橫向增強芯材的等效彈性模量研究

李 飄，陳美霞，羅 琦

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

0 引 言

近年來，復合材料科學與工業(yè)技術發(fā)展迅速，其應用范圍日趨廣泛，在航空、航天、汽車、艦船和建筑等領域發(fā)揮的作用越來越顯著，這與復合材料具有比強度和比模量高、減振降噪性能優(yōu)良、耐腐蝕性強、耐熱性好以及具有可設計性等突出的優(yōu)點關系密切。特別是在艦船等軍事裝備的應用方面，由于其所處環(huán)境惡劣以及作戰(zhàn)攻防需求，既要求結構具有較強的抗爆、抗沖擊、抗疲勞性，還必須保證其具有優(yōu)良的隱身性。

在目前艦船結構設計日趨成熟的情況下，復合材料是改善艦船強度和隱身性等指標的重要且有效的突破點之一。在多種復合材料結構中，泡沫夾芯板的應用歷史悠久，應用范圍廣泛。與普通單一材料相比，泡沫夾芯結構不僅具有比強度高、比剛度大等特點，還具有隔音、防熱和減振等功能特性。但是，泡沫夾芯結構的層間性能和面外抗壓性能相對較弱。為了改善泡沫芯子的力學性能，提高夾芯結構的整體力學性能，可以采取在泡沫芯層中增加橫向增強構件等措施，如圓柱體支柱和長方體支柱等。

對于這種橫向增強夾芯層合板結構，分析其力學性能的第一步就是要求解出含有橫向增強構件的芯層等效彈性模量。Zhao 等［1］在Eshelby-Mori-Tanaka 理論的基礎上提出了兩相復合材料等效模量張量，并將其與Hill 與Hashin 的上下限進行了比較。劉文輝等［2］用ANSYS 有限元程序對單胞進行求解，得到了復合材料的等效彈性模量，分析了不同微觀結構對材料等效彈性模量的影響，并與實驗和其他理論結果進行比較，最后得到了不同方向的方形纖維對于材料的有效模量和有效泊松比的影響。王兵等［3］采用等效夾雜理論，并引入基于實驗數(shù)據(jù)的修正系數(shù)，結合Mori-Tanaka 方法預報了纖維柱增強泡沫芯材的法向彈性模量和橫向剪切模量，具有很好的準確性，并進一步探討了纖維柱內(nèi)纖維體積含量及纖維柱直徑的變化對芯子等效性能的影響。

雷友鋒等［4］采用細觀力學有限元法，通過對復合材料細觀結構代表性體積單元的力學響應計算，得到了宏觀等效彈性模量。在該計算方法中，給出了施加簡便的邊界載荷以及恰當?shù)倪吔缱冃渭s束條件的方法。數(shù)值計算結果與部分試驗結果具有較好的一致性，表明所提出的方法能較好地計算復合材料的宏觀有效彈性模量。劉振國等［5］對三維四向編織復合材料的參數(shù)化建模技術進行了研究，采用有限元軟件較真實地模擬了該材料的細觀結構。在此基礎上，討論了相應的邊界條件和約束條件的施加，并應用有限元方法計算了該材料的縱向和橫向彈性模量。通過與實驗結果的對比，表明計算結果的預報精度較好。

本文將采用基于Eshelby 等效夾雜原理的Mo?ri-Tanaka 方法，求解出含橫向增強構件芯材的等效彈性模量，包括拉伸模量、剪切模量和泊松比。同時，采用有限元軟件ANSYS 對芯材元胞進行數(shù)值模擬，計算出等效彈性模量，并與Mori-Tanaka方法的計算結果進行對比。在對理論求解進行驗證的前提下，將繼續(xù)研究基體和增強構件的材料屬性和尺寸參數(shù)等因素對芯層等效彈性模量的影響規(guī)律。

1 理論基礎

1.1 等效夾雜理論

Eshelby［6-7］關于無限大體內(nèi)含有橢球形夾雜彈性場問題的一個重要研究結論是：當本征應變均勻（對本征應變顆粒）或外載均勻時（對非均勻顆粒），橢球顆粒內(nèi)部的彈性場也是均勻的，可用橢圓積分的形式表示。這個解后來成為等效彈性模量計算的基礎，即在各向同性無限大彈性體中，發(fā)生了均勻的本征應變，當其為常數(shù)時，橢球體Ω 內(nèi)的應變εij是均勻的，它可表示為

