梯度與曲率變形力相結(jié)合的圖像配準(zhǔn)方法
——大形變非剛性圖像配準(zhǔn)

賈義亭，祝 軒，藺恩標(biāo)，雷文娟

西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安710127

1 引言

圖像配準(zhǔn)就是對在不同時間、不同傳感器等不同條件（天候、照度、攝像位置和角度等）下獲得的兩幅或多幅圖像根據(jù)某種配準(zhǔn)測度函數(shù)，尋找一種空間變換關(guān)系，使經(jīng)過空間變換后兩幅圖像間的相似性最大或者差異性最小。圖像配準(zhǔn)（Image registration）被廣泛地應(yīng)用于遙感數(shù)據(jù)分析、計算機(jī)視覺、醫(yī)學(xué)圖像分析和軍事目標(biāo)自動識別等領(lǐng)域，是圖像處理領(lǐng)域的一個重要研究方向。圖像配準(zhǔn)方法通常分為兩類：一類是剛性配準(zhǔn)，另一類是非剛性配準(zhǔn)。剛性配準(zhǔn)適合于剛性物體形變的配準(zhǔn)，其只能對圖像進(jìn)行全局線性變換，使它在圖像配準(zhǔn)方面存在很大的局限性，目前剛性配準(zhǔn)技術(shù)已經(jīng)發(fā)展得比較成熟。自然界中多數(shù)物體的形變都屬于非剛性形變，非剛性配準(zhǔn)[1]能夠更精確地實(shí)現(xiàn)局部變形，其配準(zhǔn)技術(shù)有待進(jìn)一步提高，基于此圖像的非剛性配準(zhǔn)算法研究受到相關(guān)人員的高度關(guān)注。

非剛性配準(zhǔn)方法主要分為兩大類：基于像素的方法和基于特征的方法。其中基于像素的方法不需要對圖像進(jìn)行分割，可避免因分割帶來的邊緣效應(yīng)和誤差，是目前公認(rèn)的較好的方法之一。Hellier 等人[2]對配準(zhǔn)方法的比較研究表明Demons 配準(zhǔn)算法對非剛性形變具有較高的配準(zhǔn)精度。文獻(xiàn)[3]則指出Demons 算法只適用于小形變配準(zhǔn)，對大形變問題Demons 算法將不能保持圖像的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并產(chǎn)生物理上的不合理形變。此外，Demons算法還存在僅靠梯度信息來確定浮動圖像的位移量，當(dāng)梯度非常小時，圖像形變的方向不能被確定，往往會導(dǎo)致錯誤的配準(zhǔn)變換[3]。針對Demons 算法的弊病，Wang 等人[4]提出了改進(jìn)的Active Demons 算法，將牛頓作用力與反作用力原理引入Demons算法，假設(shè)擴(kuò)散是雙向的，認(rèn)為不但可以用參考圖像的梯度信息作為驅(qū)動力使浮動圖像向參考圖像擴(kuò)散，同時施加反向作用力使參考圖像向浮動圖像擴(kuò)散。Active Demons算法能夠部分克服Demons 算法的缺陷，特別是在提高大形變配準(zhǔn)的正確性和一致性方面具有一定優(yōu)勢。

Active Demons 配準(zhǔn)算法[5]是一種將形變配準(zhǔn)視作擴(kuò)散問題的基于灰度的非剛性配準(zhǔn)方法，其利用參考圖像的灰度梯度信息作為驅(qū)動力實(shí)現(xiàn)浮動圖像與參考圖像的配準(zhǔn)。

隨著對圖像局部特征研究的深入，人們認(rèn)識到僅用一階微分量——梯度來表征圖像局部特征是不夠的，二階微分量中含有更豐富的信息。Sapiro 和Caselles 指出圖像中物體的形狀信息取決于等照度線（isophoto）的形態(tài)學(xué)特征[6-7]。在文獻(xiàn)[3]中將圖像等照度線的曲率作為一個校正形變的驅(qū)動力因素引入Demons 擴(kuò)散方程，建立了一個基于梯度和曲率變形力相結(jié)合的擴(kuò)散模型（簡稱G&C model），實(shí)現(xiàn)了小形變圖像的精確配準(zhǔn)。更進(jìn)一步將等照度線的曲率引入Active Demons 算法，提出改進(jìn)的Active G&C 模型，并在Active G&C 模型應(yīng)用于大形變圖像配準(zhǔn)的算法實(shí)現(xiàn)過程中加入多分辨率策略，使梯度與曲率變形力相結(jié)合的Active G&C 配準(zhǔn)模型不僅能夠克服Active Demons算法僅依靠梯度信息易導(dǎo)致錯誤配準(zhǔn)的弊病，而且在提高大形變圖像的配準(zhǔn)精度方面明顯優(yōu)于Active Demons 算法。本文通過實(shí)驗(yàn)對上述內(nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明提出的方法行之有效。

