從描述和規(guī)定看不完全性定理的悖論關(guān)聯(lián)及哲學(xué)意蘊(yùn)

王天思

從描述和規(guī)定看不完全性定理的悖論關(guān)聯(lián)及哲學(xué)意蘊(yùn)

王天思

哥德爾不完全性定理與悖論有著耐人尋味的不解之緣。涉及描述自身規(guī)定的悖論本身就是描述邊界的界碑，此界碑表明了形式系統(tǒng)本身的不完全性。哥德爾不完全性定理根源于規(guī)定的不完備性，它從形式上證明了，任何封閉的描述體系都是不完全的；悖論是走向新領(lǐng)域的門樞。在人類理性的邊界處做出的規(guī)定，正是形式系統(tǒng)甚至所有封閉的理論體系不完全性的根源，從而正是哥德爾不完全性定理的根據(jù)。哥德爾不完全性定理的悖論關(guān)聯(lián)，具有極為深刻的哲學(xué)意蘊(yùn)。

不完全性定理；悖論；哥德爾

王天思，上海大學(xué)社科學(xué)院哲學(xué)系教授。（上海 200444）

在哥德爾不完全性定理（G?del＇s Incompleteness Theorem）中，美妙觀念與艱深難解恰成對(duì)照，這不僅使哥德爾（Kurt G?del）被視為“一位被神秘所籠罩的傳奇人物”，而且使不完全性定理在人們面前體現(xiàn)為一項(xiàng)不可思議的智力成果：悖論一直被人們定性為必須消解的對(duì)象，甚至被看做是“理性的癌變”，而不完全性定理卻不僅依靠悖論得以論證，而且本身涉及悖論構(gòu)成的關(guān)鍵要素。本文試圖從描述和規(guī)定的角度深入探討這一不可思議的思想成果，考察不完全性定理的悖論關(guān)聯(lián)及深層哲學(xué)意蘊(yùn)。

一、不完全性定理與悖論

迄今為止，沒有任何理論像哥德爾不完全性定理那樣，與悖論有著如此微妙的關(guān)聯(lián)。一方面，不完全性定理的證明與悖論密切相關(guān)，哥德爾正是用悖論完成對(duì)不完全性定理的證明。另一方面，不完全性定理本身深深涉及悖論，不僅芝諾悖論與無窮級(jí)數(shù)收斂思想的產(chǎn)生，數(shù)理邏輯中的不相容性等與哥德爾不完全性定理的提出具有密切關(guān)聯(lián)，而且不完全性定理本身也與悖論有著耐人尋味的不解之緣。

1931年，德國數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家哥德爾提出了“不完全性定理”，打破了到19世紀(jì)末數(shù)學(xué)家們已經(jīng)建立起來的理想：“所有的數(shù)學(xué)體系都可以由邏輯推導(dǎo)出來?！辈煌耆远ɡ碇赋觯河捎诒厝淮嬖谥辽僖粋€(gè)不可證命題，任何作為封閉形式體系的公設(shè)系統(tǒng)都是不完全的。

哥德爾不完全性定理的提出有兩個(gè)同樣令人震撼的方面：不完全性定理本身及其證明。兩者都耐人尋味地涉及被認(rèn)為是導(dǎo)致悖論的兩大要素：自我指稱和否定概念。

和許多數(shù)學(xué)論證一樣，哥德爾不完全性定理的證明涉及自指的本質(zhì)性使用。這方面，哥德爾的觀點(diǎn)與塔爾斯基（Alfred Tarski）比較相近，他曾給出“說謊者悖論”的一個(gè)變種：

1934年5月4日我所表述的陳述句全都是假的。（當(dāng)天他只說過這么一句話。）

哥德爾由此斷言，“英語中的假句子”不能在英語中表述。對(duì)此，邏輯學(xué)家本奇在《數(shù)學(xué)謬論和悖論》一書中有這樣一個(gè)評(píng)論：“這個(gè)‘證明’沒有絲毫說服力！”[1](P25)筆者理解，哥德爾在這里是想說：假句子不能在假句子本身中表述。如果是這樣，則本奇的評(píng)論源自哥德爾表述的失誤。關(guān)于這一點(diǎn)，我們可以在哥德爾不完全性定理的論證中進(jìn)一步看到。

