移除單元法中單元失效應(yīng)變的確定

張美蘭，陳 震，趙 晟

上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240

0 引 言

近年來，數(shù)值計算方法被廣泛應(yīng)用于船舶碰撞、擱淺、穿甲和爆炸損傷等工程結(jié)構(gòu)分析中，較好地模擬了船體結(jié)構(gòu)在復(fù)雜外力條件下的破壞問題［1-4］。其中，基于失效應(yīng)變的移除單元法就是模擬大型結(jié)構(gòu)破壞過程的重要方法之一，該方法通過定義單元失效應(yīng)變來描述局部結(jié)構(gòu)因變形過大而逐漸失去承載能力并最終導(dǎo)致破壞的行為。利用移除單元法，可以準(zhǔn)確模擬船體結(jié)構(gòu)的失效路徑和模式、觀察結(jié)構(gòu)的變形破壞特征和獲得結(jié)構(gòu)的極限承載能力，為優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計提供可靠依據(jù)。

移除單元法的核心是單元失效應(yīng)變的確定，合理地選取材料失效應(yīng)變是獲得可靠結(jié)果的基礎(chǔ)。本文將以裂紋板拉伸斷裂試驗為基礎(chǔ)，研究單元失效應(yīng)變的選取方法，分析網(wǎng)格尺寸對失效應(yīng)變的影響，并討論誤差范圍，以為該方法的進一步應(yīng)用提供依據(jù)。

1 問題的提出

當(dāng)結(jié)構(gòu)承受過大載荷時，材料會產(chǎn)生塑性應(yīng)變，同時微觀組織發(fā)生分離、開裂，并最終發(fā)展成宏觀裂紋。該過程經(jīng)歷了從微觀到宏觀的發(fā)展，因此，從材料的微觀特性出發(fā)，同時考慮宏觀的力學(xué)行為，建立材料破壞斷裂準(zhǔn)則，是研究結(jié)構(gòu)破壞問題的理想做法。然而，盡管國內(nèi)外學(xué)者已對此進行過廣泛而深入的研究，但目前還是難以建立統(tǒng)一的破壞準(zhǔn)則以應(yīng)用于大型結(jié)構(gòu)物的分析中［5-7］。在開展船舶與海洋結(jié)構(gòu)物的破損強度分析時，通常是采用簡化的移除單元法模擬局部結(jié)構(gòu)的破壞失效行為，從宏觀上關(guān)注裂紋的力學(xué)行為與結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)的對應(yīng)，斷裂準(zhǔn)則不直接用于描述材料的微觀力學(xué)。當(dāng)定義平均等效塑性應(yīng)變達到某臨界值時，該單元會因失去承載能力而破壞，該臨界值稱為單元失效應(yīng)變。

單元失效應(yīng)變與材料拉伸斷裂應(yīng)變不同，前者是為了模擬結(jié)構(gòu)破壞失效而引入的單元失效判據(jù)，后者是材料自身的力學(xué)特性參量。失效單元的幾何尺寸通常比拉伸斷裂處的尺寸大很多。單元失效應(yīng)變不能簡單地等于材料拉伸斷裂應(yīng)變值；等效塑性應(yīng)變反映的是單元面積范圍內(nèi)的平均應(yīng)變水平，單元尺寸不同，失效應(yīng)變也有所差異。Simonsen 等［8］通過分析比較板拉伸試驗與數(shù)值計算結(jié)果，指出失效應(yīng)變與單元尺寸之間關(guān)系密切，在應(yīng)用失效應(yīng)變作為單元失效準(zhǔn)則時應(yīng)考慮網(wǎng)格大小。Lehmann 等［9］在分析試驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，認(rèn)為塑性變形發(fā)生在一個有限的局部帶狀寬度內(nèi)，當(dāng)帶狀區(qū)域?qū)挾冗_到某延展率時，板會發(fā)生斷裂。由于單元尺寸大于局部帶狀寬度，所以基于單元平均失效應(yīng)變的斷裂準(zhǔn)則依賴于網(wǎng)格尺寸大小。并且，通過測量裂紋周圍區(qū)域的厚度，可以得到失效應(yīng)變與單元尺寸之間的關(guān)系。

