基于有效獨(dú)立的改進(jìn)傳感器優(yōu)化布置方法研究

劉 偉，高維成，李 惠，孫 毅

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天科學(xué)與力學(xué)系，哈爾濱 150001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)主要是通過布置在結(jié)構(gòu)上的傳感器采集數(shù)據(jù)并進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別、有限元模型修正、損傷識(shí)別和結(jié)構(gòu)健康狀況評(píng)估。隨著結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)的發(fā)展，傳感器在結(jié)構(gòu)中的優(yōu)化布置問題［1-7］日趨突出，即如何用有限數(shù)量的傳感器從被噪聲污染的信號(hào)中采集到最充分和最有價(jià)值的振動(dòng)信息。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)自由度數(shù)多、動(dòng)力特性復(fù)雜、準(zhǔn)確測(cè)量振動(dòng)信息較難，必須采用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法來確定最優(yōu)傳感器布置位置，以至于測(cè)試的響應(yīng)信息更完備、識(shí)別的模態(tài)參數(shù)更準(zhǔn)確、構(gòu)建的健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)更高效。

目前文獻(xiàn)中出現(xiàn)的傳感器優(yōu)化布置方法種類繁多，很難將其毫無(wú)遺漏的歸納分類。劉福強(qiáng)等［1］對(duì)作動(dòng)器/傳感器優(yōu)化布置的研究進(jìn)展進(jìn)行了較好的歸納總結(jié)，闡述了作動(dòng)器/傳感器的優(yōu)化布置準(zhǔn)則和常用的優(yōu)化計(jì)算方法;Staszewski［2］從組合優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和信息理論三個(gè)角度綜述了傳感器優(yōu)化布置方法在復(fù)合材料損傷監(jiān)測(cè)方面的研究進(jìn)展，并通過一個(gè)簡(jiǎn)單案例驗(yàn)證了方法的有效性;李東升等［3］比較了較常用的傳感器布置方法，揭示了各種方法間的內(nèi)在聯(lián)系，利用一梯形結(jié)構(gòu)考察了不同傳感器布置方法結(jié)果的異同。有效獨(dú)立法(Effective Independence-EI)［8-9］是目前應(yīng)用最為廣泛的一種傳感器布置方法，它以每個(gè)傳感器測(cè)點(diǎn)對(duì)模態(tài)向量線性獨(dú)立的貢獻(xiàn)最大為目標(biāo)，逐步刪除有效獨(dú)立向量具有最小值的自由度，由此來優(yōu)化Fisher信息矩陣，使感興趣的模態(tài)向量在最少測(cè)點(diǎn)的情況下，盡可能保持線性獨(dú)立，從而在測(cè)試中用有限的傳感器可以獲取到最大的模態(tài)信息。模態(tài)動(dòng)能法(Modal Kinetic Energy-MKE)［10］則發(fā)展了傳統(tǒng)的以結(jié)構(gòu)振幅較大位置布置傳感器的經(jīng)驗(yàn)法，以測(cè)得的模態(tài)動(dòng)能最大為目標(biāo)來選擇傳感器的位置，可提高結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)量時(shí)的信噪比。

有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法均屬于傳統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置算法，在實(shí)際測(cè)試中應(yīng)用較多，但二者又都有各自的局限性。有效獨(dú)立法不依賴于優(yōu)化搜索技術(shù)，從有限元模態(tài)矩陣出發(fā)選擇用于識(shí)別目標(biāo)模態(tài)的最佳測(cè)點(diǎn)組合。但是傳感器不一定分布在模態(tài)動(dòng)能較大的位置，從而可能會(huì)丟失反映結(jié)構(gòu)真實(shí)狀態(tài)的重要參數(shù)信息。而模態(tài)動(dòng)能法則嚴(yán)重依賴于有限元網(wǎng)格劃分，如果劃分較粗，傳感器將分布較遠(yuǎn)，如果劃分較細(xì)，傳感器將分布過近。目前很多學(xué)者對(duì)上述算法均提出了改進(jìn):Li等［11］提出一個(gè)通過正交三角分解快速計(jì)算有效獨(dú)立法系數(shù)的方法，避免了傳統(tǒng)的有效獨(dú)立法計(jì)算中所需要的對(duì)信息陣進(jìn)行特征值分解或者計(jì)算矩陣逆，克服了其計(jì)算量大的缺點(diǎn);Imamovic［12］為克服EI法不足，即布置結(jié)果中可能包含一些振動(dòng)能量很低的測(cè)點(diǎn)，在EI法中計(jì)算有效獨(dú)立分布向量的分量上乘以一個(gè)加權(quán)系數(shù)，即驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)DPR(Driving Point Residue)，并稱其為有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法(EFI-DPR);吳子燕等［13］提出了以單位剛度的模態(tài)應(yīng)變能作為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差系數(shù)來修正有效獨(dú)立法(EI)的傳感器布置方案，稱之為有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法(EFI-DPR)。