在哥德爾不完全性定理的論證中，直接相聯(lián)系的是“理查德悖論”。為便于理解，我們以“書目悖論”為例進(jìn)行討論。

古希臘著名學(xué)者卡里馬楚斯在古老的亞歷山大圖書館里編制亞里士多德學(xué)派著作的目錄時(shí)，他碰到了一個(gè)用亞里士多德邏輯完全無法解決的問題。原來在編目時(shí)，他把所有的目錄分成兩大類。第一大類是“自身列入的目錄”，即把自己也列入從而包含自身在內(nèi)的目錄。第二大類是“自身不列入的目錄”，即不把自己也列入從而不包含自身在內(nèi)的目錄。

當(dāng)卡里馬楚斯編完第二大類的目錄，即編出了第二類書目的“總目”。但這部“自身不列入的目錄”的“總目”讓他為難了?！翱偰俊痹摬辉撌杖脒@本“總目”本身？如果它不列入 “總目”，不僅自身不成其為名符其實(shí)的 “總目”，而且正好使它成了一部“自身不列入的目錄”。按照他的分類原則，他就應(yīng)該甚至必須將 “總目”本身列入“總目”。但如果將自身列入，那就使自己成了一部“自身列入的目錄”。同樣，按照他的分類原則，又不能列入自身。這樣，如果不自身列入，就必須列入自身；如果自身列入，則不能列入自身。無論列入與否都不對(duì)，都會(huì)陷入與邏輯矛盾完全不同的自相矛盾處境。

書目悖論能夠使我們更清楚地看到，那位圖書館管理員的問題不在于編了一本普通的書目詞典，關(guān)鍵是他在這本書目詞典中，要列出這個(gè)圖書館里所有書的書名。因此，最后他所遇到的不是一個(gè)普通的難題。這本書本身要不要列入？或者說，他是不是應(yīng)當(dāng)做一本“自身列入的目錄”？這些在技術(shù)上都不是問題，問題的關(guān)鍵在于，他能不能編這樣一本書目而不違背分類規(guī)定或分類原則。這個(gè)問題，事實(shí)上就集中表現(xiàn)在哥德爾的不完全性定理中。

事實(shí)上，邏輯主義試圖把數(shù)學(xué)還原為邏輯的努力未果，直覺主義解悖的成敗，形式主義解悖方案的努力和哥德爾不完全性定理，都表明把數(shù)學(xué)建立在邏輯的基礎(chǔ)上需要有對(duì)規(guī)定的關(guān)注和研究。而哥德爾用悖論證明不完全性定理，則已經(jīng)更實(shí)質(zhì)性地深化到將規(guī)定運(yùn)用于論證了。

由于人類理性本身的性質(zhì)，當(dāng)人類認(rèn)識(shí)進(jìn)入極端處，也只能運(yùn)用極端的方式。悖論向來是人們致力于消解的命題，但哥德爾卻用這種“成問題的”命題證明不完全性定理！

哥德爾定理的證明是將悖論用于證明的范例：通過證明自己說自己不可證的命題來證明它的真。在具體論證過程中，哥德爾先構(gòu)造出一個(gè)說謊者悖論的類似物——命題G：

當(dāng)前這個(gè)陳述在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)不可證。哥德爾證明的技巧就在G構(gòu)成兩個(gè)不同的陳述，一個(gè)是算術(shù)斷言，另一個(gè)是說自身不可證。對(duì)此，美國邏輯學(xué)家和哲學(xué)家麗貝卡·戈?duì)査固?Rebecca Goldstein)有非常精煉的描述:“當(dāng)然，G是一個(gè)純粹的算術(shù)陳述，但它同時(shí)也在談?wù)撍陨?，并且它所說的正是它不可證。它所說的是真的嗎？是的，它幾乎不可能是假的，因?yàn)槟菢铀囟勺C，從而又無論如何都是真的?！@樣一來，G就既不可證，同時(shí)因?yàn)檫@正是它所說的，它也是真的。……通過表明正是它說的G不可證，我們證明了G是真的?！盵2](P182－183)

也就是說，哥德爾的證明運(yùn)用了一個(gè)類似說謊者悖論的命題G，它斷言自身不可證。如果G可證，那么一個(gè)可證的命題就是真的；但與它斷言自己不可證相悖，因而又是假的。所以，如果在一個(gè)具有一致性的系統(tǒng)中G可證，那么G既為真也為假，這一矛盾表明G不可證。而G所說的就是自身不可證，因此G既為真又不可證。這正是哥德爾所要證明的：如果系統(tǒng)是一致的，那么在系統(tǒng)中就存在一個(gè)既為真又不可證的命題。這樣就證明了形式系統(tǒng)的不完全性。這是一個(gè)從描述——?dú)w根結(jié)底是規(guī)定的不完備性證明形式系統(tǒng)的不完全性的證明策略。

