區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合方法及適用性分析*

郭春喜 聶建亮 王 斌 蔣光偉

(國家測繪局大地測量數(shù)據(jù)處理中心，西安 710054)

1 引言

區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化一般通過高精度的GPS/水準(zhǔn)點糾正高分辨率的重力似大地水準(zhǔn)面實現(xiàn)，因此，高精度GPS/水準(zhǔn)成果以及可靠的重力似大地水準(zhǔn)面是決定區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化精度的關(guān)鍵因素。目前，GPS/水準(zhǔn)成果通常利用高精度GPS測量獲取厘米級甚至毫米級的大地高成果與采用等級水準(zhǔn)測量得到可靠的水準(zhǔn)成果;而重力似大地水準(zhǔn)面一般通過高階次的重力場模型、高精度高分辨率的DEM 以及重力測量資料而獲取，在計算過程中，需嚴(yán)格考慮地形影響。在獲取高精度GPS/水準(zhǔn)成果以及高分辨率重力似大地水準(zhǔn)面的基礎(chǔ)上，合理有效的擬合方法成為提高區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精度的一個重要因素。

擬合逼近方法通常分為函數(shù)模型逼近和統(tǒng)計模型逼近，其中函數(shù)模型對趨勢項有很好的擬合效果，而統(tǒng)計模型對隨機過程擬合效果較好［1，2］。有學(xué)者已將多種擬合逼近方法應(yīng)用于GPS 高程與重力場等領(lǐng)域，以提高擬合精度［1－19］。雖然以上擬合方法在一定條件下能得到可靠的擬合結(jié)果，但很少文獻對這些方法在似大地水準(zhǔn)面擬合的應(yīng)用進行適用性分析。

本文以不同區(qū)域面積、不同地形復(fù)雜程度的實驗數(shù)據(jù)為例，系統(tǒng)討論最小二乘配置等多種擬合方法及其在似大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用，深入分析各種方法的特點與適用性;首次將自適應(yīng)最小二乘配置應(yīng)用于區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合，有效控制噪聲與信號協(xié)方差矩陣關(guān)系不匹配影響，進一步提高擬合效果;采用薄板樣條增強GPS/水準(zhǔn)成果控制作用，抑制低精度重力似大地水準(zhǔn)面對最終結(jié)果的影響，從而提高區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精度。

2 擬合方法

區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合一般將離散點的GPS/水準(zhǔn)與重力似大地水準(zhǔn)面的差值Δξ 作為擬合量。由于重力似大地水準(zhǔn)面與實際情況匹配以及GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)處理方案等問題，Δξ 不僅含有偶然誤差，還可能含有系統(tǒng)誤差。因此，對于不同區(qū)域面積、不同地形復(fù)雜程度的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合，合理有效的擬合方法顯得尤為重要。限于文章篇幅，文中僅介紹薄板樣條、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最小二乘配置以及自適應(yīng)最小二乘配置方法，而常用的多項式［12］、球冠諧函數(shù)［8，9］等方法可參考相應(yīng)文獻。

2.1 薄板樣條

薄板樣條是一種二維曲面，它是由一維三次樣條到二維的擴展。該曲面通過所有控制點且不要求擬合點呈規(guī)則格網(wǎng)排列，在實際高程異常是連續(xù)漸變時，由于樣條函數(shù)是曲率最小光滑的曲面，每個擬合點可控制局部范圍，從而被廣泛地應(yīng)用于各種曲面擬合［11］。薄板樣條函數(shù)是樣條函數(shù)在兩維空間上的推廣，具有連續(xù)、光滑的數(shù)學(xué)特性。利用薄板樣條函數(shù)糾正重力似大地水準(zhǔn)面，可以較好逼近實際似大地水準(zhǔn)面變化趨勢。

