基于最優(yōu)ARIMA模型的我國(guó)GDP增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

李 娜，薛俊強(qiáng)

（1.浙江萬(wàn)里學(xué)院 商學(xué)院，浙江 寧波 315100；2.寧波廣播電視大學(xué) 經(jīng)管系,浙江 寧波 315016）

0 引言

如何科學(xué)、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來(lái)幾年的GDP走勢(shì)，成為政府科學(xué)制定經(jīng)濟(jì)政策進(jìn)而進(jìn)行有效宏觀調(diào)控的前提條件。關(guān)于GDP的預(yù)測(cè)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。大致可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是用簡(jiǎn)單線性模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)；一類(lèi)是用復(fù)雜矢量模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。筆者認(rèn)為，如果能找到一種簡(jiǎn)單線性模型進(jìn)行精度高的有效預(yù)測(cè)，那么用復(fù)雜矢量模型就顯得沒(méi)有必要了。GDP是時(shí)間序列變量，很多學(xué)者運(yùn)用經(jīng)典時(shí)間序列分析模型ARIMA（p，d，q）模型進(jìn)行了研究和預(yù)測(cè)。在研究了近年來(lái)各類(lèi)學(xué)術(shù)刊物上運(yùn)用ARIMA模型進(jìn)行GDP預(yù)測(cè)的文章后，筆者發(fā)現(xiàn)這些研究中，如王正宇（2011）、趙婷（2011）、韓衛(wèi)國(guó)（2007）、華鵬（2010）等絕大多數(shù)學(xué)者采用了統(tǒng)計(jì)局公布的名義GDP數(shù)值，而不是剔除了物價(jià)指數(shù)的實(shí)際GDP。這樣帶來(lái)的嚴(yán)重問(wèn)題就是將走勢(shì)復(fù)雜的物價(jià)指數(shù)因素耦合進(jìn)來(lái)，這就增添了復(fù)雜擾動(dòng)項(xiàng)，從而可能會(huì)提高研究的復(fù)雜性，降低預(yù)測(cè)的科學(xué)性。其次，學(xué)者們對(duì)于ARIMA（p，d，q）模型的滯后階數(shù)p和q的確定方法也是各不相同。郭曉峰(2012)、占健智（2009）通過(guò)對(duì)自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)圖的直觀觀察來(lái)確定p和q的值，而沒(méi)有考慮AIC和SC準(zhǔn)則及多重假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)模型的決定性影響，這樣確定的p和q并不一定是最優(yōu)的；余后強(qiáng)（2012）直接依據(jù)AIC和SC準(zhǔn)則確定了p和q的值，建立ARIMA模型，但沒(méi)有對(duì)模型進(jìn)行后續(xù)必要的假設(shè)檢驗(yàn)，從而其所建模型的有效性值得商榷。再者，如王龍兵(2012)和武文婕(2007)等學(xué)者對(duì)GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)的研究部分要么言辭模糊，要么預(yù)測(cè)精度不高。

本文中，筆者將以1952～2011年的不變價(jià)格GDP（剔除了物價(jià)指數(shù)因素）作為研究樣本，通過(guò)多次嘗試和檢驗(yàn)，確定最優(yōu)p和q，從而建立最優(yōu)ARIMA（p，d，q）模型，進(jìn)而對(duì)未來(lái)幾年的GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA模型全稱(chēng)為差分自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,簡(jiǎn)記 ARIMA)，是由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins于20世紀(jì)70年代初提出的一個(gè)著名的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，所以又稱(chēng)為Box-Jenkins模型。ARIMA（p,d,q）模型是ARMA(p,q)模型的一般形式，ARMA(p,q)模型要求變量必須平穩(wěn)，當(dāng)變量中不僅包含白噪聲因素，還包含隨機(jī)游走因素時(shí)，ARMA(p,q)模型不再適用，這時(shí)就要用到ARIMA（p,d,q）模型。ARIMA（p,d,q）模型將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。