二、不完全性定理的悖論關(guān)聯(lián)和規(guī)定根源

作為對(duì)客體存在狀態(tài)和性質(zhì)等的語詞－符號(hào)摹寫，描述具有不完備性，因?yàn)槊枋鼍哂凶陨淼倪吔?，因而有可能超出作為自身前提的?guī)定。規(guī)定指的是為描述客體所作的關(guān)于數(shù)量和質(zhì)量或方式和方法等標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)定，也包括科學(xué)和哲學(xué)中一些明白作出的或隱含的預(yù)設(shè)。[3]當(dāng)這個(gè)作為自身前提的規(guī)定就是自身時(shí)，則達(dá)到了自身的邊界。悖論正是由描述與作為自身前提的規(guī)定之間或描述所涉及的規(guī)定之間的沖突形成的。[4]因而說到底，悖論在這里是證明形式系統(tǒng)不完全性的重要工具。涉及描述自身規(guī)定的悖論本身就是描述的界碑，而這界碑當(dāng)然就表明了形式系統(tǒng)本身的不完全性，正如我們說 “巴黎的米原器是否是一米長”達(dá)到了米制描述的邊界，因而表明了米制描述的不完備性一樣。米制描述的不完備性就在于必須有一個(gè)米原器的規(guī)定，而這個(gè)規(guī)定是超出米制描述本身的。

“米原器”是一種經(jīng)驗(yàn)的規(guī)定，但規(guī)定既可以是經(jīng)驗(yàn)的，也可以是邏輯的。在這里，邏輯的和經(jīng)驗(yàn)的規(guī)定與直覺的東西一樣，構(gòu)成了形式系統(tǒng)的基礎(chǔ)。也正是這些規(guī)定，構(gòu)成了不完全性定理的根據(jù)。因此，不完全性定理不僅關(guān)乎形式系統(tǒng)，而且由于與悖論密切相關(guān)而關(guān)乎所有描述體系。

自哥德爾不完全性定理和塔爾斯基的語義學(xué)真理論發(fā)表后，悖論問題的研究發(fā)生了重大轉(zhuǎn)向。而哥德爾不完全性定理的提出，則使悖論研究更添無限理論魅力。而且，從悖論在哥德爾證明不完全性定理中的作用和地位，我們可以清楚地看到在推進(jìn)哲學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展過程中研究悖論問題的極端重要性。

悖論問題不僅是指向語言描述中出現(xiàn)的具體問題，更是指向人類知識(shí)的基礎(chǔ)，指向描述和規(guī)定的關(guān)系，并最終指向規(guī)定。哥德爾不完全性定理導(dǎo)致數(shù)學(xué)家們從悖論的研究中退場，邏輯學(xué)家和哲學(xué)家登場，悖論研究動(dòng)機(jī)從數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)向哲學(xué)上的，就是這一點(diǎn)的片斷展示。

應(yīng)當(dāng)說，哥德爾早就意識(shí)到，悖論問題不僅是當(dāng)代邏輯哲學(xué)研究的前沿課題，而且是哲學(xué)研究的重大主題。他認(rèn)為，集合論悖論“是很嚴(yán)重的問題，不過不是對(duì)于數(shù)學(xué)而是對(duì)于邏輯和認(rèn)識(shí)論的嚴(yán)重問題”[5](P143)。由此我們可以看到，哥德爾不僅不把涉及自我指稱的悖論看做是必須禁止的，而且認(rèn)為這種悖論具有重要的哲學(xué)意義，而他將悖論用于不完全性定理的證明，則是這一點(diǎn)的絕妙明證。在哥德爾不完全性定理的證明中，我們可以看到否定的規(guī)定更深刻的意義。由否定的規(guī)定所構(gòu)成的悖論，甚至可能成為我們理論的重要構(gòu)成部分。