式中，Sijkl為Eshelby 張量，它與基體的彈性性質(zhì)及夾雜的形狀有關，其表達式可參考文獻［8］。

1.2 Mori-Tanaka 方法

Mori 和Tanaka［9］在研究彌散硬化材料的加工硬化時，提出了求解材料內(nèi)部平均應力的背應力方法，即Mori-Tanaka 方法。

設均質(zhì)材料在其邊界上受到遠場均勻的應力σ0的作用，其本構關系為

式中，L0為基體材料的彈性常數(shù)張量。其他條件不變，當基體中存在夾雜相時，夾雜之間的相互作用會產(chǎn)生一個擾動應變。復合材料基體中的平均應力為

顯然，基體中應力的擾動部分為

由于材料彈性性質(zhì)存在差別，在外力作用下，復合材料夾雜相內(nèi)的平均應力和平均應變不等于基體內(nèi)的相應平均值，他們的差值分別為σ′ 與ε′。這個在基體平均背應力σ0+σ～ 基礎上夾雜的應力擾動問題可以用Eshelby 等效夾雜原理處理，即

式中：L1為夾雜相的彈性常數(shù)張量；ε*為夾雜的等效本征應變；σ′與ε′為由于單個夾雜的存在而相對于原本的基體所引起的擾動應力和應變，采用Eshelby 的推導結果有

式中，S 為Eshelby 四階張量。

根據(jù)文獻［8］的推導，復合材料的體積平均應力σˉ應等于其遠場作用的均勻應力σ0，且有以下關系式：

式中，C1為夾雜相的體積比例。結合式（3）和式（5），可以得到

將式（6）和式（8）代入式（5），得到：

式中，

最終得到復合材料的等效彈性模量

式中，L0，L1和L 的矩陣形式為材料的剛度矩陣C，當材料為各向同性時，剛度矩陣

其中，F(xiàn) 為材料的柔度矩陣。

當材料為各向異性時，

求出L 以后，對其求逆得到柔度矩陣，就能較方便地得到各個等效彈性模量。

2 橫向增強芯材的等效模量計算

2.1 單胞模型

圖1 所示為橫向增強夾芯層合板，上、下層為復合材料面板，中間芯材由泡沫基體和圓柱體增強構件組成。

圖1 橫向增強夾芯層合板示意圖Fig.1 Sketch of the transverse reinforced sandwich laminated plate

根據(jù)層合板中空間位置分布的對稱性和周期性，可以認為它是由一系列單胞（也稱代表性體積單元）在厚度平面上排列組成，如圖2 所示。單胞由基體和圓柱體夾雜體共同構成，前者一般采用泡沫材料，后者則可以選用樹脂柱、纖維柱或者其他材料。

圖2 橫向增強芯材的單胞示意圖Fig.2 Sketch of the unit cell of the transverse reinforced core material

單胞模型的相關參數(shù)如表1 所示。

由表中幾何尺寸可以確定式（12）中增強相的體積分數(shù)

表1 單胞模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the unit cell model

2.2 有限元模型

復合材料細觀力學有限元法是將常規(guī)有限元法應用于復合材料細觀結構的代表性體積單元上，通過有限元計算獲得細觀應力和應變場之后，通過均勻化方法計算獲得復合材料的等效彈性模量。這種等效的基礎是能量等效原理，即在均勻的位移或者力邊界條件作用下，代表性體積單元所產(chǎn)生的彈性應變能等同于等效之后的形狀和大小都與之完全相同的均質(zhì)體產(chǎn)生的應變能，然后把該均質(zhì)體的性能作為所求復合材料的等效性能［10］。

本文利用有限元軟件ANSYS 中的SOLID45實體單元建立單胞有限元模型，x 軸和y 軸為長寬方向，即2，3 方向，z 軸為夾雜圓柱體的軸向，即1方向，坐標設置如圖2 所示。單胞有限元模型如圖3 所示。

圖3 單胞有限元模型Fig.3 The FE model of unit cell

考慮到尺寸足夠大的芯材，當其受到軸向和橫向拉伸或壓縮時，可以認為單胞仍然保持自身的對稱性及空間上的周期性，即單胞的各個表面均是對稱面。以計算E11為例，單胞有限元模型的邊界條件為

施加位移載荷wz=h=δ，在有限元計算之后，相關應變?yōu)?/p>

式中，εx和εy為有限元計算所得，并且都是體積平均值。復合材料的體積平均應變和應力分別等于其邊界上的平均應變和應力，因此，最終計算都用相關表面上的平均應變和應力代替。提取z=h面上所有節(jié)點的節(jié)點力之和∑Fz，則單胞z 方向的平均應力為