2.2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論上可以無限逼近，使計算結(jié)果更加接近于區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的真實趨勢［20，21］。這是因為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種復(fù)雜的非線性映射系統(tǒng)，能夠削弱不確定因素等的影響。區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合時，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅可以使用擬合點經(jīng)緯度作為輸入向量中的元素，還可以考慮影響似大地水準(zhǔn)面精度的地形信息、觀測精度等因素，以便精確真實地反映區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢?？傊?，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合區(qū)域似大地水準(zhǔn)面時，不僅要顧及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身的局部極小值、計算結(jié)果的隨機性以及訓(xùn)練函數(shù)與學(xué)習(xí)效率選取等因素影響，還要考慮GPS/水準(zhǔn)點的分布、數(shù)量、控制范圍等因素。

2.3 最小二乘配置

將GPS/水準(zhǔn)和重力似大地水準(zhǔn)面之差Δξ 分為固定效應(yīng)和隨機效應(yīng)兩部分，較好地解決含有傾向性、隨機性因素的問題，適宜于削弱Δξ 中的系統(tǒng)誤差影響［2］。最小二乘配置的關(guān)鍵問題是根據(jù)協(xié)方差函數(shù)確定信號的方差-協(xié)方差矩陣ΣS和ΣSS'，目前常用的協(xié)方差函數(shù)有高斯(Gauss)函數(shù)、希爾伏寧(Hirvonen)協(xié)方差函數(shù)與似高斯(Gauss)函數(shù)等。

2.4 自適應(yīng)最小二乘配置

最小二乘配置能夠控制信號影響，提高估計精度。但觀測噪聲與信號的協(xié)方差矩陣一般依靠經(jīng)驗或者函數(shù)模型確定，可能造成兩類協(xié)方差矩陣之間的關(guān)系不合理，這可以部分歸結(jié)方差因子不一致，最終將導(dǎo)致計算精度偏低。針對該問題，楊元喜等［22，23］提出了自適應(yīng)最小二乘配置方法。該方法首先使用Helmert 方差分量估計構(gòu)造自適應(yīng)因子，然后利用自適應(yīng)因子合理調(diào)整觀測噪聲與信號的協(xié)方差矩陣之間的比例關(guān)系，進一步控制信號對計算結(jié)果的影響［22－24］。將自適應(yīng)最小二乘配置應(yīng)用于似大地水準(zhǔn)面擬合中，抑制Δξ 中的信號影響，調(diào)整觀測噪聲與信號協(xié)方差矩陣的不匹配關(guān)系，以提高似大地水準(zhǔn)面的擬合精度。

3 算例分析

為了充分比較分析各種方法的特點，分別選取不同面積、不同地形復(fù)雜程度的省市區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化數(shù)據(jù)進行驗證。在擬合計算過程中，首先對GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進行粗差探測，削弱異常數(shù)據(jù)對計算結(jié)果的影響;然后根據(jù)GPS/水準(zhǔn)點分布情況，選取擬合點與檢核點，其中選取特征點作為擬合點，另外隨機選取一部分GPS/水準(zhǔn)點作為檢核點;最后，采用不同的擬合方法進行計算，并評價計算精度。

1)北部S 市地區(qū)

S 市地區(qū)地勢平坦，全境東西寬60 km，南北長50 km。該區(qū)域重力資料豐富，重力似大地水準(zhǔn)面變化平緩，GPS/水準(zhǔn)點分布均勻且密度較高。試驗區(qū)共獲取了81 個GPS/水準(zhǔn)點的數(shù)據(jù)，選取均勻分布的56 個數(shù)據(jù)點作為擬合點，剩余25 個點為檢核點。算例采用6 種方案進行比較分析:三次多項式(POL)、球冠諧函數(shù)(SCH)、最小二乘配置(CO)、自適應(yīng)最小二乘配置(ACO)、薄板樣條(SP)、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BP)。6 種方案誤差統(tǒng)計于表1，內(nèi)、外符合誤差曲線如圖1 ～2。

2)東部Q 市地區(qū)

東部Q 市緯度跨度為0.34°，經(jīng)度跨度為0.53°;該區(qū)域地勢相對平坦;重力資料豐富，重力似大地水準(zhǔn)面精度較高;GPS/水準(zhǔn)點分布均勻，但精度稍差。收集了Q 市102 個GPS/水準(zhǔn)點，選取均勻分布的89 個GPS/水準(zhǔn)點作為擬合點，剩余13 個點為檢核點。采用S 市似大地水準(zhǔn)面擬合所用的6 種擬合方法糾正該區(qū)域重力似大地水準(zhǔn)面，誤差統(tǒng)計于表2，誤差曲線如圖3 ～4。