就否定的規(guī)定而言，哥德爾理論真的與“禪理”頗為類似。禪宗不認(rèn)為“語詞”能捕捉住“真”。然而，如果文字不能表達(dá) “真”，那么，這句話本身也就構(gòu)成了對(duì)自己的否定，因?yàn)檫@句話本身也是用文字表達(dá)的。依靠形式系統(tǒng)獲得真理，的確正如通過語詞達(dá)到真理：“真不能用字來表達(dá)，但又不能不用字來表達(dá)?！边@些形式系統(tǒng)有助于我們獲得某些真理，但正如哥德爾定理所揭示的，無論一個(gè)形式系統(tǒng)看上去多么嚴(yán)密完整，都是不完全的，都不能讓我們達(dá)到全部真理。但是，正如禪師除了語詞，數(shù)學(xué)家們除了形式系統(tǒng)，還能依靠什么？

其實(shí)，以“特異獨(dú)行，超然遁世”著稱的哥德爾之所以思想 “沉奧深邃、意蘊(yùn)廣遠(yuǎn)”，就是由于他涉及人類認(rèn)識(shí)的邊緣，感覺到了人類知識(shí)中某種更根本的東西。當(dāng)卡爾·門格爾（Carl Menger）告訴哥德爾，“維特根斯坦離譜地說不可判定性證明的唯一用途是 ‘logische Kunststücken’（邏輯小竅門或戲法）”，哥德爾回復(fù)道：“就我關(guān)于不可判定命題的定理而言，你引用的段落很清楚地表明維特根斯坦沒有理解它 （或者他揣著明白裝糊涂）。他將其理解為一種邏輯悖論，而事實(shí)上正好相反，它是數(shù)學(xué)中絕對(duì)無爭議部分 （有窮主義數(shù)論或組合數(shù)學(xué)）中的數(shù)學(xué)定理。”[2](P118)

事實(shí)上，哥德爾不可判定性命題既不是 “邏輯小竅門或戲法”，也不是悖論，而是可能涉悖的規(guī)定?？膳卸ㄐ赃@樣一類概念是深深涉入人性的，其否定概念也就是否定式規(guī)定在全稱描述中幾乎無一例外地會(huì)涉及悖論。由此可見，只有深入到規(guī)定，才能通過不完全性定理的悖論關(guān)聯(lián)，一窺其規(guī)定根源。

哥德爾定理所說的任何公設(shè)系統(tǒng)都必定具有的不完備性，事實(shí)上源于規(guī)定的不完備性。也就是說，公設(shè)系統(tǒng)的不完全性來自規(guī)定的不完備性。集合論悖論正表明集合論公理體系的不完全性，語形悖論的根源在集合論公理體系中規(guī)定的不完備性。由于規(guī)定的不完備性造成的集合論悖論，是不可能通過形式邏輯的方法消解的。正是由于消解以羅素悖論為標(biāo)志的語形悖論的努力無果，人們的注意力又回到以說謊者悖論為標(biāo)志的語義悖論。

從描述的觀點(diǎn)看，一方面，從語形悖論走向語義悖論就是從外延邏輯走向內(nèi)涵邏輯；另一方面，走向語義悖論就是走向規(guī)定。

本文所說的內(nèi)涵邏輯與通常所說的內(nèi)涵邏輯有所不同，指的是與形式邏輯相對(duì)的內(nèi)容邏輯。當(dāng)我們對(duì)外部事物進(jìn)行區(qū)分，就會(huì)通過對(duì)一類事物進(jìn)行概括而形成概念。這些概念之間的邏輯關(guān)系正是形式邏輯研究的內(nèi)容。而當(dāng)我們對(duì)這些概念的內(nèi)涵進(jìn)行考察，或者說當(dāng)我們對(duì)作為規(guī)定的概念進(jìn)行分析的時(shí)候，我們就涉及事物的內(nèi)容。對(duì)事物內(nèi)容的邏輯聯(lián)系的研究就是內(nèi)涵邏輯的領(lǐng)域。因此，正是對(duì)事物的區(qū)分導(dǎo)致外延邏輯的形成，而正是對(duì)事物的規(guī)定導(dǎo)致內(nèi)涵邏輯的形成。在人類認(rèn)識(shí)中，關(guān)于概念內(nèi)部關(guān)系的探索由來已久，只是由于不是自覺地進(jìn)行內(nèi)涵邏輯的研究，關(guān)于內(nèi)涵邏輯長期迷失在外延邏輯之中，直到現(xiàn)代仍然如此。事實(shí)上，作為處理概念內(nèi)部關(guān)系的邏輯，內(nèi)涵邏輯和辯證邏輯都是與形式邏輯完全不同的內(nèi)容邏輯。