2 Active Demons算法

Demons 算 法 是Thirion 等 人[5]根 據(jù) 經(jīng) 典 的Maxwell’s demons 熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)，提出的一種基于光流場的非剛性圖像配準(zhǔn)模型，其配準(zhǔn)思想是將配準(zhǔn)過程看作是浮動圖像的像素向參考圖像逐步擴(kuò)散的過程，擴(kuò)散強(qiáng)度由參考圖像的梯度信息確定，擴(kuò)散方程如下：

其中m、s分別表示浮動圖像和參考圖像，?s表示參考圖像的梯度。

文獻(xiàn)[4]提出改進(jìn)的Active Demons 算法，該算法根據(jù)牛頓作用力與反作用力的原理，假設(shè)擴(kuò)散是雙向的，不僅利用參考圖像的灰度梯度信息?s使浮動圖像向參考圖像擴(kuò)散，而且利用浮動圖像的灰度梯度信息?m使參考圖像向浮動圖像擴(kuò)散，定義如下基于浮動圖像的灰度梯度信息驅(qū)動力um：

其中，“-”表示反作用力。

結(jié)合式（1）和（2），得Active Demons算法驅(qū)動力：

其中，前項(xiàng)促使浮動圖像向參考圖像移動，后項(xiàng)促使參考圖像向浮動圖像移動。

具體在算法實(shí)現(xiàn)過程中引入歸一化參數(shù)α[4]，用來自適應(yīng)地調(diào)節(jié)每次迭代中的驅(qū)動力，以加快收斂速度，得式（4）：

3 梯度與曲率變形力相結(jié)合的大形變非剛性圖像配準(zhǔn)方法

記灰度圖像u(x,y)，其梯度是一階量，可表示為?u=(ux,uy)，其中ux=?u/?x，uy=?u/?y，梯度信息反映圖像中像素灰度值的變化強(qiáng)弱。圖像的等照度線定義為Xλu={[x,y],u(x,y)=λ}，等照度線是指圖像中光順的曲線，反映圖像中物體的形狀。文獻(xiàn)[6-7]指出圖像中物體的形狀信息取決于等照度線的形態(tài)學(xué)特征。鑒于真實(shí)圖像中的等照度線足夠光順，相應(yīng)地描述等照度線形態(tài)學(xué)特征的二階微分量——曲率的變化應(yīng)該較小，然而因?yàn)楦訄D像存在形變，造成其中的等照度線發(fā)生畸變，使曲率發(fā)生顯著變化?；谏鲜龇治?，認(rèn)為Demons 和Active Demons 算法僅靠梯度信息決定配準(zhǔn)驅(qū)動力是不夠的，為了使畸變的等照度線也變得比較光順，將等照度線曲率作為另一個驅(qū)動力因素引入Active Demons 方程，使浮動圖像在梯度和曲率雙重驅(qū)動作用力下形變，定義如下兩個曲率驅(qū)動力uk(m)和uk(s)：

其中，f(k(s))和f(k(m))分別是以參考圖像的曲率k(s)和浮動圖像的曲率k(m)為自變量的曲率驅(qū)動函數(shù)，其作用是保持圖像的結(jié)構(gòu)信息，使等照度線變的光滑，“-”表示反作用力。

結(jié)合式（5）和（6），并引入歸一化參數(shù)α，得：

將該模型稱為梯度和曲率變形力相結(jié)合的配準(zhǔn)模型（簡稱Active G&C model）。

本文選取如下曲率驅(qū)動函數(shù)：

以參考圖像的曲率ks計算為例，如式（9）：

浮動圖像的曲率km計算只需將式（9）中的s 換成m。

為了更進(jìn)一步提高大形變圖像的配準(zhǔn)精度，在迭代求解Active G&C model 的過程中加入金字塔多分辨率策略，對浮動圖像和參考圖像進(jìn)行多級金字塔分解，將低級金字塔圖像計算得到的位移偏移量超采樣后作為上一級金字塔圖像的初始變換矩陣（如圖1 所示），按照由粗到精逐級迭代的方式對配準(zhǔn)結(jié)果優(yōu)化。多分辨率策略不僅有利于提高配準(zhǔn)算法的執(zhí)行速度和精度，更重要的是可以避免配準(zhǔn)過程中出現(xiàn)局部極值[8]。