3)西部C 省地區(qū)

西部C 省東西長1 075 km，南北寬921 km。該地區(qū)中部為盆地，盆地周圍為丘陵、山地，西部是高原。由于地形復(fù)雜，重力等資料相對缺乏，重力似大地水準(zhǔn)面精化程度不高，且變化幅度較大。選取567 個GPS/水準(zhǔn)點作為擬合點，均勻地空出了95個GPS/水準(zhǔn)點作為檢核點。選取6 種方案進行處理，誤差統(tǒng)計于表3，誤差曲線如圖5 ～6。

由三個典型區(qū)域的實驗結(jié)果可以得出如下:

1)對于面積較小、地勢平坦、重力與GPS/水準(zhǔn)資料豐富的地區(qū)，常用擬合方法能夠得到較高的擬合精度，真實逼近似大地水準(zhǔn)面變化趨勢，尤其是BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法得到了最好的內(nèi)、外符合精度;在面積較大、地形稍復(fù)雜的區(qū)域，常用擬合方法計算效果一般，而自適應(yīng)最小二乘配置與薄板樣條都能得到較好的擬合效果;在面積更大、地形非常復(fù)雜的地區(qū)，自適應(yīng)最小二乘配置與薄板樣條方法明顯優(yōu)于其他擬合方法。

表1 各方案誤差統(tǒng)計結(jié)果(單位:cm)Tab.1 Statistics of error under each scheme in the city S(unit:cm)

2)在多處實驗區(qū)擬合中，薄板樣條函數(shù)都能夠得到較好的逼近效果。這是因為該方法使用過點方法進行似大地水準(zhǔn)面擬合，充分利用擬合點信息，最大限度地逼近GPS/水準(zhǔn)與重力似大地水準(zhǔn)面的差值，從而能精確地反映似大地水準(zhǔn)面的變化趨勢;但該方法要求擬合點中不能存在異常數(shù)據(jù)，否則將導(dǎo)致似大地水準(zhǔn)面局部變形。

表2 各方案誤差統(tǒng)計結(jié)果(單位:cm)Tab.2 Statistics of error under each scheme in the city Q(unit:cm)

表3 各方案誤差統(tǒng)計結(jié)果(單位:cm)Tab.3 Statistics of error under each scheme in the province C(unit:cm)

3)與最小二乘配置方法相比，自適應(yīng)最小二乘配置通過自適應(yīng)因子的調(diào)節(jié)作用能夠得到更可靠的計算結(jié)果，這種改進效果在C 省擬合計算中有非常明顯的表現(xiàn)，從而證明了該方法的有效性和可靠性。其原因為最小二乘配置能較好地逼近與預(yù)測的趨勢性、規(guī)律性等變化，還能較合理地反映對中的信號等的影響;利用自適應(yīng)因子調(diào)整信號與噪聲協(xié)方差矩陣的不匹配關(guān)系，使統(tǒng)計模型更加可靠，進而提高重力似大地水準(zhǔn)面的糾正效果。

4 結(jié)論

在面積較小、地勢平坦的地區(qū)，常用擬合方法能夠得到較好的逼近效果;在面積較大、地形復(fù)雜、重力似大地水準(zhǔn)面精度較差的地區(qū)，薄板樣條函數(shù)能夠進一步提高GPS/水準(zhǔn)的控制作用，提高重力似大地水準(zhǔn)面的擬合效果;在面積較大、地形復(fù)雜、重力資料豐富、GPS/水準(zhǔn)點分布均勻且密度較高的地區(qū)，自適應(yīng)最小二乘配置能夠得到可靠的似大地水準(zhǔn)面擬合結(jié)果。自適應(yīng)最小二乘配置、薄板樣條等多種擬合方法在一定條件下能得到較高的擬合精度，但數(shù)據(jù)中的粗差將大大降低這些擬合方法的計算精度與可靠性。

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