基于截集的加權(quán)可能性均值-方差模型的應(yīng)用

付云鵬,馬樹才,宋 琪

（遼寧大學(xué)a.信息學(xué)院;b.經(jīng)濟(jì)學(xué)院，沈陽110036）

0 引言

證券市場(chǎng)是一個(gè)極為復(fù)雜的系統(tǒng)，除了收益和風(fēng)險(xiǎn)本身的不確定性外，由于研究對(duì)象的復(fù)雜性，對(duì)該系統(tǒng)的描述也往往是不確定。這些不確定性因素通常表現(xiàn)為兩種形式：一種是事件發(fā)生與否不確定性，即所謂的隨機(jī)性；另一種是事件所處的系統(tǒng)狀態(tài)自身的復(fù)雜性及投資者的主觀性導(dǎo)致的不確定性，即所謂的模糊性。這些模糊因素包括政策、經(jīng)濟(jì)環(huán)境、投資者的主觀意愿等這些都是客觀存在的。為了全面的考查這樣一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，有必要將模糊性因素也考慮到組合投資模型的構(gòu)建之中。為此許多學(xué)者將模糊信息考慮的組合投資模型的構(gòu)建中，建立了基于模糊因素的組合投資模型。本文將在前人研究成果的基礎(chǔ)上以隨機(jī)變量為模糊數(shù)時(shí)的加權(quán)可能性均值、加權(quán)可能性方差和加權(quán)可能性協(xié)方差為研究對(duì)象，將他們分別作為證券未來收益、風(fēng)險(xiǎn)和各種證券的收益率之間相關(guān)程度的度量。研究基于截集的加權(quán)可能性均值-方差組合投資決策模型的構(gòu)建方法及模型的實(shí)際應(yīng)用。建模過程中考慮不同投資者的對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度，將投資者投資未來收益和風(fēng)險(xiǎn)的樂觀程度用樂觀系數(shù)λ來反映。并將基于截集的加權(quán)可能性均值-方差模型與Markowitz均值-方差模型進(jìn)行對(duì)比分析。

1 加權(quán)可能性均值和方差的定義及性質(zhì)

1.1 加權(quán)可能性均值的定義及性質(zhì)

1.2 加權(quán)可能性方差與協(xié)方差的定義及性質(zhì)

1.3 三角模糊變量的加權(quán)可能性均值、方差和協(xié)方差

2 基于截集的加權(quán)可能性均值-方差模型的構(gòu)建

3 模型的應(yīng)用

表示，其中T為樣本數(shù)據(jù)的時(shí)期數(shù)。

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求得上述八種股票的模糊收益率的中心值和左、右寬度的均值數(shù)據(jù)見表1：

表1 8種證券的模糊收益率的中心及寬度數(shù)據(jù)表

根據(jù)投資者對(duì)不同股票的未來收益的不同偏好，可將λ取不同的值，從而可得到模糊收益率不同的加權(quán)可能性均值、加權(quán)可能性方差和加權(quán)可能性協(xié)方差。本文假設(shè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度分別為比較樂觀和比較悲觀，分別取樂觀系數(shù)為λ=0.6和λ=0.4，根據(jù)表1中的收益率數(shù)據(jù)和加權(quán)可能性均值、加權(quán)可能性方差和加權(quán)可能性協(xié)方差的定義求得對(duì)應(yīng)不同風(fēng)險(xiǎn)樂觀系數(shù)λ值的不同的加權(quán)可能性均值、加權(quán)可能性方差和加權(quán)可能性協(xié)方差陣。

當(dāng)投資者的樂觀系數(shù)λ=0.6時(shí)，八種證券模糊收益率的加權(quán)可能性均值見表2：

表2 樂觀系數(shù)為0.6時(shí)8種證券模糊收益率的加權(quán)可能性均值表

當(dāng)投資者的樂觀系數(shù)λ=0.6時(shí)，八種證券的模糊收益率的加權(quán)可能性協(xié)方差陣見表3：

表3 樂觀系數(shù)為0.6時(shí)8種證券模糊收益率的加權(quán)可能性協(xié)方差表

將表2和表3中的數(shù)據(jù)代入到模型（1），用Matlab軟件可求得對(duì)應(yīng)于不同的預(yù)期收益率下限的取值，相應(yīng)的投資比例及風(fēng)險(xiǎn)見表4：