2 建立模型和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

2.1 ARIMA（p,d,q）模型形式

設(shè)Yt是d階單整序列，即Yt～I(xiàn)（d)。

其中，C為常數(shù)，εt是個(gè)白噪聲過(guò)程，α為自回歸模型的系數(shù)，是待估參數(shù)，β為移動(dòng)平均模型的系數(shù)，也是待估參數(shù)。p和q分別是自回歸模型和移動(dòng)回歸模型的最大階數(shù)。

2.2 建模過(guò)程

（1）檢驗(yàn)GDP序列的平穩(wěn)性。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖以及ADF單位根檢驗(yàn)其方差、趨勢(shì)和其變化規(guī)律，對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別。

（2）對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理。如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，并存在一定的增長(zhǎng)或下降趨勢(shì)，則需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，直到序列平穩(wěn)。

表1 1952～2011年中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP統(tǒng)計(jì)表（單位：億元，以不變價(jià)格測(cè)算）

（3）建立模型，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，檢驗(yàn)是否具有統(tǒng)計(jì)意義。

（4）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，診斷殘差序列是否為白噪聲。

（5）利用已通過(guò)檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

2.3 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文數(shù)據(jù)來(lái)自《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》，筆者剔除了歷年物價(jià)指數(shù)的影響，以不變價(jià)格測(cè)算得到1952～2011年中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP，詳見(jiàn)表1，GDP的時(shí)間走勢(shì)圖見(jiàn)圖1。之所以剔除物價(jià)指數(shù)的影響，主要是考慮到物價(jià)指數(shù)的較大波動(dòng)會(huì)帶來(lái)GDP數(shù)值出現(xiàn)“聚類(lèi)效應(yīng)”和“慣性”，從而導(dǎo)致擾動(dòng)項(xiàng)可能出現(xiàn)異方差和序列自相關(guān)，進(jìn)而可能導(dǎo)致最后的模型雖然可能仍然是線性和無(wú)偏的，但卻不是有效的，也就無(wú)法運(yùn)用所建模型有效預(yù)測(cè)未來(lái)GDP。

圖1 GDP的時(shí)間走勢(shì)圖

2.4 建立模型

本文運(yùn)用EVIEWS 6.0軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

2.4.1 GDP序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

將GDP序列取對(duì)數(shù)，得到新的序列LNGDP，對(duì)LNGDP序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，具體是選用ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)（檢驗(yàn)結(jié)果如表2），得知LNGDP是非平穩(wěn)的；對(duì)LNGDP進(jìn)行一次差分處理，得到DLNGDP序列，對(duì)該序列進(jìn)行ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)（檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表3），檢驗(yàn)結(jié)果表明DLNGDP是平穩(wěn)的，也就是說(shuō)LNGDP是一階單整的，即LNGDP～I(xiàn)(1)，因此建立ARIMA（p,1,q）模型。

表2 LNGDP序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

表3 DLNGDP序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

接下來(lái)確定滯后階數(shù)p和q。對(duì)DLNGDP序列進(jìn)行自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4：

表4 DLNGDP的自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果

2.4.2 建立最優(yōu)ARIMA模型

從表4可以看出，自相關(guān)系數(shù)（AC）和偏相關(guān)系數(shù)（PAC）的變化沒(méi)有一個(gè)穩(wěn)定的規(guī)律，但能初步判斷兩者從第8階后都開(kāi)始快速減小。所以依據(jù)Akaike info和Scharz準(zhǔn)則的篩選，根據(jù)p和q的取值組合，進(jìn)行 36組 ARIMA（p，1，q）[p＝3,4,5,6,7,8;q=3,4,5,6,7,8]建模嘗試，并經(jīng)過(guò)方程殘差自相關(guān)檢驗(yàn)（LM檢驗(yàn)法）、殘差正態(tài)性檢驗(yàn)（JB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法）、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，最后找到最優(yōu)p、q值分別為p＝6，q＝3。因此建立最優(yōu)模型為：ARIMA(6,1,3)模型。模型方程的輸出結(jié)果見(jiàn)表5，殘差擬合見(jiàn)圖2。