綜合考慮有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文從多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式出發(fā)，推導(dǎo)了平均位移幅值、平均速度幅值和平均加速度幅值公式［14］，提出兩種基于有效獨(dú)立的改進(jìn)傳感器優(yōu)化布置方法:有效獨(dú)立-平均加速度幅值法(Effective Independence-Average Acceleration Amplitude，EI-AAA)和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法(Effective Independence-Modal Kinetic Energy，EI-MKE)，并與有效獨(dú)立法［8-9］、模態(tài)動(dòng)能法［10］、有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法［12］、有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法［13］等方法進(jìn)行了比較研究。文中以實(shí)際鋼井字梁采光頂結(jié)構(gòu)為算例，運(yùn)用模態(tài)動(dòng)能和平均加速度幅值準(zhǔn)則、Fisher信息矩陣行列式最大準(zhǔn)則、截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)準(zhǔn)則、MAC矩陣非對(duì)角線元素平均值和最大值準(zhǔn)則評(píng)價(jià)各種優(yōu)化布置方法的優(yōu)劣。

1 傳統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置方法

1.1 有效獨(dú)立法(EI)

有效獨(dú)立法［8-9］(EI)首先根據(jù)模態(tài)動(dòng)能法(MKE)初選傳感器布置的候選集合，然后從模態(tài)坐標(biāo)估計(jì)誤差協(xié)方差最小準(zhǔn)則出發(fā)，依次去除對(duì)模態(tài)線性獨(dú)立貢獻(xiàn)最小的自由度，最終獲得使模態(tài)空間估計(jì)最佳的傳感器較優(yōu)布置方案。

有效獨(dú)立法通過求解矩陣ΦTΦ(Fisher信息矩陣Q的等價(jià)矩陣)的特征方程，構(gòu)造了有效獨(dú)立矩陣EI，如下:

其中，λ是矩陣ΦTΦ的特征值矩陣，ψ是矩陣ΦTΦ的特征向量矩陣。

顯然，EI是冪等矩陣，它的跡等于秩，其對(duì)角線上第i個(gè)元素表示第i個(gè)自由度對(duì)矩陣EI秩的貢獻(xiàn)。因此，定義矩陣EI的對(duì)角線元素組成的列向量為有效獨(dú)立向量EIV(Effective Independence Vector)，元素值滿足0≤EIii≤1。如果EIii接近于0，則該自由度對(duì)目標(biāo)模態(tài)的線性獨(dú)立性貢獻(xiàn)較小，應(yīng)該去除;如果EIii接近于1，則該自由度對(duì)目標(biāo)模態(tài)的線性獨(dú)立性貢獻(xiàn)較大，應(yīng)該保留。有效獨(dú)立法就是這樣從全部自由度中逐步迭代刪除對(duì)有效獨(dú)立向量貢獻(xiàn)最小的自由度，保留對(duì)有效獨(dú)立向量貢獻(xiàn)較大的自由度，直到得到傳感器的較優(yōu)布置方案。

1.2 模態(tài)動(dòng)能法(MKE)

模態(tài)動(dòng)能法的基本思想是模態(tài)動(dòng)能較大位置其動(dòng)態(tài)響應(yīng)也較大，將傳感器布置在該自由度上有利于信號(hào)采集和模態(tài)參數(shù)識(shí)別。因此，其布置傳感器目標(biāo)準(zhǔn)則就是尋求縮減的傳感器測(cè)點(diǎn)集合從而使結(jié)構(gòu)在這些測(cè)點(diǎn)處的模態(tài)動(dòng)能最大。

模態(tài)動(dòng)能的表達(dá)式如下:

式中，Φ∈Rn×p是模態(tài)矩陣，p是目標(biāo)模態(tài)數(shù)。因此，對(duì)所有目標(biāo)模態(tài)的模態(tài)動(dòng)能貢獻(xiàn)度較大的自由度位置集合可以選作傳感器的候選集合。

對(duì)質(zhì)量矩陣M進(jìn)行正交Cholesky分解(M=LTL)，并令=LΦ，則模態(tài)動(dòng)能的表達(dá)式可以寫為:

可見，模態(tài)動(dòng)能表達(dá)式(3)與Fisher信息矩陣表達(dá)式(1)相似，區(qū)別僅在于對(duì)信息矩陣的加權(quán)矩陣不同，對(duì)于模態(tài)動(dòng)能法，加權(quán)矩陣是有限元質(zhì)量矩陣M;對(duì)于有效獨(dú)立法，加權(quán)矩陣是傳感器測(cè)試噪聲協(xié)方差的逆矩陣。

2 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)頻響函數(shù)的近似表達(dá)式

多輸入多輸出位移頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式可寫成如下形式:

