標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上廣義Jordan triple可導(dǎo)映射

張 芳 娟

(1. 西安郵電大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710121; 2. 西安外事學(xué)院 工學(xué)院, 西安 710077)

設(shè)R是環(huán),A,B∈R, 如果由ARB={0}, 可得A=0或B=0, 則R是素環(huán); 若A∈R, 如果由ARA={0}, 可得A=0, 則R是半素環(huán). 對于R上的可加映射A→A*, 若對所有的A,B∈R都滿足(AB)*=B*A*和A**=A, 則稱該映射滿足對合運(yùn)算. 一個(gè)環(huán)滿足對合運(yùn)算稱為具有對合的環(huán)或*-環(huán). 令A(yù)是代數(shù), M是A-雙模,δ: A→M是線性(可加)映射, 如果對所有的A,B∈A都滿足δ(AB)=δ(A)B+Aδ(B), 則稱δ是導(dǎo)子; 如果對所有的A∈A都滿足δ(A2)=δ(A)A+Aδ(A), 則稱δ是Jordan導(dǎo)子; 更一般地, 存在τ: A→M是導(dǎo)子, 如果對所有的A,B∈A都滿足δ(AB)=δ(A)B+Aτ(B), 則稱δ是廣義導(dǎo)子, 且τ是相關(guān)導(dǎo)子; 存在τ: A→M是Jordan導(dǎo)子, 如果對所有的A∈A都滿足δ(A2)=δ(A)A+Aτ(A), 則稱δ是廣義Jordan導(dǎo)子, 且τ是相關(guān)Jordan導(dǎo)子. 此外, 存在T∈A, 如果對所有的A∈A, 都有δ(A)=TA-AT, 則稱導(dǎo)子δ是內(nèi)的; 存在S,T∈A, 如果對所有的A∈A, 都有δ(A)=TA+AS, 則稱廣義導(dǎo)子δ是內(nèi)的. 如果對所有的A∈A, 都滿足δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aδ(A)*A+AA*δ(A), 則稱δ是廣義Jordan triple可導(dǎo)映射.

導(dǎo)子和廣義導(dǎo)子在代數(shù)理論中是一類重要的映射, 目前已有許多研究結(jié)果[1-9]. Herstein[1]證明了從特征不為2的素環(huán)到自身的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子. Vukman等[2]得到: R是具有平凡中心的2撓自由半素*-環(huán), 且δ: R→R是可加映射, 如果對所有的A∈R, 都滿足δ(AA*)=δ(A)A*+Aδ(A)*, 則δ是導(dǎo)子. Bre?ar[3]證明了δ: R→R是具有平凡中心的2撓自由半素環(huán)上的可加映射, 如果對所有的A,B∈R, 都滿足δ(ABA)=δ(A)BA+Aδ(B)A+ABδ(A), 則δ是導(dǎo)子. Vukman[4]推廣了文獻(xiàn)[1-3]的結(jié)果. 令H是復(fù)Hilbert空間, A?B(H )是標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù),δ: A→B(H )是線性映射. 如果對所有的A∈A, 都滿足δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aδ(A*)A+AA*δ(A), 則存在S∈A, 使得對所有的A∈A, 有δ(A)=AS-SA, 即δ是內(nèi)導(dǎo)子. 齊霄霏等[5]得到: 如果對所有的A∈A, 都滿足δ(AA*A)=δ(A)A*A-Aδ(A*)A+AA*δ(A), 則存在S,T∈A, 使得對所有的A∈A, 都有δ(A)=SA-AT, 即δ是廣義內(nèi)導(dǎo)子. 本文研究對所有的A∈A, 滿足δ(AA*A)=δ(A)A*A±Aδ(A)*A+AA*δ(A), 這種映射事實(shí)上也是廣義內(nèi)導(dǎo)子.

設(shè)H是復(fù)Hilbert空間, B(H )是H 上的有界線性算子全體, F(H )是B(H )上所有有限秩算子組成的子空間,I是H上的單位算子.子代數(shù)A?B(H ), 若有F(H )?A和I∈A, 則稱A為標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù). 對任意非零的x∈H和y∈H,x?y表示H上的一秩算子, 對任意的z∈H, 定義(x?y)z=〈z,y〉x.