根據(jù)胡克定律，可得

采用類似的邊界條件和加載方式，可以得到橫向彈性模量E22，E33以及v32。根據(jù)芯材的橫觀各向同性特性，可以計算出面內(nèi)剪切模量G23=E22/[2(1+v23)]。

2.3 算例驗證

按照上述分析，通過兩種途徑分別驗證計算方法的正確性：首先，分別采用Mori-Tanaka 方法和有限元方法對單胞的等效彈性模量計算結果進行驗證；而后，進一步建立本文所述的橫向增強夾芯板的實際平板結構和等效夾芯板結構，分別計算彎曲性能并進行對比分析。

2.3.1 單胞算例驗證

分別采用Mori-Tanaka 理論方法和有限元方法對單胞的等效彈性模量進行計算，計算結果如表2 所示。

表2 Mori-Tanaka 方法和有限元方法計算結果對比Tab.2 Comparison between results of Mori-Tanaka method and the FEM simulation

由表2 中的數(shù)據(jù)可看出，采用Mori-Tanaka 方法計算出來的單胞等效彈性模量和泊松比相比吻合較好，最大誤差僅-5.45%。造成二者誤差的主要原因是：一方面，有限元計算的準確度與網(wǎng)格密度、邊界條件的設置是否合適有關；另一方面，Mo?ri-Tanaka 方法采用的Eshelby 張量以及許多假設是基于無限大基體的單個夾雜而建立，即夾雜體積分數(shù)十分小，因此與單胞模型有差別。從相互驗證的角度來看，無論是Mori-Tanaka 方法還是有限元方法，在計算這類帶有圓柱體橫向增強芯材的等效彈性模量上，準確度均較高。

Mori-Tanaka 方法屬理論分析，方法簡單易用，但其應用具有一定的限制性。例如，其只能對橫向增強構件是球體、橢球體和圓柱體等這類復合芯材進行研究，在增強構件的體積分數(shù)過大時，會降低其準確性。而有限元法的適用范圍則較廣泛，通過建立結構細觀模型，其能模擬帶有各種復雜形狀以及分布形式各異的增強構件復合芯材的應力和應變場，從而計算出結構的等效彈性模量。但這種廣泛適用性的另一面又反映了其缺點，即對不同的復合結構，需要有針對性的建模，包括邊界條件和載荷的設計等，沒有理論方法簡便。

2.3.2 夾芯板算例驗證

采用ANSYS 有限元軟件分析橫向增強夾芯板實際結構和Mori-Tanaka 等效夾芯板結構的彎曲力學性能。夾芯板結構尺寸為0.9 m×0.6 m，面板厚0.005 m，芯層厚0.04 m，材料屬性為表2 中Mori-Tanaka 方法的計算結果（表中沒有給出的G12=G13= 29.84 MPa）。面板和芯層均選用SOL?ID45 單元，最小的網(wǎng)格尺度和最大的網(wǎng)格尺度分別約為1.25 mm 和5 mm。實際結構和等效結構有限元模型如4 和圖5 所示。

對上述結構進行四邊簡支約束，底面加載1.0×105Pa 的均布壓力，進行靜力分析以后，下面將給出部分結果云圖。二者的橫向位移和y 向正應力云圖如圖6 和圖7 所示。

圖4 橫向增強夾芯板有限元模型Fig.4 The FE model of transverse reinforced sandwich plate

圖5 等效夾芯板有限元模型Fig.5 The FE model of equivalent sandwich plate

圖6 兩種模型的橫向位移Fig.6 Transverse displacement of the two models

圖7 兩種模型的y 向正應力Fig.7 Normal stress of the two models in direction y

由云圖來看，橫向增強夾芯板和等效夾芯板的橫向位移云圖基本一致，實際模型的最大位移為2.281 mm，等效模型的最大位移為2.43 mm，誤差為6.53%。y 向正應力云圖的分布也基本一致，橫向增強夾芯板的最大y 向正應力為58 MPa，等效夾芯板的則為57.4 MPa，誤差為1.03%，上述誤差均在可接受范圍內(nèi)。限于篇幅未給出的其他結果基本上也是這樣的效果。另一方面，從應力云圖來看，由橫向增強夾芯板實際模型的結果可以反映出增強結構與基體之間的應力集中情況，而等效夾芯板則由于芯層等效處理變成了均質(zhì)芯層，因而丟失了應力集中等細節(jié)信息。但從整體結果對比來看，本文的Mori-Tanaka 方法具有很大的適用性和準確性，等效模型的計算結果依然能夠反映出結構的總體力學性能。