其中，Hd(ω)∈Cn×n是位移頻響函數(shù)矩陣，Φ∈Rn×n是質(zhì)量歸一化實(shí)模態(tài)矩陣，φr∈Rn×1是第r階質(zhì)量歸一化實(shí)模態(tài)，ζr∈Rn×1是第r階模態(tài)阻尼比。上述頻響函數(shù)表達(dá)式是全部模態(tài)的疊加，計(jì)算時(shí)采用完整模態(tài)集合。但對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)，計(jì)算或識(shí)別出所有模態(tài)是不現(xiàn)實(shí)的。而且，并非所有模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)都相同，高階模態(tài)對(duì)低頻響應(yīng)影響就很小。因此，通常采用模態(tài)截?cái)喾床捎梅峭暾B(tài)集合計(jì)算式(4)，如下:

其中，p為考慮的模態(tài)數(shù)目。

假定環(huán)境激勵(lì)輸入是穩(wěn)態(tài)白噪聲，則其頻譜為常數(shù)。因此，對(duì)于線性系統(tǒng)，位移響應(yīng)幅值與頻率函數(shù)幅值成正比。若進(jìn)一步假設(shè)各階模態(tài)阻尼近似相等，則結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下的位移響應(yīng)與下式成正比:

其中，Y(ω)為輸出位移響應(yīng)頻譜。由于位移、速度及加速度頻響函數(shù)之間存在如下關(guān)系:

因此，結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下的速度響應(yīng)與下式成正比:

結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下的加速度響應(yīng)與下式成正比:

本文分別定義式(6)、式(8)和式(9)為平均位移幅值(Average Displacement Amplitude-ADA)矩陣、平均速度幅值(Average Velocity Amplitude-AVA)矩陣和平均加速度幅值(Average Acceleration Amplitude-AAA)矩陣。因此，結(jié)構(gòu)第i自由度的位移、速度和加速度響應(yīng)相對(duì)大小可分別用上述三式的對(duì)角線元素來表示，具體如下:

實(shí)際上，式(10)就是第i點(diǎn)激勵(lì)第i點(diǎn)響應(yīng)的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)頻響函數(shù)的近似表達(dá)。

3 改進(jìn)傳感器優(yōu)化布置方法

3.1 有效獨(dú)立-平均加速度幅值法(EI-AAA)

結(jié)構(gòu)模態(tài)測(cè)試時(shí)一般都采用加速度傳感器，而加速度信號(hào)可以很方便轉(zhuǎn)化為速度和位移信號(hào)。因此，在布置最佳測(cè)試點(diǎn)位置時(shí)，應(yīng)該使布置測(cè)點(diǎn)具有較大的平均加速度幅值(AAAi值)。如果僅保證布置測(cè)點(diǎn)的平均加速度幅值最大，則可能會(huì)使測(cè)試模態(tài)之間的線性獨(dú)立性變差。有效獨(dú)立法目的是使測(cè)試模態(tài)盡可能線性獨(dú)立，在具體實(shí)施中，僅考慮測(cè)試自由度對(duì)截?cái)嗄B(tài)秩的貢獻(xiàn)而不考慮其他任何需求，因此EI法選擇的測(cè)試自由度往往比平均加速度幅值小。為克服EI法布置結(jié)果中可能包含具有較低響應(yīng)測(cè)點(diǎn)的不足，本文提出有效獨(dú)立-平均加速度幅值法(Effective Independence-Average Acceleration Amplitude，EI-AAA)，如(11)式所示，它綜合二者優(yōu)點(diǎn)，使優(yōu)化測(cè)點(diǎn)集合具有盡可能高的平均加速度幅值，即測(cè)試響應(yīng)較大，同時(shí)盡可能保證測(cè)試模態(tài)線性獨(dú)立。

有效獨(dú)立-平均加速度幅值法在具體操作時(shí)與有效獨(dú)立法一樣，都需要通過循環(huán)使截?cái)嗄B(tài)矩陣保持滿秩。主要不同就是在選擇對(duì)截?cái)嗄B(tài)矩陣秩貢獻(xiàn)最小自由度時(shí)用每個(gè)自由度的平均加速度幅值進(jìn)行加權(quán)修正，目的是率先去除具有最低加速度響應(yīng)的自由度。但需要說明的是:結(jié)構(gòu)每個(gè)自由度的平均加速度幅值不會(huì)因?yàn)檠h(huán)操作而發(fā)生改變。

3.2 有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法(EI-MKE)