定理1設(shè)H是復(fù)Hilbert空間, A?B(H )是標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù). 如果線性映射δ: A→B(H )對所有的A∈A, 都滿足

δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aδ(A)*A+AA*δ(A),

(1)

則存在S,T∈B(H )和λ∈R, 且S+S*=T+T*=λI, 使得對所有的A∈A, 都有δ(A)=SA-AT.

證明: 1)δ(F(H ))?F(H ).

令A(yù)∈F(H )和P∈F(H )是投影, 使得AP=PA=A. 顯然,A*∈F(H ),A*P=PA*=A*. 由式(1)有δ(P)=δ(P)P+Pδ(P)*P+Pδ(P). 在式(1)中用A+P代替A, 得

在式(2)中用-A代替A, 得

由式(2),(3)得

在式(4),(5)中用iA代替A, 得

由式(4),(6)得

δ(A2)=δ(A)A+Aδ(P)*A+Aδ(A),

(8)

由式(5),(7)得

2δ(A)=δ(A)P+δ(P)A+Aδ(P)*A+Pδ(P)*A+Aδ(P)+Pδ(A).

(9)

由于A,P∈F(H ), 由式(9)可知δ將F(H )映射到F(H ).

2) 存在S,T∈B(H ), 使得對任意的A∈F(H ), 有δ(A)=SA-AT.

由1)得δ: F(H )→F(H )是線性映射, 且對任意的A∈F(H ), 有δ(A2)=δ(A)A+Aδ(P)*A+Aδ(A). 類似可得: 對任意的A∈F(H ), 有δ(A2)=δ(A)A+Aδ(I)*A+Aδ(A). 定義映射τ: F(H )→F(H ), 使得對任意的A∈F(H ), 有τ(A)=δ(A)+δ(I)*A. 容易驗(yàn)證τ(A2)=τ(A)A+Aτ(A) 是線性Jordan導(dǎo)子, 且對任意的A∈F(H )滿足δ(A2)=δ(A)A+Aτ(A). 于是,δ是F(H )上廣義Jordan導(dǎo)子. 由于F(H )是素的, 故由文獻(xiàn)[6]知,δ是F(H )上廣義導(dǎo)子. 即對任意的A∈F(H ), 有δ(AB)=δ(A)B+Aτ(B)=δ(A)B+Aδ(B)+Aδ(I)*B.

下面證明δ是廣義內(nèi)導(dǎo)子. 令x0∈H,f0∈H, 使得〈x0,f0〉=1. 定義算子S: H→H,T: H→H, 使得Sx=δ(x?f0)x0,Tx=τ(x?f0)x0, 對任意的A∈F(H ), 有

δ(Ax?f0)=δ(A)x?f0+Aτ(x?f0).

(10)

式(10)右乘x0得δ(Ax?f0)x0=δ(A)x+Aτ(x?f0)x0, 即對所有的x∈H, 有SAx=δ(A)x+ATx, 由于x是任意的, 所以δ(A)=SA-AT.

下面證明S,T∈B(H). 對任意一秩算子R=u?f, 有RT=u?fT=u?T*f∈B(H ). 令{xn}?H, 使得xn→x,Txn→y. 由RT和R的有界性知,RTxn→Ry,RTxn→RTx. 因此Ry=RTx, 即〈Tx,f〉u=〈y,f〉u. 由于u和f是任意的, 得Tx=y. 于是T是閉算子. 又由閉圖像定理可得T∈B(H ), 類似有S∈B(H ).

3) 存在λ∈R,S,T∈B(H ), 滿足S+S*=λI=T+T*, 使得對任意的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

定義映射δ1: A→B(H )為δ1(A)=SA-AT. 若δ0=δ-δ1, 則δ0是線性的且滿足式(1). 由2)得δ0(F(H ))={0}. 下面證明δ0作用在A上為零. 對任意的A∈A, 令P是一秩投影,M=A+PAP-(AP+PA). 注意到M可表示為M=(I-P)A(I-P). 于是MP=PM=0. 顯然M-A∈F(H ), 則δ0(M)=δ0(A). 再注意到δ0(P)=0, 則由式(1), 有

即

δ0(M)P+Mδ0(M)*P+Pδ0(M)*M+Pδ0(M)*P+Pδ0(M)=0,

(11)

式(11)右乘P, 得

δ0(M)P+Mδ0(M)*P+Pδ0(M)*P+Pδ0(M)P=0,

(12)

式(12)左乘P, 得Pδ0(M)P+Pδ0(M)*P+Pδ0(M)P=0, 即

Pδ0(2M)P=-Pδ0(M)*P.