當(dāng)投資者的樂觀系數(shù)λ=0.4時(shí)，同理可以求出八種證券模糊收益率的加權(quán)可能性均值與可能性方差、協(xié)方差值，將其帶入到模型（1）中，用Matlab軟件可求得對(duì)應(yīng)于不同的預(yù)期收益率下限的取值，相應(yīng)的投資比例及風(fēng)險(xiǎn)見表5：

表4 樂觀系數(shù)為0.6時(shí)加權(quán)可能性均值-方差模型的投資比例與風(fēng)險(xiǎn)表

表5 樂觀系數(shù)為0.4時(shí)加權(quán)可能性均值-方差的模型的投資比例與風(fēng)險(xiǎn)表

從表4和表5可以看出，隨著預(yù)期收益率下限的提高，兩個(gè)模型的風(fēng)險(xiǎn)值都隨之增大。但是對(duì)應(yīng)于不同的λ值，雖然對(duì)于同樣一個(gè)預(yù)期收益率的下限水平，投資者不同樂觀系數(shù)的模型對(duì)應(yīng)著投資比例和風(fēng)險(xiǎn)不同。例如當(dāng)λ=0.6時(shí)，給定預(yù)期收益率下限為μ=3%時(shí)，投資比例為x1=0.0000;x2=0.1928;x3=0.0000;x4=0.1217;x5=0.1860;x6=0.1293;x7=0.0000;x8=0.3703，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)值為 183.0454；當(dāng)λ=0.4時(shí)，給定預(yù)期收益率下限為μ=3%時(shí)，投資者的投資比例為x1=0.0000;x2=0.2323;x3=0.0816;x4=0.0000;x5=0.3021;x6=0.0562;x7=0.0312;x8=0.2967,此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)值為201.9734。可見，投資者對(duì)未來收益的樂觀態(tài)度不同會(huì)導(dǎo)致其在不同資產(chǎn)上的投資比例不同，樂觀的投資者對(duì)未來收益的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期更小。

4 加權(quán)可能性均值-方差模型與Markowitz均值-方差模型的比較分析

對(duì)比加權(quán)可能性均值-方差的組合投資模型（1）和Markowitz均值-方差模型

會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)模型的建模思想一致，都是在事先給定預(yù)期收益率下限的情況下，使投資者所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)最小化的問題。

可見本文的加權(quán)可能性均值是隨機(jī)變量均值概念的推廣，加權(quán)可能性方差和協(xié)方差分別是實(shí)數(shù)域中方差和協(xié)方差概念的推廣?；诮丶募訖?quán)可能性均值-方差的組合投資模型是傳統(tǒng)的Markowitz均值-方差模型在隨機(jī)變量取值為模糊數(shù)時(shí)的合理的推廣，該模型將Markowitz均值-方差模型的思想推廣到隨機(jī)變量取值為模糊數(shù)時(shí)的組合投資問題中去，解決收益率為模糊數(shù)據(jù)時(shí)的組合投資決策問題。下面通過一個(gè)實(shí)例來說明兩個(gè)模型在實(shí)際應(yīng)用中的區(qū)別與聯(lián)系。

為了便于模型間的比較，采用前文實(shí)證分析中的八種股票從2007年1月到2010年3月共39個(gè)月的月收益率數(shù)據(jù)，月收益率為

其中 pit末表示第i種股票第t個(gè)月最后一個(gè)交易日的收盤價(jià)格，pit初表示第i種股票第t個(gè)月第一個(gè)交易日的開盤價(jià)格。根據(jù)公式（4）求得八種股票的月收益率的均值數(shù)據(jù)和協(xié)方差陣，并將其帶入到模型（3）中，可得不同預(yù)期收益率下限的不同的投資比例和風(fēng)險(xiǎn)值見表6。