如前所述，平均加速度幅值具有能量的概念，若假設(shè)結(jié)構(gòu)具有單位一致質(zhì)量矩陣(M=I)，則其與模態(tài)動(dòng)能表達(dá)式相同。因此，平均加速度幅值表達(dá)的模態(tài)動(dòng)能沒有考慮結(jié)構(gòu)具體質(zhì)量分布情況對(duì)模態(tài)動(dòng)能大小的影響。因此，本文又提出有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法(Effective Independence-Modal Kinetic Energy，EI-MKE)，直接用模態(tài)動(dòng)能向量與有效獨(dú)立向量相乘對(duì)其進(jìn)行修正，考慮質(zhì)量分布的影響。操作過程與有效獨(dú)立-平均加速度幅值法相同，表達(dá)式如下:

3.3 有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法［12］(EFI-DPR)

Imamovic［12］為克服EI法其測(cè)點(diǎn)位置能量過低導(dǎo)致信息丟失的缺點(diǎn)，在EI法中計(jì)算有效獨(dú)立向量的分量上乘以一個(gè)加權(quán)系數(shù)，其定義為平均驅(qū)動(dòng)自由度速度(Average Driving DOF Velocity-ADDOFV)，表達(dá)式如下:

式(13)也稱驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)DPR(Driving Point Residue)，該方法被稱為有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法(EFI-DPR)，總體表達(dá)式如(14)式所示，操作過程與有效獨(dú)立法相同。

可以看出，文獻(xiàn)［12］所采用的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)DPR表達(dá)式式(13)與本文定義的平均速度幅值(Average Velocity Amplitude-AVA)的表達(dá)式式(10b)相同。

3.4 有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法［13］(EFI-DPR)

吳子燕等［13］為克服有效獨(dú)立法測(cè)得的模態(tài)動(dòng)能不高而可能造成信息丟失的缺點(diǎn)，提出了有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差(Drive Point Residue)法。它是以單位剛度的模態(tài)動(dòng)能作為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差系數(shù)(CDPRi)來加權(quán)修正有效獨(dú)立法(EFI)的傳感器布置方案。

其定義有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差系數(shù)CDPRi為單元?jiǎng)偠鹊哪B(tài)動(dòng)能，即

得到有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差(EFI-DPR)法的有效獨(dú)立分配向量為:

該方法操作過程也與有效獨(dú)立法相同，即進(jìn)行迭代求解。可以看出，文獻(xiàn)［13］所采用的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差系數(shù)DPR表達(dá)式(15)式與本文定義的平均位移幅值(Average Displacement Amplitude-ADA)的表達(dá)式(10a)式相同。

3.5 四種方法的對(duì)比分析

觀察式(10)可以看出，式(10c)所示的平均加速度幅值表達(dá)式具有振型能量的含義，其相當(dāng)于結(jié)構(gòu)具有單位一致質(zhì)量矩陣(M=I)的第i個(gè)自由度的模態(tài)動(dòng)能;而式(10b)所示的平均速度幅值表達(dá)式則相當(dāng)于以每階固有頻率平方根對(duì)每階模態(tài)進(jìn)行除權(quán)，然后再計(jì)算振型能量;同樣，式(10a)所示的平均位移幅值表達(dá)式則相當(dāng)于用每階固有頻率對(duì)每階模態(tài)進(jìn)行除權(quán)，然后再計(jì)算振型能量。顯然，模態(tài)動(dòng)能較大的位置其動(dòng)態(tài)響應(yīng)也大，傳感器測(cè)點(diǎn)應(yīng)該布置于這些自由度上。而式(10c)平均加速度幅值表示的結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度模態(tài)動(dòng)能大小與每階模態(tài)第i個(gè)元素φir的大小密切相關(guān)，φir越大，則第i自由度平均加速度幅值越大，也即具有單位一致質(zhì)量矩陣的結(jié)構(gòu)第i自由度模態(tài)動(dòng)能越大。

一般情況下，結(jié)構(gòu)每階振型幅值都處于同一數(shù)量級(jí)，每階模態(tài)向量的元素值相差不大。因此，每階模態(tài)對(duì)式(10c)數(shù)值大小的貢獻(xiàn)基本相當(dāng)，即式(10c)的第i自由度平均加速度幅值能夠考慮所有可測(cè)模態(tài)的貢獻(xiàn)。

式(10b)平均速度幅值表達(dá)的結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度模態(tài)動(dòng)能大小與每階模態(tài)以每階固有頻率平方根除權(quán)后的第i個(gè)元素φir/大小相關(guān)，顯然，除權(quán)后結(jié)構(gòu)高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度模態(tài)動(dòng)能大小貢獻(xiàn)較小，模態(tài)動(dòng)能主要集中于結(jié)構(gòu)低階模態(tài)。文獻(xiàn)［12］的研究結(jié)果也驗(yàn)證了這一點(diǎn)，它們的優(yōu)化布置測(cè)點(diǎn)主要集中于結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)。