在內(nèi)涵邏輯的這一含義上，哥德爾不完全性定理正是樹立在外延邏輯和內(nèi)涵邏輯之間的一個(gè)歷史界碑。它認(rèn)定的那種不能在自身體系中得到證明，甚至是不可規(guī)定的東西，就是外延邏輯領(lǐng)域的形式系統(tǒng)生長在內(nèi)涵邏輯領(lǐng)域的根。建立在外延邏輯基礎(chǔ)之上的所有形式系統(tǒng)的不完全性，都可以在內(nèi)涵邏輯領(lǐng)域找到它們的根源。在外延邏輯領(lǐng)域只是遙遙可見的悖論，在內(nèi)涵邏輯的背景中，似乎并不是那種不受歡迎、讓人欲除之而后快的東西，有時(shí)候可能恰恰相反，矛盾和悖論是生長在內(nèi)涵邏輯領(lǐng)域的兩顆最為璀璨的珍珠，正因?yàn)槿绱?，悖論才成了人們的“鐘愛之物”?/p>

事實(shí)上，作為一個(gè)描述系統(tǒng)，任何一個(gè)封閉的形式體系都必須建立在相應(yīng)規(guī)定的基礎(chǔ)之上，即使是簡單的自然數(shù)體系，也必須建立在自然數(shù)字規(guī)定的基礎(chǔ)之上（比如阿拉伯?dāng)?shù)字）。試圖在一個(gè)形式體系內(nèi)部使該體系變得“完全”，也就是使這個(gè)形式體系內(nèi)部的每一個(gè)命題都得到證明，這樣就必然走向悖論。因?yàn)樵谀莻€(gè)封閉體系內(nèi)部的不可證明的命題就是規(guī)定。以此規(guī)定作為某些描述的前提，就很容易由于描述的“不慎”而與該規(guī)定構(gòu)成沖突。這種情況的發(fā)生，可以是由描述的主觀原因造成的（比如觀念和信息掌握），但更可能是因?yàn)槟莻€(gè)在形式體系內(nèi)部不證自明的命題就是一個(gè)規(guī)定。這個(gè)規(guī)定作為該形式體系得以成立的前提，在體系內(nèi)部是不可能得到證明的。不完全性定理的根源，正在于描述和規(guī)定的不完備性。

三、規(guī)定、悖論和不完全性定理的哲學(xué)意蘊(yùn)

從描述和規(guī)定的角度看，哥德爾不完全性定理首先具有這樣一個(gè)重要哲學(xué)意蘊(yùn)：它不僅從形式上證明了任何封閉的形式體系是不完全的，而且在描述的意義上證明了任何封閉的描述體系都是不完全的。關(guān)于證明了任何形式體系都是不完全的，正如楊熙齡所說：“哥德爾證明了在這類演繹系統(tǒng)中，他能建造一句初等數(shù)論的語句，這個(gè)語句是真的，‘當(dāng)且僅當(dāng)’該系統(tǒng)不能證明它為真，這樣的系統(tǒng)因此有漏洞，或者說‘不完全’，它至少漏掉了一個(gè)真理，要不漏掉這句話，那它就整個(gè)兒垮掉，因?yàn)樗蛯⒌玫揭粋€(gè)矛盾?！盵1](P38)由于任何封閉的形式體系都存在的 “漏洞”，恰恰就是其得以成立的 “不可證命題”，這些 “不可證命題”的基礎(chǔ)不是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，而恰恰是作為我們自己的描述的前提，不僅形式系統(tǒng)，而且任何描述體系都具有描述本身所不可避免的不完備性，因此，任何描述體系都是不完全的，包括哲學(xué)在內(nèi)的一切描述體系都不應(yīng)再走向封閉，所有描述系統(tǒng)都必定是開放的。

事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)描述或形式系統(tǒng)來說，必定存在的“不可證命題”就是作為自身基礎(chǔ)的規(guī)定。由此我們也可以推見不完全性定理的另一個(gè)重要哲學(xué)意蘊(yùn)：任何理論都有自己的“肚臍”，悖論將是我們自然而然走向各個(gè)新領(lǐng)域的門樞。正如哥德爾所說:“可以合理地假定：每一個(gè)概念，除對(duì)某些‘奇異點(diǎn)’（singular points）或‘極限點(diǎn)’（limiting points）之外，是處處有意義的。這樣，悖論看起來就類似于用零作除數(shù)的某種東西。這樣的一個(gè)系統(tǒng)在以下方面將是最令人滿意的：我們的邏輯直覺直至經(jīng)過某種小的修改依然是正確的，它們可看成是給出了一個(gè)本質(zhì)上正確的、只是有點(diǎn)‘模糊的’實(shí)在狀況的圖畫。”[6](P181)

