部分線性變系數(shù)模型的Backfitting約束估計

安佰玲,魏傳華

(1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.中央民族大學(xué) 理學(xué)院,北京 100081)

0 引言

作為變系數(shù)模型和部分線性模型的推廣,部分線性變系數(shù)模型在近年來得到了廣泛的研究.該模型可記為如下的形式

其中Y是因變量,(U,xT,zT)為對應(yīng)的自變量,不失一般性,下面假定U 為一維變量,β=(β1,β2,…,βq)T為q維未知待估參數(shù),α(?)=(α1(?),α2(?),…αp(?))T為一列未知函數(shù)。 ε為模型誤差,有 E(ε)=0 和 Var(ε)=σ2。

針對模型(1),已有多種方法提出用以估計其中的未知參數(shù)β。文[1]基于局部多項式估計方法最早研究了模型(1),文[2]利用小波方法估計該模型。文[3]針對該模型提出了一種新的有效估計,文[4]研究了模型的級數(shù)估計,文[5]提出了Profile最小二乘估計并且基于廣義似然比檢驗方法研究了該模型的檢驗問題,文[6]研究了參數(shù)分量的Backfitting估計。

實際問題研究中,我們經(jīng)常要對回歸模型的參數(shù)(待估模型系數(shù))向量有附加的約束條件,比如生產(chǎn)和消費問題的研究,詳細的討論可參見文[7]。對于一般的線性回歸模型,我們都知道在約束條件下有約束最小二乘估計.然而對于半?yún)?shù)模型來說,關(guān)于約束條件下模型的推斷問題的研究非常少。文[8]基于Profile最小二乘方法和Backfitting方法分別討論了部分線性模型的約束估計問題。文[9]基于Profile最小二乘方法研究了模型(1)的約束估計問題并提出了一種profile拉格郎日乘子檢驗方法.作為文[8][9]中結(jié)果的推廣，本文要研究的是模型(1)在附有約束條件下的Backfitting估計問題.我們考慮如下線性約束條件

Aβ=b

其中 A為k×q的已知矩陣,且rank(A)=k,b為k×1已知向量。

1 模型的Backfitting估計

在構(gòu)造約束估計之前,我們先介紹文[6]針對模型(1)提出的Backfitting估計方法。假設(shè)

2 模型的Backfitting約束估計

下面我們考慮線性約束Aβ=b下模型(2)的估計問題?；谀Ｐ?2)以及約束條件,構(gòu)造輔助函數(shù)

其中λ為k維Lagrange乘子。假定變系數(shù)部分M已知,將函數(shù) F(β,λ)分別對 β,λ求導(dǎo),并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,有下面的估計方程

將上式帶入(13)式得β的約束估計為

3 約束條件的檢驗

本節(jié)我們考慮約束條件的Aβ=b的存在性,即考慮如下的假設(shè)檢驗問題

眾所周知,線性回歸模型的推斷中,對于上面的假設(shè)檢驗問題,主要是基于比較原假設(shè)和背擇假設(shè)下的殘差平方和的思想構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量.下面我們也基于此思想來構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量.首先我們有當H0成立時,即約束條件Aβ=b成立時,模型(2)基于上一節(jié)所提估計方法的殘差平方和為

其中λ1=tr(M0-M1),δ1=tr(M1)顯然檢驗統(tǒng)計量T的分子RSS0-RSS1反映了原假設(shè)與備擇假設(shè)下模型的擬合效果的差異。若二者有顯著差異，則傾向于拒絕原假設(shè)H0。因此,大的T值趨于拒絕原假設(shè)H0。由于模型擬合的復(fù)雜性,檢驗統(tǒng)計量T在原假設(shè)下一般不服從F分布,不過我們可以在模型誤差為正態(tài)分布的假定下用F逼近法求其檢驗 p值。利用文[10]中的結(jié)果,令t為T的觀測值,則檢驗p-值有如下結(jié)論

[1]Zhang,W.,Lee,S.,Song,X.Local Polynomial Fitting in Semivary?ing-Coefficient Model[J].J.Multivar.Anal,2002,82(1).

[2]Zhou,X.,You,J.Wavelet Estimation in Varying Coefficient Partially linear Regression Models[J].Statist.Probab.Lett,2004,(68).

[3]Xia,Y.C.,Zhang,W.Y.,Tong,H.Efficient Estimation for Semivary?ing-Coefficient Models[J].Biometrika,2004,(91).

[4]Ahmad,I.,Leelahanon,S.,Li,Q.Efficient Estimation of Semiparamet?ric Partially linear Varying Coefficient Model[J].Ann.Statist,2005,(33).

[5]Fan,J.,Huang,T.Profile likelihood Inferences on Semiparametric Varying-coefficient Partially linear Models[J].Bernoulli,2005,(11).

[6]魏傳華,吳喜之.部分線性變系數(shù)模型Backfitting估計的漸近性質(zhì)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,23(2).

[7]Jorgenson,D.W.Econometric Modeling of Producer behvaior[M].Cambridge：MIT Press,2000.

[8]Przystalski,M.,Krajewski,P.Constrained Estimators of Treatment Pa?rameters in Semiparametric Models[J].Statistics&Probability Letters,2007,(77).

[9]魏傳華,吳喜之.部分線性變系數(shù)模型的profile拉格郎日乘子檢驗[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2008,28(4).

[10]Cleveland,W.S.Robust locally Weighted Regression and Smoothing Scatterplots[J].Journal of the American Statistical Association,1979,(74).