3 相關參數(shù)對復合芯材等效彈性模量的影響規(guī)律

本節(jié)將采用Mori-Tanaka 方法研究基體材料、橫向增強支柱材料、單胞尺寸和橫向增強支柱直徑對整個單胞的等效彈性模量的影響規(guī)律。計算的基礎模型仍然是前節(jié)給出的長寬相等的單胞模型。相關變化參數(shù)如表3 所示。

表3 參數(shù)變化范圍Tab.3 Variation range of the parameters

Mori-Tanaka 方法的計算結果如圖8～圖11所示。

圖8 基體楊氏模量對等效彈性模量的影響Fig.8 Effects of Young modulus of the matrix on effective elastic modulus

圖9 增強構件楊氏模量對等效彈性模量的影響Fig.9 Effects of Young modulus of the reinforced components on effective elastic modulus

圖10 單胞尺寸對等效彈性模量的影響Fig.10 Effects of the size of unit cell on effective elastic modulus

圖11 橫向增強圓柱直徑對等效彈性模量的影響Fig.11 Effects of the diameter of transverse reinforced cylinder on effective elastic modulus

由圖8 可看出，隨著基體材料楊氏模量的逐漸增大，復合芯材橫向（E1）和面內(nèi)等效楊氏模量（E2）也相應增大，類似于線性增長；面內(nèi)等效泊松比v32逐漸減小，說明基體楊氏模量的增大抑制了復合芯材的面內(nèi)泊松效應。而橫向等效泊松比v21則基本不受基體材料楊氏模量的影響，幾乎保持不變。

由圖9 可見，增大橫向增強構件的楊氏模量，會使復合芯材的橫向等效楊氏模量E1顯著增加，但面內(nèi)等效楊氏模量E2的增加量十分微小。同時，面內(nèi)等效泊松比v32也相應增大，但隨著橫向增強構件楊氏模量的繼續(xù)增大，其增量逐漸變緩，而橫向等效泊松比v21則幾乎不受影響。

由圖10 的曲線可見，隨著單胞尺寸的增大，復合芯材的橫向等效楊氏模量E1顯著降低，但下降速度越來越慢，而面內(nèi)等效楊氏模量E2則減小得十分緩慢。同時，面內(nèi)等效泊松比v32也明顯減小，而橫向等效泊松比v21的變化趨勢則相反，呈緩慢增大趨勢。

圖11 說明隨著橫向增強圓柱直徑的增大，復合芯材的橫向等效楊氏模量E1明顯增大，而面內(nèi)等效楊氏模量E2的增加則相對較慢。同時，面內(nèi)等效泊松比v32是先迅速增大然后又出現(xiàn)緩慢下降的趨勢，而橫向等效泊松比v21則是逐漸減小。

單胞尺寸的增大和圓柱直徑的減小，導致的一致結果是增強構件密度變小，從而在宏觀上使復合芯材的等效模量減小。

綜合分析發(fā)現(xiàn)，橫向等效楊氏模量E1和面內(nèi)等效泊松比v32受表3 中3 個參數(shù)（基體楊氏模量除外）的影響，其分別比面內(nèi)等效楊氏模量E2和橫向等效泊松比v21要大一些。這是由于本文中的橫向增強構件在厚度方向的彈性性能是由增強構件來保證，整個單胞體現(xiàn)出一種厚度方向的模量要比水平方向顯著的結構特點，因此，橫向等效模量E1對相關參數(shù)變化更敏感。

4 結 論

本文將Mori-Tanaka 方法與有限元方法進行了互相驗證，并采用Mori-Tanaka 方法研究了基體和增強構件的材料屬性與尺寸參數(shù)對復合芯材等效彈性模量的影響規(guī)律，得出以下結論：

1）驗證了Mori-Tanaka 理論方法的準確性，可以用于預測文中橫向增強芯材的等效彈性模量，并且，其在實際橫向增強層合板結構的等效模型力學分析中，準確性較高。

2）隨著基體材料楊氏模量的增大，復合芯材的等效E1和E2相應增大；等效v32逐漸減小，等效v21則基本不受基體材料楊氏模量的影響。

3）增大橫向增強構件的楊氏模量，等效E1會顯著增加，E2的增加量則十分微??；等效v32會相應增大但增量逐漸變緩，而等效v21則幾乎不受影響。

4）減小增強構件密度在宏觀上會使復合芯材的等效樣式模量減小，等效v32明顯減小，v21則呈緩慢增大趨勢。

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