同樣，式(10a)的平均位移幅值表達(dá)與每階模態(tài)以每階固有頻率除權(quán)后的第i個(gè)元素φir/ωr大小相關(guān)，高低階模態(tài)除權(quán)后對(duì)結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度模態(tài)動(dòng)能大小貢獻(xiàn)將更加分化，模態(tài)動(dòng)能集中于低階模態(tài)，甚至可能僅第一階模態(tài)對(duì)模態(tài)動(dòng)能貢獻(xiàn)較大，其余階模態(tài)貢獻(xiàn)極小甚至可以忽略。文獻(xiàn)［13］的優(yōu)化布置測(cè)點(diǎn)已經(jīng)集中于第一階振型的模態(tài)動(dòng)能最大位置，測(cè)點(diǎn)過于集中，不利于其他階振型的識(shí)別。

綜上，本文提出的選擇平均加速度幅值對(duì)有效獨(dú)立法進(jìn)行加權(quán)處理是合理的，即考慮測(cè)試模態(tài)線性獨(dú)立，又盡可能考慮所有模態(tài)對(duì)模態(tài)動(dòng)能的貢獻(xiàn)，滿足較優(yōu)布置測(cè)點(diǎn)具有較大能量的要求。此外，本文提出的模態(tài)動(dòng)能對(duì)有效獨(dú)立法進(jìn)行加權(quán)處理更是合理的，它還考慮了結(jié)構(gòu)具體質(zhì)量分布情況的影響，更具有實(shí)際意義。

4 傳感器優(yōu)化布置方法評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

對(duì)傳感器優(yōu)化布置算法和傳感器布置方案的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)，需要建立相應(yīng)的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，下面闡述一下本文中采用的傳感器優(yōu)化布置評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。

4.1 模態(tài)動(dòng)能

結(jié)構(gòu)的模態(tài)動(dòng)能并不是平均分配到結(jié)構(gòu)的各個(gè)模態(tài)中，在結(jié)構(gòu)的各個(gè)待選自由度上的分配也不均勻。模態(tài)動(dòng)能準(zhǔn)則希望結(jié)構(gòu)較優(yōu)測(cè)點(diǎn)所包含的結(jié)構(gòu)模態(tài)動(dòng)能較大，這樣才能保證測(cè)試信號(hào)的信噪比較高，抗噪聲干擾的能力較強(qiáng)，也才能保證模態(tài)識(shí)別結(jié)果精度較高，計(jì)算公式如式(2)所示。

4.2 平均加速度幅值

平均加速度幅值準(zhǔn)則能保證傳感器布設(shè)在結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值點(diǎn)，有利于數(shù)據(jù)的采集和提高測(cè)量的抗噪能力。在布置最佳測(cè)試點(diǎn)位置時(shí)，應(yīng)該使布置測(cè)點(diǎn)具有較大的平均加速度幅值(AAAi值)，這是本文提出的一種傳感器評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，計(jì)算公式如式(10c)所示。

4.3 Fisher信息矩陣行列式

Fisher信息矩陣Q最大等價(jià)于模態(tài)坐標(biāo)估計(jì)誤差的協(xié)方差J最小，而Fisher信息矩陣Q跡或行列式值最大時(shí)的估計(jì)是模態(tài)坐標(biāo)的無(wú)偏估計(jì)。同時(shí)，F(xiàn)isher信息矩陣Q也度量了測(cè)試響應(yīng)中所包含信息的多少，其行列式值越大，其所包含的模態(tài)信息越多。因此，可以采用Fisher信息矩陣Q的行列式值的大小來評(píng)價(jià)傳感器布置方案的好壞。

4.4 截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)

矩陣條件數(shù)是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數(shù)越大矩陣越病態(tài)。因此，可以采用截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)來判斷截?cái)嗄B(tài)矩陣的好壞程度，即截?cái)鄿y(cè)試模態(tài)集的線性獨(dú)立性程度，因此它也是從模態(tài)向量線性獨(dú)立性的角度考查所選測(cè)點(diǎn)優(yōu)劣的指標(biāo)。從線性代數(shù)的分析可知，矩陣的條件數(shù)總是大于1。正交矩陣的條件數(shù)等于1，奇異矩陣的條件數(shù)為無(wú)窮大，而病態(tài)矩陣的條件數(shù)則為比較大的數(shù)據(jù)。因此，截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)越接近于1越好。

4.5 模態(tài)置信準(zhǔn)則

模態(tài)置信準(zhǔn)則是評(píng)價(jià)模態(tài)向量交角的一種數(shù)學(xué)工具，可用來判別結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)模態(tài)向量相互線性獨(dú)立的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其數(shù)學(xué)公式如下:

式中，φi和φj分別是第i階和第j階模態(tài)向量。檢查模態(tài)置信準(zhǔn)則MAC矩陣的非對(duì)角線元素，就可以知道截?cái)鄬?shí)測(cè)模態(tài)的線性獨(dú)立程度。本文分別采用MAC矩陣非對(duì)角線元素平均值和最大值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，二者數(shù)值越小越好。