哥德爾不完全性定理不僅證明形式主義的意圖不可能完成，而且證明形式系統(tǒng)是描述性的。因?yàn)橐粋€(gè)形式系統(tǒng)本身的一致性必須依靠形式系統(tǒng)之外的東西，而且必然借助直覺才能證明?！靶问街髁x者的意圖是為達(dá)到形式系統(tǒng)的透明消除事物（空間、數(shù)字、集合）本身性質(zhì)的不透明。但對(duì)于一個(gè)形式系統(tǒng)來說，被證明具有一致性是最重要的。只要公理是真正描述性的，描述性內(nèi)容的逐漸消失將確保一個(gè)形式系統(tǒng)的一致性。這只能在形式系統(tǒng)之外并借助本身不能被形式化的直覺才能做到。 ”[2](P187－188)

正是由于不完全性定理表明不可能從形式技術(shù)上完全解決悖論問題，哥德爾不僅認(rèn)為悖論是對(duì)于邏輯和認(rèn)識(shí)論的嚴(yán)重問題，而且區(qū)分了“處理外延的數(shù)學(xué)（集合論）與處理內(nèi)涵的邏輯（概念論）”。在他看來，“集合永遠(yuǎn)不能屬于自身，全集合是不存在的，但概念也許適用于自身，全概念是存在的 （即概念的概念，它適用于自身）。我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有像迭代集合概念那樣清楚的概念的概念，對(duì)于‘所有不適用于自身的概念的概念’之類的內(nèi)涵悖論也沒有足夠好的直觀理解”[7](P302)。

哥德爾不完全性定理表明，一個(gè)足夠復(fù)雜的理論不能證明自身不包含悖論，這揭示了一個(gè)基本事實(shí)：足夠復(fù)雜的理論都有自己的“肚臍”。這些肚臍構(gòu)成了人類處于不同層次的各種描述體系之間的“蟲洞”，都隱藏著由此走向另一番天地的門樞。找到這些門樞，可能是人們更加自由地游弋在各種描述層次之間的法門。悖論總是出現(xiàn)在不同層次的理論之間，往往是不同層次理論 “錯(cuò)位”的產(chǎn)物。這種錯(cuò)位也發(fā)生在兩個(gè)基礎(chǔ)性的理論——相對(duì)論和量子論之間，但這種情況往往發(fā)生在一個(gè)新的層次的理論還沒有建立起來的時(shí)候。正像地質(zhì)構(gòu)造中板塊的錯(cuò)位往往造成自然界的“地震”，理論之間的錯(cuò)位也會(huì)帶來知識(shí)世界的“地震”。在這種情況下，悖論就成了邁向新的理論層面的重要門徑。

在哥德爾不完全性定理中，我們會(huì)感覺到我們游弋在理性的邊緣。的確，我們?cè)谙鄬?duì)論、量子論等有點(diǎn)近乎“神秘”的科學(xué)領(lǐng)域，特別是在深?yuàn)W的哲學(xué)領(lǐng)域，也會(huì)有一種走進(jìn)理性邊緣的感覺，但那更確切地說是我們 （我們個(gè)人，不是人類）理性能力的邊緣。而在哥德爾的不完全性定理中，我們（不是我們個(gè)人，而應(yīng)當(dāng)是人類）則的確是走進(jìn)了理性的邊緣——我們深深感受到那種身臨“天涯海角”的感覺。在那里，理性游走在自己的極限處，這里我們也可以看得很清楚，在科學(xué)和哲學(xué)理論中，我們感覺到的是我們?cè)谶@個(gè)世界的極目所見；而在悖論中，我們感覺到的則是在某個(gè)特定的認(rèn)識(shí)階段，我們自己的理性在理性自身中的極目所見。在對(duì)世界的極目所見中，我們清楚地知道世界不會(huì)在我們的極目之外消失，而在對(duì)我們理性的極目所見中，我們則清楚地看到我們理性 “作繭自縛”的奇妙結(jié)構(gòu)：“在卡夫卡和哥德爾那里，都有一種愛麗絲漫游奇境的性質(zhì)，一種已經(jīng)進(jìn)入一個(gè)奇特世界的感覺，在這個(gè)世界中，事物會(huì)變成其他東西，包括它們自身的含義?！盵2](P170)