單元失效應(yīng)變的合理選取是采用移除單元法進行船體結(jié)構(gòu)破壞損傷數(shù)值仿真的基礎(chǔ)。本文將通過開展系列裂紋板拉伸斷裂試驗，獲得不同裂紋尺寸下表征裂紋板宏觀力學(xué)特性的位移載荷曲線。同時，采用有限元軟件MSC.Dytran 進行數(shù)值仿真計算，分別以載荷極值、最大伸長量和能量為依據(jù)得到與網(wǎng)格尺寸相關(guān)的單元失效應(yīng)變。

2 裂紋板拉伸斷裂試驗

為了獲得含破損結(jié)構(gòu)的板的宏觀力學(xué)特性，本文開展了裂紋板拉伸斷裂試驗，得到了裂紋板的整體位移載荷曲線、載荷極值和最大伸長量等參數(shù)。試驗在某大學(xué)的工程力學(xué)實驗中心進行，共包含3 種裂紋長度的裂紋板，且均為中心貫穿型裂紋，尺寸如圖1 所示。試件材料為Q235 普通冷軋鋼，在拉伸試驗機上測得材料的力學(xué)參數(shù)為：彈性模量E = 157.6 GPa，極限拉伸強度σT= 299.5 MPa，屈服應(yīng)力σy= 172 MPa，斷裂工程應(yīng)變εf=0.33。圖2 所示為裂紋板試件的應(yīng)力—應(yīng)變曲線。

圖1 裂紋板試件尺寸圖Fig.1 The dimension of cracked plate specimen

圖2 裂紋板試件工程應(yīng)力—應(yīng)變曲線Fig.2 Normal stress-strain curve of the plate material

試驗加載裝置為MTS-880 材料疲勞試驗機，采用位移控制方式對試件的一端施加均布位移，同步輸出位移載荷數(shù)值。為保證試驗處于準(zhǔn)靜態(tài)條件下，位移加載速率恒定為0.2 mm/min。在試驗過程中，隨著夾持端位移的增大，裂紋板沿對稱中心對稱變形，隨后，裂紋尖端出現(xiàn)明顯的撕裂狀，并沿水平方向穩(wěn)定擴展，直至斷裂。圖3 所示為SPVT_040C 裂紋板試驗時裂紋開始擴展和即將斷裂的情況。

圖3 SPVT_040C 板裂紋擴展及斷裂圖Fig.3 The pictures of crack propagation and fracture of the SPVT_040C plate

表1 所示為裂紋板試件尺寸及由拉伸試驗所得的載荷極值和最大伸長量。圖4 所示為裂紋板的位移載荷曲線，由圖可看出，兩次由SPVT_030C裂紋板拉伸試驗所得的位移載荷曲線形式、載荷極值和最大伸長量數(shù)據(jù)基本一致。

表1 裂紋板試件尺寸及試驗結(jié)果Tab.1 Dimension and experimental results of cracked plates

圖4 裂紋板試驗位移載荷曲線Fig.4 Experimental displacement-load curves of cracked plates

3 數(shù)值模擬

本文采用MSC.Dytran 模擬裂紋板的拉伸斷裂過程，模型采用四邊形板單元建立，尺寸與試驗試件相同，在模型的中心位置，刪除了與裂紋長度相同的一組單元以模擬初始裂紋。網(wǎng)格尺度用裂紋尖端單元邊長s 與板厚t 的比值表示，取s/t =0.625～10。在模型一端施加恒定速度的位移，同時輸出另一端的約束反力。圖5 所示為網(wǎng)格尺度s/t =1.25 時的SPVT_040C 裂紋板計算模型及其裂紋開始擴展和即將斷裂的位移云圖。

圖5 SPVT_040C 裂紋板模型和位移云圖（s/t =1.25）Fig.5 SPVT_040C model and displacement contours（s/t =1.25）

計算模型材料參數(shù)由裂紋板試件試驗結(jié)果得到，采用硬化指數(shù)形式表示，即其中，σT為真實應(yīng)力，εT為真實應(yīng)變，C = 565 MPa，n=0.28。圖6 所示為擬合所得模型材料的真實應(yīng)力—應(yīng)變曲線。

圖6 模型材料的真實應(yīng)力—應(yīng)變曲線Fig.6 True stress-strain curve of material for simulation