5 仿真算例

5.1 鋼井字梁采光頂結(jié)構(gòu)實(shí)例

圖1所示為一實(shí)際鋼井字梁采光頂結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)尺寸9 m×9 m，網(wǎng)格數(shù)9×9，H型鋼截面尺寸H300×250×6×8，鋼材型號(hào)Q235B，彈性模量206 GPa，密度7 850 kg/m3，計(jì)算時(shí)將荷載簡(jiǎn)化成集中質(zhì)量作用于結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)上。結(jié)構(gòu)約束形式為四邊簡(jiǎn)支，井字梁節(jié)點(diǎn)按剛接處理。計(jì)算模型具有100個(gè)節(jié)點(diǎn)，180個(gè)單元，544個(gè)自由度。采用子空間迭代法對(duì)井字梁采光頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，提取感興趣的前五階振型和固有頻率，如圖2所示。可以看出，該結(jié)構(gòu)振型為標(biāo)準(zhǔn)的四邊簡(jiǎn)支板結(jié)構(gòu)振型:第一階是板的一階彎曲模態(tài)、第二階為板對(duì)角線方向的二階彎曲模態(tài)、第三階是另一個(gè)對(duì)角線方向的二階彎曲模態(tài)(第二階的重頻模態(tài))、第四階是x方向和y方向各二階彎曲模態(tài)的組合模態(tài)、第五階是對(duì)角線方向各三階彎曲模態(tài)的組合模態(tài)。

圖1 鋼井字梁采光頂結(jié)構(gòu)Fig.1 Cross beam sunroof structure

5.2 傳感器優(yōu)化布置方案

井字梁采光頂結(jié)構(gòu)的有限元建模采用梁?jiǎn)卧總€(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度。觀察圖2可知，結(jié)構(gòu)所有振型都是豎向的，即z向?yàn)樵摻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)的主自由度方向。為此，提取該結(jié)構(gòu)中間所有節(jié)點(diǎn)z向自由度為候選測(cè)試自由度集合，將其重新編號(hào)如圖3所示，可測(cè)自由度為64個(gè)。

圖2 鋼井字梁采光頂結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算振型Fig.2 Mode shapes of cross beam sunroof structure by FEM

圖3 可測(cè)自由度重新編號(hào)Fig.3 New numbers of the measurable DOF

圖4 經(jīng)驗(yàn)法布置傳感器Fig.4 Optimal sensor placement by personal experience

由系統(tǒng)可觀性原則可知，測(cè)試結(jié)構(gòu)的前五階模態(tài)最少需要5個(gè)傳感器。為此，本文給定傳感器個(gè)數(shù)為5個(gè)，并在輸入數(shù)據(jù)中考慮5%的隨機(jī)噪聲影響。實(shí)際上，本文所研究的結(jié)構(gòu)形式比較簡(jiǎn)單，根據(jù)前五階模態(tài)的振動(dòng)形態(tài)完全可以根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行初步布置。選此結(jié)構(gòu)作為仿真算例主要是為了便于比較分析本文方法的優(yōu)越性。依據(jù)筆者經(jīng)驗(yàn)，不采用任何優(yōu)化算法，初步確定5個(gè)傳感器的布置區(qū)域如圖4(a)中5個(gè)虛線方框所示。若要具體確定，筆者會(huì)主觀選擇10、15、50、55和Ⅰ號(hào)區(qū)域中任意一個(gè)(結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱導(dǎo)致Ⅰ號(hào)區(qū)域四個(gè)節(jié)點(diǎn)地位完全相同)共5個(gè)作為傳感器的布置位置，見圖4(b)。顯然，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ號(hào)區(qū)域中的四個(gè)節(jié)點(diǎn)的地位是不同的，選擇哪些節(jié)點(diǎn)組合會(huì)使測(cè)試模態(tài)的線性獨(dú)立性最大、選擇哪些節(jié)點(diǎn)組合會(huì)使測(cè)試模態(tài)的模態(tài)動(dòng)能最大、選擇哪些節(jié)點(diǎn)組合會(huì)使測(cè)試模態(tài)的平均加速度幅值最大，這些信息根據(jù)經(jīng)驗(yàn)是不能獲取的，必須采用優(yōu)化方法進(jìn)行選擇。

基于此，本文采用前文所述的有效獨(dú)立法、模態(tài)動(dòng)能法、有效獨(dú)立-平均加速度幅值法、有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法、有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法［12］、有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法［13］對(duì)該井字梁采光頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置，得到各方法的傳感器優(yōu)化布置方案如圖5所示。