圖2 ARIMA(6,1,3)模型的殘差擬合圖

表5 ARIMA(6,1,3)模型的輸出結(jié)果

2.4.3 變量顯著性檢驗(yàn)

從表5分析：在5%的置信水平下，只有常數(shù)項(xiàng)C、AR(1)、AR（3）、MA（3）通過(guò)了系數(shù)顯著性t檢驗(yàn)；其他系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都沒(méi)有通過(guò)，應(yīng)該從模型方程中剔除。

2.4.4 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

從表5分析，Adjusted R-squared為0.757907，殘差擬合圖見(jiàn)圖2。從圖中可以看到，模型擬合效果較好，尤其是從1995年以來(lái)，擬合精度很高。

2.4.5 殘差正態(tài)性檢驗(yàn)

對(duì)方程殘差進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，得到輸出結(jié)果如圖3，JB統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)概率大于10%的置信水平，因而回歸方程殘差服從正態(tài)分布。

圖3 模型正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果

2.4.6 方程顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）

從表5分析，F(xiàn)-statistic的值為19.08812，對(duì)應(yīng)的概率值為0，說(shuō)明所建模型方程通過(guò)了F檢驗(yàn)，該模型線性關(guān)系成立。

2.4.7 模型CHOW穩(wěn)定性檢驗(yàn)

將本文中所用的60個(gè)數(shù)據(jù)樣本從中間分成2個(gè)部分，中間分界點(diǎn)是1991年。因此CHOW分割點(diǎn)就是1991年。CHOW檢驗(yàn)輸出結(jié)果見(jiàn)表6：

表6 CHOW分割點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)結(jié)果

從表6中可以看出，模型方程的F統(tǒng)計(jì)量和LR統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值都很大（接近1），因此接受CHOW檢驗(yàn)的原假設(shè)：模型無(wú)顯著結(jié)構(gòu)變化，即本模型具有高度的穩(wěn)定性。

2.4.8 對(duì)ARIMA(6,1,3)模型進(jìn)行殘差序列自相關(guān)檢驗(yàn)

針對(duì)該模型為時(shí)間序列模型的特點(diǎn)，筆者采用Lagrange Multiplier檢驗(yàn)法，對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表7：

表7 ARIMA(6,1,3)模型的殘差序列自相關(guān)檢驗(yàn)

由表7可知，得到的F-statistic和Obs*R-squared兩個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率值（Probability）分別是0.272232、0.206047，均大于10%的顯著性水平，因此表明殘差不存在序列相關(guān)。從殘差線圖Residual Graph（見(jiàn)圖4），也可以判斷出殘差序列不相關(guān)，為白噪聲。

因此，最后得到ARIMA(6,1,3)模型的回歸方程式：

圖4 殘差線圖Residual Graph

3 模型的預(yù)測(cè)

利用建立的模型對(duì)歷年GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到輸出結(jié)果如圖5：

圖5 ARIMA(6,1,3)模型預(yù)測(cè)輸出結(jié)果

從圖上可以看到，Theil不相等系數(shù)為0.159732，表明模型的預(yù)測(cè)能力較好，而對(duì)它的分解表明偏誤比例接近于0，方差比例也較小，說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)效果較好。

利用該模型，預(yù)測(cè)得到2009～2015年的DLNGDP，又根據(jù)差分反推計(jì)算，得到GDPt＝GDPt-1×eDLNGDPt，進(jìn)而計(jì)算出2009～2015年GDP預(yù)測(cè)值。其中2009～2011年的GDP實(shí)際值是已知的，因此可以將預(yù)測(cè)值跟實(shí)際值進(jìn)行比對(duì)，得到預(yù)測(cè)誤差率（見(jiàn)表8）。