圖1 多分辨率策略示意圖

Active G&C 算法實(shí)現(xiàn)過程如下：

步驟1設(shè)定初始偏移矩陣T0，設(shè)置金字塔級數(shù)K ，對浮動圖像m 和參考圖像s 進(jìn)行K 級金字塔分解。

步驟2當(dāng)前金字塔級數(shù)k ＜K 時，根據(jù)式（7）進(jìn)行n 次迭代，得浮動圖像m 相對參考圖像s 的位移偏移矩陣更新偏移矩陣Tk=Tk-1+ukn。

步驟3用Tk使浮動圖像形變，用均方誤差MSE（式（10））作為形變后的浮動圖像與參考圖像的相似性測度，當(dāng)相似性測度小于某設(shè)定閾值時，認(rèn)為第k 級分辨率圖像已收斂，進(jìn)入第k+1 級，執(zhí)行步驟4，否則繼續(xù)迭代，計算ukn+1。

步驟4對前一級圖像的偏移矩陣Tk-1超采樣，作為當(dāng)前圖像配準(zhǔn)的初始位移偏移量 執(zhí)行步驟2。

步驟5K 級金字塔迭代完成后，將最終的位移偏移矩陣作用于浮動圖像，得到最終的配準(zhǔn)結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及評價

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在Matlab7.6 環(huán)境下，分別用Demons、Active Demons和本文方法分別對大形變Woman 圖像進(jìn)行配準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2 所示。實(shí)驗(yàn)迭代次數(shù)為200 次，進(jìn)行三級金字塔分解，Active Demons和本文Active G&C 算法中α 取2.5。

一般情況下金字塔級數(shù)越高，配準(zhǔn)效果越好，但是配準(zhǔn)時間越長?？筛鶕?jù)所處理對象的不同，權(quán)衡配準(zhǔn)精度和時間效率之間的利弊加以選擇。

觀察圖2可以看出本文方法在配準(zhǔn)大形變圖像時具有更好的視覺效果（如眼睛和嘴的部位），明顯優(yōu)于其他兩種方法。

4.2 結(jié)果評價

為了進(jìn)一步客觀評價上述三種配準(zhǔn)方法的配準(zhǔn)質(zhì)量，以大形變Elaine 圖為例，采用不同的配準(zhǔn)方法得圖3 所示配準(zhǔn)結(jié)果。通過在Elaine 圖中的相同位置劃線，繪制相應(yīng)的灰度偏移曲線，比較不同配準(zhǔn)方法配準(zhǔn)大形變Elaine 圖像后與參考圖像之間的灰度偏移量，得圖4（a）和（b），其中特別給出了本文方法和Active Demons 方法的灰度偏移比較曲線，如圖4（b）。

觀察對比圖4 中灰度偏移曲線可知，采用多分辨策略的Active G&C 方法在處理大形變圖像配準(zhǔn)問題時優(yōu)越性明顯，配準(zhǔn)結(jié)果中的各個像素點(diǎn)的灰度值與參考圖像基本一致，可實(shí)現(xiàn)圖像局部的精確配準(zhǔn)，視覺效果更好。

分別用均方誤差、峰值信噪比、相關(guān)系數(shù)、歸一化互信息和結(jié)構(gòu)相似度[9]五種客觀評價方法比較Demons、Active Demons 和Active G&C 方法配準(zhǔn)Elaine 圖像的配準(zhǔn)質(zhì)量，得表1。

圖2 Woman 圖像配準(zhǔn)

圖3 Elaine圖像配準(zhǔn)

圖4 灰度偏移比較

表1 質(zhì)量評價比較

相關(guān)系數(shù)可以反映兩幅圖像之間的相似度，按式（11）計算：

Scc越大配準(zhǔn)效果越好。

結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）按式（12）計算：

其中，s為參考圖像，T(m)為配準(zhǔn)結(jié)果，S(s,T(m))是參考圖像s與配準(zhǔn)結(jié)果T( )m之間的結(jié)構(gòu)相似度度量函數(shù)，α＞0,β＞0,γ＞0，用來調(diào)整圖像亮度、對比度和結(jié)構(gòu)信息所占的比重，l(·),c(·),s(·)分別是浮動圖像和參考圖像之間亮度、對比度和結(jié)構(gòu)的比較函數(shù)。

從表1 中可以看出，Active G&C 方法相比其他兩種配準(zhǔn)方法優(yōu)勢更明顯。

5 結(jié)束語

本文將等照度線曲率引入Active Demons 算法，同時在算法迭代過程中采用金字塔多分辨率策略，建立了一個具有曲率和梯度雙重驅(qū)動力相結(jié)合的配準(zhǔn)擴(kuò)散模型，該模型克服了僅靠梯度信息易導(dǎo)致錯誤圖像配準(zhǔn)以及對大形變圖像配準(zhǔn)精度不高的弊病。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法是一種行之有效的圖像配準(zhǔn)算法。

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