事實(shí)上，當(dāng)規(guī)定涉及作出規(guī)定的人類理性時(shí)，我們就進(jìn)到了人類理性的邊界。在人類理性的邊界處做出的規(guī)定，就必定具有不完全性。這正是人類規(guī)定不完全性的根源，也是形式系統(tǒng)甚至所有封閉的理論體系不完全性的根源，從而正是哥德爾不完全性定理的根據(jù)。正是根據(jù)這一邏輯，在2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，霍金（Stephen William Hawking）作了題為《哥德爾與M理論》的報(bào)告。他根據(jù)哥德爾不完全性定理得出結(jié)論：建立一個(gè)單一的描述宇宙的大統(tǒng)一理論是不太可能的。正是在這個(gè)意義上，我們可以看到哥德爾不完全性定理的再一個(gè)哲學(xué)意蘊(yùn)，從而意識(shí)到對(duì)哥德爾不完全性定理應(yīng)當(dāng)有一個(gè)更深刻的哲學(xué)理解。

從描述和規(guī)定的角度看，不完全性定理的再一個(gè)重要哲學(xué)意蘊(yùn)是：它表明，包括自身在內(nèi)的任何描述體系都具有知識(shí)的人類學(xué)特性。正是由此，我們可以看到，哥德爾定理不僅不應(yīng)理解為導(dǎo)向絕望[8](P78)，反而應(yīng)當(dāng)看做一種啟示：人們可以通過退離（back away）更真實(shí)地看待對(duì)象及我們與對(duì)象的認(rèn)識(shí)關(guān)系，尤其是我們自己在這一關(guān)系中的地位。哥德爾定理當(dāng)然也不應(yīng)成為人們陷入關(guān)于外部世界的任何神秘主義的借口[8](P78)，因?yàn)樗鶎?dǎo)向的應(yīng)當(dāng)是人類自身的奧秘——人類學(xué)特性。哥德爾定理不僅意味著人類的智力資源沒有也不可能全部形式化[8](P75)，更意味著在更深層次上形式化的結(jié)論在非形式化領(lǐng)域具有更深刻的哲學(xué)意蘊(yùn)。哥德爾定理也不僅意味著非形式化的元數(shù)學(xué)推理具有更根本的意義[8](P75)，更意味著比元數(shù)學(xué)推理更深層次的規(guī)定的探究，具有更重要的哲學(xué)意蘊(yùn)，它意味著對(duì)人類理性和人類學(xué)特性，對(duì)人的創(chuàng)造性更深遠(yuǎn)前景的更清晰眺望。

規(guī)定具有不完全性，而人（包括人的理性）作為一個(gè)有限的存在，卻總是使出自己的渾身解數(shù)去思考與自己的理性基礎(chǔ)有關(guān)的問題，從而必定遇到悖論。這類悖論不是人所能排除的，除非他不描述，不規(guī)定。因此，有些悖論是不可能消除的，它們也不用消除，因?yàn)樵谀撤N意義上說，這正是人類理性（思維）的本性使然。更為重要的是，對(duì)人類描述和規(guī)定來說，這些悖論意義尤其重大。它們不僅涉及“實(shí)在”、“描述”和“規(guī)定”等基本概念，而且深深涉及人類學(xué)特性。正是對(duì)人類學(xué)特性的深深涉入，既顯露了哥德爾不完全性定理的描述和規(guī)定性質(zhì)，又曉示了更為深刻的哲學(xué)意蘊(yùn)。哥德爾不完全性定理的這一更為重要的哲學(xué)意蘊(yùn)，正是根源于其悖論關(guān)聯(lián)，歸根結(jié)底根源于規(guī)定的不完備性。

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[5](德)哥德爾.什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問題？[A].數(shù)理哲學(xué)譯文集[C].北京：商務(wù)印書館,1988.

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【責(zé)任編輯：王立霞】

B565.6

A

1004－518X（2013）05－0011－06

國家社科基金項(xiàng)目“悖論的描述成因和解決方案研究”（12BZX004）、上海市社科基金項(xiàng)目“規(guī)定論研究”（2011BZX002）