進行分段處理，在對信號進行FFT 變換過程中，完成信號中誤差項的補償工作?？紤]兩種算法各自的局限性與特點，本文設(shè)計了一種綜合性方案，即在對成像效果影響較小的距離向使用CS 操作，而在方位向使用OSA 原理進行誤差補償。下來對經(jīng)典CS 算法和設(shè)計的綜合性方案進行簡單闡述和成像性能對比，圖7 為經(jīng)典CS 算法的處理流程圖。

標準Chirp Scaling 成像算法主要包括四次傅里葉變換和三次相位相乘。CS 操作貫穿于算法處理的各個環(huán)節(jié)，包括距離向的距離徙動校正、距離匹配濾波與方位向的匹配濾波等。

綜合性設(shè)計方案中，距離向使用CS 操作校正RCM，而在方位向使用OSA 原理進行方位向誤差的處理。該方案流程設(shè)計圖如圖8。

圖7 經(jīng)典CS 算法處理流程圖

圖8 算法流程設(shè)計圖

算法流程說明如下：

（1）通過方位向FFT 將SAR 回波信號變換到方位頻域，即距離多普勒域。

（2）通過相位相乘實現(xiàn)Chirp Scaling 操作，使所有目標的距離徙動軌跡一致化。

（3）通過距離向FFT 將數(shù)據(jù)變換到二維頻域。

（4）通過與參考函數(shù)進行相位相乘，完成距離壓縮、SRC 和一致RCMC。通過方位向IFFT 將二維頻域中的數(shù)據(jù)變回到方位時域。

（5）通過在方位向構(gòu)建OSA 矩陣，利用OSA 原理補償方位向誤差，同時完成方位向的傅里葉變換。

（6）通過與參考函數(shù)進行方位向匹配濾波，完成方位壓縮。

（7）最后通過二維IFFT 將數(shù)據(jù)變回到二維時域，即SAR 復(fù)圖像域。

需要注意的是，由于需要在數(shù)據(jù)中保留距離向Chirp信息，以實現(xiàn)步驟2 中的Scaling 操作，所以CSA 不能首先進行距離壓縮。如果數(shù)據(jù)已經(jīng)經(jīng)過距離壓縮（在某些情況下），則需要通過距離延拓重建數(shù)據(jù)的距離向Chirp信息。

把雷達原始數(shù)據(jù)變換到頻域的目的是因為CS 操作在頻域中比較容易實現(xiàn)。在距離向處理過程中，首先對參考軌跡（測繪區(qū)域中心）進行RCM 校正，然后在Chirp Scaling操作時，僅校正每條軌跡與參考軌跡之間的差量。這樣，Chirp Scaling 所需的偏移量將會很小，從而大大降低了帶寬增幅。

在方位向處理過程中，首先，將經(jīng)過距離向處理的雷達數(shù)據(jù)在方位向構(gòu)造成OSA 矩陣，然后依據(jù)索引m進行傅里葉變換，得到方位瞬時距離的粗略估計值，其次根據(jù)高階誤差函數(shù)得到它們的粗略估計值，并用這個估計值進行誤差補償，部分消除高階誤差函數(shù)的影響，然后根據(jù)索引l進行傅里葉變換，得到相對精確的方位距離；而后進行方位向匹配濾波進行方位壓縮，最后利用二維傅里葉變換得到雷達圖像。

4.2 仿真實驗

基于表1 提供的系統(tǒng)仿真參數(shù)，在MATLAB 仿真平臺中進行仿真驗證，將方案中設(shè)計的成像算法的仿真結(jié)果和CS 算法的仿真結(jié)果做比對參考設(shè)置，如表1。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

根據(jù)表1 的系統(tǒng)仿真參數(shù)，方位向采樣數(shù)為400，采取如下參數(shù)劃分子孔徑：M=128，Δ=64，L=14。仿真時在成像區(qū)域設(shè)置10 個點目標：構(gòu)建一個簡單的飛機模型。圖9為MATLAB 仿真平臺下的兩種成像算法成像效果圖。

由成像效果圖可以看出，CS 算法作為一種經(jīng)典的成像算法，在距離向和方位向利用Chirp Scaling 處理完成了對插值的近似，是一種高效率的成像算法。CS 算法與方案算法都能夠在正側(cè)視條件下較好地完成成像，而基于OSA 與CS 原理的成像算法聚焦度更高。圖中前兩幅仿真所示為正側(cè)視條件下的成像效果圖，但是通常在對目標的成像事實會存在一定得斜視角的，隨著斜視角的增大，經(jīng)典CS 算法由于未考慮SRC 的空變特性，忽略了與距離向的依賴關(guān)系，因此會引起較大誤差[7-8]。這個時候應(yīng)用OSA 原理的算法的優(yōu)勢就突顯出來了，重疊子孔徑算法原理在方位向?qū)Ω唠A誤差的補償彌補了這種誤差，提高了斜視條件下的SAR 成像效果，圖中后兩幅仿真所示為照射波束偏轉(zhuǎn)8°條件下的成像效果圖。隨著采樣點數(shù)的增加，成像效果會更好。圖10 給出了兩種算法點目標成像的方位向剖面圖。

圖9 算法成像效果圖

圖10 方位向剖面圖

由圖10 可以看出，OSA 算法的應(yīng)用確實提高了信號的頻率分辨率，主旁瓣信號比明顯提高，復(fù)信號包絡(luò)寬度也相應(yīng)地減小了?；贠SA 和CS 原理的成像算法補償了二次相位誤差，但是未能補償更高次距離偏移引起的相位誤差。當斜視角增大且分辨率要求較高時，方位向聚焦效果不理想，主要表現(xiàn)為旁瓣太高。在仿真中使用常規(guī)的CS算法和基于OSA+CS 算法都很難達到非常理想的效果?；贠SA 和CS 原理的成像算法在雷達信號方位向數(shù)據(jù)處理時，對每一點都構(gòu)造適當?shù)难a償函數(shù)去補償誤差，完成OSA 矩陣聚焦處理，突出了SAR 信號處理方位向數(shù)據(jù)的重要性，使得成像結(jié)果比常規(guī)的CS 算法稍有優(yōu)勢。同時也要看到基于OSA 和CS 原理的成像算法由于方位向數(shù)據(jù)的處理提高了成像精度，但是相對于常規(guī)的CS 算法，其運算量也明顯增大。在相同環(huán)境測試下，常規(guī)CS 算法的運算時間為4.05 s，而基于OSA 和CS 原理的成像算法為6.28 s。若將三次或者更高次的相位誤差引入處理，則運算量會更高，影響算法的實用性。

5 結(jié)束語

SAR 成像過程中常常會出現(xiàn)系統(tǒng)誤差項，本文詳細介紹了一種OSA 誤差補償算法，并給出了算法具體的實現(xiàn)流程和仿真圖形；將OSA 原理與CS 原理相結(jié)合，提出了一種設(shè)計方案，并對其性能和計算量進行了分析，既提高了成像的效果，又考慮到了方案的運算量問題。

實驗結(jié)果表明，重疊子孔徑算法能在很大程度上提高復(fù)信號的頻率分辨率，而且該成像處理方法不過分依賴雷達系統(tǒng)對信號處理和運動補償?shù)淖饔?，單個子孔徑成像算法簡單可靠，為在一定條件下實現(xiàn)機載SAR 系統(tǒng)的大斜視、高分辨成像提供了一種可行的方法，具有一定應(yīng)用價值。

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