(13)

式(13)中用iM代替M, 得

Pδ0(2M)P=Pδ0(M)*P.

(14)

由式(13),(14)得:Pδ0(M)P=0,Pδ0(M)*P=0; 再結(jié)合式(12)得δ0(M)P+Mδ0(M)*P=0. 又由于δ0(M)=δ0(A),δ0(M)*=δ0(A)*. 于是

δ0(A)P+Mδ0(A)*P=0.

(15)

式(15)中用-A代替A(由M的定義, 此時(shí)M變成-M)得: -δ0(A)P+Mδ0(A)*P=0, 于是δ0(A)P=0. 又由于P是一秩投影, 故易證δ0(A)=0. 即對任意的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

下面驗(yàn)證S+S*=λI=T+T*,λ∈R. 將δ(A)=SA-AT代入式(1)得A(T+T*)A*A=AA*(S+S*)A, 即A[(T+T*)A*A-A*(S+S*)A]=0. 由于A是素的, 則(T+T*)A*A-A*(S+S*)A=0. 再一次用A的素性可得

(T+T*)A*=A*(S+S*).

(16)

式(16)兩邊取*, 得A(T*+T)=(S*+S)A, 即IA(T*+T)=(S*+S)AI. 由文獻(xiàn)[7]中引理2.2得:S+S*和I線性相關(guān),T+T*和I線性相關(guān), 即S+S*=λI=T+T*,λ∈R.

推論1如果線性映射δ: A→B(H )對所有的A,B∈A, 都滿足δ(AB*A)=δ(A)B*A+Aδ(B)*A+AB*δ(A), 則存在S,T∈B(H )和λ∈R, 且S+S*=T+T*=λI, 使得對所有的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

與定理1證明類似, 可得:

定理2如果線性映射δ: A→B(H )對所有的A∈A, 都滿足δ(AA*A)=δ(A)A*A-Aδ(A)*A+AA*δ(A), 則存在S,T∈B(H )和λ∈{CR}∪{0}, 且S*-S=T*-T=λI, 使得對所有的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

推論2如果線性映射δ: A→B(H )對所有的A,B∈A, 都滿足δ(AB*A)=δ(A)B*A-Aδ(B)*A+AB*δ(A), 則存在S,T∈B(H )和λ∈{CR}∪{0}, 且S*-S=T*-T=λI, 使得對所有的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

推論3如果線性映射δ: A→B(H )和τ: A→B(H )對所有的A∈A, 都滿足

δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aτ(A)*A+AA*δ(A),τ(AA*A)=τ(A)A*A+Aδ(A)*A+AA*τ(A),

則存在S0,T0,S1,T1∈B(H ), 使得對所有的A∈A, 有δ(A)=S0A-AT0,τ(A)=S1A-AT1.

證明: 令δ1=δ-τ, 則

由定理2知, 存在S,T∈B(H ), 使得對所有的A∈A, 有δ1(A)=SA-AT.

令δ2=δ+τ, 則

由定理1知, 存在M,N∈B(H ), 使得對所有的A∈A, 有δ2(A)=MA-AN. 因此有

2δ(A)=δ1(A)+δ2(A)=SA-AT+MA-AN=(S+M)A-A(T+N),

2τ(A)=δ2(A)-δ1(A)=MA-AN-SA+AT=(M-S)A-A(N-T).

令S0=(S+M)/2,T0=(T+N)/2,S1=(M-S)/2,T1=(N-T)/2, 則易見S0,T0,S1,T1∈B(H ), 且有δ(A)=S0A-AT0,τ(A)=S1A-AT1.

與推論3證明類似, 可得:

推論4如果線性映射δ: A→B(H )和τ: A→B(H )對所有的A∈A, 都滿足

δ(AA*A)=δ(A)A*A-Aτ(A)*A+AA*δ(A),

τ(AA*A)=τ(A)A*A-Aδ(A)*A+AA*τ(A),

則存在S0,T0,S1,T1∈B(H ), 使得對所有的A∈A, 有δ(A)=S0A-AT0,τ(A)=S1A-AT1.

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