為了更直觀的描述加權(quán)可能性均值-方差模型與均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益之間的對(duì)比關(guān)系，利用表4、表5和表6中的收益率和風(fēng)險(xiǎn)值數(shù)據(jù)畫出三種模型的風(fēng)險(xiǎn)-收益關(guān)系圖如下：

圖1 不同風(fēng)險(xiǎn)樂觀系數(shù)的加權(quán)可能性均值

從圖1中可以看出，樂觀系數(shù)為0.6的加權(quán)可能性模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖在傳統(tǒng)均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖的上方，樂觀系數(shù)為0.4的加權(quán)可能性模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖在傳統(tǒng)均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖的下方。說明對(duì)應(yīng)同一個(gè)預(yù)期收益率的下限，當(dāng)決策者的樂觀系數(shù)為0.6時(shí)，模型的風(fēng)險(xiǎn)值小于傳統(tǒng)模型的風(fēng)險(xiǎn)值，當(dāng)決策者的樂觀系數(shù)為0.4時(shí)，模型的風(fēng)險(xiǎn)值大于傳統(tǒng)模型的風(fēng)險(xiǎn)值?？梢?，三個(gè)模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖的走向基本一致。當(dāng)預(yù)期收益率的下限為3%時(shí)，三個(gè)模型都是將資金的大部分投資與股票2、股票5和股票8，投資比例略有細(xì)微的差別，但是差別不大。另外，三個(gè)模型所能到達(dá)的預(yù)期收益率的上限略有不同，樂觀系數(shù)為0.6的加權(quán)可能性均值-方差組合投資模型所能達(dá)到的最高收益率水平為4.6081%，樂觀系數(shù)為0.4的加權(quán)可能性均值-方差組合投資模型所能達(dá)到的最高收益率水平為3.929%，均值-方差模型所能達(dá)到的最高收益率水平為4.1441%。其原因在于投資者的風(fēng)險(xiǎn)樂觀態(tài)度，投資者相對(duì)樂觀時(shí)，即樂觀系數(shù)較大時(shí)，其對(duì)股票的未來收益越偏向于模糊收益率的右端點(diǎn)，所以模糊收益率的均值越大，反之模糊收益率的均值越小。

5 結(jié)論

基于截集的加權(quán)可能性均值-方差的模型以隨機(jī)變量取值為模糊數(shù)時(shí)的加權(quán)可能性均值和加權(quán)可能性方差為研究對(duì)象，類似于Markowitz均值-方差模型的思想構(gòu)建了基于截集的加權(quán)可能性均值-方差組合投資決策模型。建模過程中考慮了投資者的主觀意愿，投資者越回避風(fēng)險(xiǎn)，則對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的未來收益的預(yù)期值越??；投資者越偏好風(fēng)險(xiǎn)，則對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的未來收益的預(yù)期值越大，投資者可以通過選擇風(fēng)險(xiǎn)樂觀程度系數(shù)來體現(xiàn)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好。投資者的樂觀系數(shù)小的模型風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖像位于樂觀系數(shù)大的模型風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖的下方，說明對(duì)應(yīng)于同一個(gè)收益率的下限，樂觀系數(shù)較大的模型，風(fēng)險(xiǎn)值較小。這是因?yàn)闃酚^系數(shù)反映的是投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)知態(tài)度，樂觀系數(shù)越大，說明投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度越樂觀，因此其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的描述值就較小；反之，樂觀系數(shù)越小，說明投資者越謹(jǐn)慎，故其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)值的描述就較大。因此樂觀系數(shù)小的模型的風(fēng)險(xiǎn)值大于樂觀系數(shù)大的模型的風(fēng)險(xiǎn)值，這與投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)知態(tài)度有關(guān)系。實(shí)證分析還表明該模型是Markowitz均值-方差模型在隨機(jī)變量的取值為模糊數(shù)時(shí)的一種合理推廣，并且該模型比Markowitz均值-方差模型有著更加廣泛的適用范圍和應(yīng)用前景。

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