圖5 各種方法的傳感器優(yōu)化布置方案Fig.5 Optimal sensor placement scheme of all methods

5.3 對(duì)比分析與討論

為方便對(duì)比分析，繪制結(jié)構(gòu)前五階模態(tài)的模態(tài)動(dòng)能分布圖和平均加速度幅值分布圖，見圖6。該結(jié)構(gòu)前五階模態(tài)的模態(tài)動(dòng)能分布和平均加速度幅值分布基本一致，這是由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱和梁截面尺寸相同導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣對(duì)角線元素都相同所引起的。如圖6所示，結(jié)構(gòu)動(dòng)能和平均加速度幅值最大的節(jié)點(diǎn)為Ⅰ號(hào)區(qū)域內(nèi)的四個(gè)節(jié)點(diǎn)(28、29、36、37)，接著是Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ號(hào)區(qū)域內(nèi)結(jié)構(gòu)對(duì)角線上靠近四角點(diǎn)的四個(gè)節(jié)點(diǎn)(15、50、55、10)，然后是Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ號(hào)區(qū)域內(nèi)垂直于結(jié)構(gòu)對(duì)角線的八個(gè)節(jié)點(diǎn)(14、18、47、51、11、23、42、54)，再次是Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ號(hào)區(qū)域內(nèi)結(jié)構(gòu)對(duì)角線上靠近中央的四個(gè)節(jié)點(diǎn)(20、43、46、19)，最后依次是圖中等高線分布的其余節(jié)點(diǎn)。

圖6 結(jié)構(gòu)前五階模態(tài)的模態(tài)動(dòng)能和平均加速度幅值分布圖Fig.6 MKE and AAA distribution of the first five mode shapes in the structure

觀察圖5可以看出，所有方法得到的傳感器布置位置都在上述經(jīng)驗(yàn)法確定的傳感器可能布置區(qū)域之中。有效獨(dú)立法確定的傳感器位置在井字梁結(jié)構(gòu)上旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等間距分布，但Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ號(hào)區(qū)域內(nèi)四個(gè)測(cè)點(diǎn)卻處于模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第三大的節(jié)點(diǎn)群;模態(tài)動(dòng)能法確定的傳感器位置主要集中Ⅰ號(hào)區(qū)域內(nèi)的四個(gè)節(jié)點(diǎn)，模態(tài)動(dòng)能最大;有效獨(dú)立-平均加速度幅值法和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法的傳感器布置結(jié)果相同，與有效獨(dú)立法結(jié)果比較，其中三個(gè)傳感器的位置發(fā)生改變，從模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第三大節(jié)點(diǎn)群轉(zhuǎn)移到了模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第二大節(jié)點(diǎn)群。總體模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)有所提高，介于有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法之間。即保證了所測(cè)模態(tài)向量的最大線性獨(dú)立，又保證了所測(cè)模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)較大;有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法［12］確定的傳感器位置相對(duì)靠近井字梁結(jié)構(gòu)的中間位置，與有效獨(dú)立法結(jié)果比較，其中三個(gè)傳感器的位置發(fā)生改變，從模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第三大節(jié)點(diǎn)群轉(zhuǎn)移到了模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第四大節(jié)點(diǎn)群，模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)進(jìn)一步降低，傳感器測(cè)點(diǎn)主要集中于結(jié)構(gòu)的低階模態(tài);有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法［13］確定的傳感器位置更進(jìn)一步靠近井字梁結(jié)構(gòu)中間位置，與有效獨(dú)立法結(jié)果相比，其中四個(gè)傳感器的位置從模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第三大節(jié)點(diǎn)群轉(zhuǎn)移到了模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)第四大節(jié)點(diǎn)群，模態(tài)動(dòng)能(平均加速度幅值)比有效獨(dú)立驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法［12］更進(jìn)一步降低，傳感器布置結(jié)果已集中于第一階模態(tài)，不利于識(shí)別高階模態(tài)，與前文論述的結(jié)果一致。

表1 不同方法不同優(yōu)化準(zhǔn)則的比較結(jié)果Tab.1 Comparison results of different optimal criterion in different methods

下面通過前文所述的幾種優(yōu)化布置準(zhǔn)則對(duì)所有方法的有效性進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，結(jié)果如表1和圖7所示。其中前三個(gè)準(zhǔn)則與模態(tài)向量的歸一化因子有關(guān)，比較它們的相對(duì)大小即可;后三個(gè)準(zhǔn)則與模態(tài)向量的歸一化因子無(wú)關(guān)，可以直接比較它們的絕對(duì)大小。本文采用的是質(zhì)量歸一化振型，量級(jí)為10-3。