表8 利用ARIMA(6,1,3)模型預(yù)測(cè)2009－2015年的不變價(jià)格GDP （單位：億元）

4 結(jié)論

⑴從表8可知，通過(guò)模型對(duì)2009～2011年GDP進(jìn)行預(yù)測(cè),誤差率分別為0.29%、1.46%、0.37%，預(yù)測(cè)精度較高。因此筆者有理由相信模型對(duì)未知的2012～2015年的GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，也會(huì)有較好的預(yù)測(cè)精度。

⑵本文的模型之所以預(yù)測(cè)精度較高，源于四個(gè)方面：第一，本文剔除了價(jià)格變動(dòng)，采用不變價(jià)格GDP作為研究數(shù)據(jù)，更真實(shí)而直接地反映GDP的變化規(guī)律；第二，本文采用數(shù)據(jù)樣本為1952～2011年的中國(guó)不變價(jià)格GDP，樣本容量是60個(gè)，完全滿(mǎn)足建立ARIMA模型所需的樣本數(shù)量要求；第三，建模過(guò)程中，筆者建立了36組模型，依據(jù)AIC和SC準(zhǔn)則、正態(tài)性檢驗(yàn)要求、模型穩(wěn)定性CHOW檢驗(yàn)等多重篩選原則，找到最優(yōu)p、q值，從而建立最優(yōu)ARIMA（6,1，3）模型；第四，模型成功通過(guò)了多種檢驗(yàn)，估計(jì)參數(shù)和方程線性顯著，穩(wěn)定性?xún)?yōu)越，擬合優(yōu)度良好，同時(shí)模型殘差高度符合正態(tài)分布，且為白噪聲。

⑶模型預(yù)測(cè)到2012年GDP增長(zhǎng)率為7.87%。從筆者撰文時(shí)統(tǒng)計(jì)局已經(jīng)發(fā)布的季度和月度數(shù)據(jù)來(lái)看，國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)各項(xiàng)指標(biāo)繼續(xù)保持下滑態(tài)勢(shì)，今年GDP“破8”是大概率事件，這也大致相合了本文模型的預(yù)測(cè)。2013年國(guó)內(nèi)調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的挑戰(zhàn)依然嚴(yán)峻，加之歐盟、日本等主要經(jīng)濟(jì)體的需求預(yù)計(jì)依舊疲軟，所以預(yù)計(jì)2013年中國(guó)經(jīng)濟(jì)將進(jìn)入一個(gè)低谷，GDP增長(zhǎng)率達(dá)到30年來(lái)最低值7.15%。但壞日子總會(huì)過(guò)去，從2014年開(kāi)始中國(guó)經(jīng)濟(jì)將會(huì)探底回升。當(dāng)然，本文模型的預(yù)測(cè)結(jié)果還要接受即將到來(lái)的事實(shí)的檢驗(yàn)。

[1]王正宇.基于ARIMA模型的我國(guó)GDP分析預(yù)測(cè)[J].對(duì)外經(jīng)貿(mào)，2011,(12).

[2]趙婷.ARMA模型的我國(guó)GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].中國(guó)市場(chǎng),2011,(1).

[3]韓衛(wèi)國(guó).ARIMA模型在GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì),2007,(8).

[4]華鵬.ARIMA模型在廣東省GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2010,(12).

[5]郭曉峰.基于ARIMA模型的中國(guó)CPI走勢(shì)預(yù)測(cè)分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012,(11).

[6]占健智等.X11-ARIMA模型在我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)季度GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009,(17).

[7]余后強(qiáng).我國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的預(yù)測(cè)分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012,(4).

[8]王龍兵等.基于ARIMA模型的我國(guó)GDP短期預(yù)測(cè)[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2012,(8).

[9]武文婕.ARIMA模型在GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].中國(guó)水運(yùn)，2007,(9).

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[11]1952～2011年中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2012.

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[13][美]達(dá)莫達(dá)爾N·古扎拉蒂.經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)精要[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[14]高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.