模態(tài)動(dòng)能和平均加速度幅值準(zhǔn)則能保證傳感器布設(shè)在反應(yīng)幅值點(diǎn)，有利于數(shù)據(jù)采集和提高測(cè)量抗噪能力。本文所提兩種方法的模態(tài)動(dòng)能和平均加速度幅值介于有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法之間，但都大于文獻(xiàn)［12］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法和文獻(xiàn)［13］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法，說明本文兩種方法的布置測(cè)點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)要好于有效獨(dú)立法、文獻(xiàn)［12-13］的方法。

Fisher信息矩陣行列式是評(píng)價(jià)測(cè)量噪聲對(duì)模態(tài)影響的指標(biāo)，其值越大，試驗(yàn)測(cè)量信號(hào)的估計(jì)偏差越小，抗噪聲能力越強(qiáng)。有效獨(dú)立-平均加速度幅值法和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法的Fisher信息矩陣行列式介于有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法之間，但都大于文獻(xiàn)［12］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法和文獻(xiàn)［13］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法?？梢?，本文兩種方法布置測(cè)點(diǎn)所獲模態(tài)參數(shù)的信息量都好于模態(tài)動(dòng)能法和文獻(xiàn)［12-13］的方法，但又基本保持了有效獨(dú)立法捕獲模態(tài)信息能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)準(zhǔn)則是從模態(tài)向量線性獨(dú)立性的角度考查所選測(cè)點(diǎn)優(yōu)劣的指標(biāo)。有效獨(dú)立-平均加速度幅值法和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法的截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)介于有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法之間，但又都小于文獻(xiàn)［12］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法和文獻(xiàn)［13］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法，可見，本文兩種方法獲得的截?cái)嗄B(tài)線性獨(dú)立性較好。

圖7 各種方法的MAC矩陣直方圖Fig.7 MAC matrix histogram of all methods

MAC矩陣非對(duì)角線元素平均值和最大值也是評(píng)價(jià)截?cái)嗄B(tài)相關(guān)性的指標(biāo)。有效獨(dú)立-平均加速度幅值法和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法的MAC矩陣非對(duì)角線元素都介于有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法之間，但都小于文獻(xiàn)［12］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法和文獻(xiàn)［13］的有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)殘差法，具體可參見圖7。由此可見，有效獨(dú)立-平均加速度幅值法和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法的截?cái)嗄B(tài)線性獨(dú)立性好于模態(tài)動(dòng)能法和文獻(xiàn)［12-13］的方法。

通過上述六種準(zhǔn)則對(duì)傳感器優(yōu)化布置結(jié)果的比較，有效獨(dú)立-平均加速度幅值法和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法在保持截?cái)嗄B(tài)最大線性獨(dú)立和模態(tài)參數(shù)信息量最大的同時(shí)，考慮了能量和平均加速度響應(yīng)的影響，避免了有效獨(dú)立法將傳感器布置在低能量部位所造成的信息丟失問題，綜合了二者的優(yōu)點(diǎn)，是這六種方法中最有效可靠的傳感器布置方法。

6 結(jié)論

(1)針對(duì)傳統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置方法——有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法的優(yōu)缺點(diǎn)，從多自由度頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展式出發(fā)，推導(dǎo)了平均位移幅值、平均速度幅值和平均加速度幅值的基本公式，分別以平均加速度幅值和模態(tài)動(dòng)能來修正有效獨(dú)立法，提出了兩種改進(jìn)傳感器優(yōu)化布置方法——有效獨(dú)立-平均加速度幅值法(EI-AAA)和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法(EI-MKE)。同時(shí)，提出了平均加速度幅值傳感器評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，其能夠保證傳感器布設(shè)在結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值點(diǎn)，有利于數(shù)據(jù)的采集和提高測(cè)量的抗噪能力。

(2)以某實(shí)際鋼結(jié)構(gòu)井字梁采光頂結(jié)構(gòu)為算例，運(yùn)用模態(tài)動(dòng)能、平均加速度幅值、Fisher信息矩陣行列式、截?cái)嗄B(tài)矩陣條件數(shù)、模態(tài)置信準(zhǔn)則等六種傳感器優(yōu)化布置方法評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，比較了本文所提兩種方法與有效獨(dú)立法、模態(tài)動(dòng)能法、有效獨(dú)立-驅(qū)動(dòng)點(diǎn)留數(shù)法［12］(EFI-DPR)、有效獨(dú)立 -驅(qū)動(dòng)殘差法［13］。數(shù)值分析表明，本文提出的改進(jìn)傳感器優(yōu)化布置方法——有效獨(dú)立-平均加速度幅值法(EI-AAA)和有效獨(dú)立-模態(tài)動(dòng)能法(EI-MKE)，充分結(jié)合有效獨(dú)立法和模態(tài)動(dòng)能法的優(yōu)點(diǎn)，使測(cè)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果即能滿足目標(biāo)模態(tài)保持最大線性獨(dú)立又能使測(cè)得的模態(tài)動(dòng)能保持最大，在六種方法中布置結(jié)果最為有效。

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