材料失效模型采用最大塑性應(yīng)變失效，單元等效塑性應(yīng)變失效準(zhǔn)則采用V-M 失效準(zhǔn)則

式中：ε1，ε2，ε3分別為3 向主應(yīng)變；εep為單元等效塑性應(yīng)變；εf為單元失效應(yīng)變。

4 單元失效應(yīng)變的確定

針對各網(wǎng)格尺寸計算模型，分別定義不同的單元失效應(yīng)變，計算得出該失效應(yīng)變下的位移載荷曲線。圖7 所示為裂紋長度為20 mm，網(wǎng)格尺度s/t = 1.25 下各失效應(yīng)變的計算結(jié)果。由圖可見，試驗與有限元計算結(jié)果均包含有載荷快速增加段、緩慢上升至極值段以及卸載段。單元失效應(yīng)變不同，卸載段出現(xiàn)的位置也明顯不同。單元失效應(yīng)變越小，初始裂紋尖端處的單元便會越早達到失效應(yīng)變值而失去承載能力，裂紋發(fā)生擴展。模型若整體較早出現(xiàn)了卸載，載荷極值和裂紋板完全斷裂時的伸長量便也會較小。

圖7 不同的εf 計算的位移載荷曲線（s/t =1.25）Fig.7 Simulated displacement-load curves by different failure strains（s/t =1.25）

根據(jù)裂紋板拉伸斷裂位移載荷曲線的這些特點，將以裂紋長度20 mm 為例，分別以載荷極值、最大伸長量和能量為準(zhǔn)則研究單元失效應(yīng)變的選取問題。

4.1 載荷極值準(zhǔn)則

以裂紋板拉伸斷裂過程的載荷極值為依據(jù)，結(jié)合有限元計算和試驗值確定單元失效應(yīng)變值。圖8 所示為各網(wǎng)格尺寸下由不同失效應(yīng)變計算所得的載荷極值繪制的載荷—應(yīng)變曲線。分別用試驗載荷極值與該曲線相交，可得出對應(yīng)網(wǎng)格尺寸下以載荷極值為準(zhǔn)則的單元失效應(yīng)變（εf_L）。

圖8 載荷極值準(zhǔn)則確定εf_LFig.8 Failure strain on maximum load criterion

圖9 所示為不同網(wǎng)格尺寸下，依據(jù)載荷極值準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算所得的位移載荷曲線。由圖可見，盡管計算所得的載荷極值大小與試驗接近，但載荷極值出現(xiàn)的位置和裂紋板斷裂時的最大伸長量均小于試驗值，位移載荷曲線整體上與試驗偏差較大，并且偏差是隨網(wǎng)格尺寸的增加而增大。例如，當(dāng)網(wǎng)格尺度s/t = 0.625 時，計算所得的最大伸長量約為試驗值的70%，而當(dāng)s/t = 5 時則約為50%。用以載荷極值為準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算裂紋板的拉伸斷裂難以全面反映其力學(xué)特性。

圖9 εf_L 計算的位移載荷曲線Fig.9 Simulated displacement-load curves by εf_L

4.2 最大伸長量準(zhǔn)則

以裂紋板斷裂時的最大伸長量為依據(jù)，用與載荷極值準(zhǔn)則失效應(yīng)變相同的方法確定不同網(wǎng)格尺寸下的單元失效應(yīng)變（εf_D），如圖10 所示。

圖11 所示為不同網(wǎng)格尺寸下，依據(jù)最大伸長量準(zhǔn)則確定的失效應(yīng)變計算所得的位移載荷曲線。由圖可見，在相同網(wǎng)格尺寸下，以最大伸長量為準(zhǔn)則的單元失效應(yīng)變均大于以載荷極值為準(zhǔn)則的失效應(yīng)變，載荷極值的出現(xiàn)位置與試驗值較接近，其大小略高于試驗結(jié)果。與載荷極值準(zhǔn)則失效應(yīng)變相比，根據(jù)最大伸長量準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算所得的載荷極值的誤差較小，當(dāng)網(wǎng)格尺度s/t =0.625 時，載荷極值誤差約為6.31%；當(dāng)s/t = 5 時，誤差約為16.67%。

圖10 最大伸長量準(zhǔn)則確定εf_DFig.10 Failure strain on maximum displacement criterion

圖11 εf_D 計算的位移載荷曲線Fig.11 Simulated displacement-load curves by εf_D

載荷極值的誤差源于移除單元法無法細(xì)致描述裂紋尖端復(fù)雜的彈塑性應(yīng)力分布情況，而只能用單元平均的應(yīng)力—應(yīng)變反映該單元整體尺寸范圍內(nèi)的應(yīng)力—應(yīng)變狀態(tài)。并且，由材料本構(gòu)關(guān)系曲線可知，材料進入塑性段后，隨著塑性應(yīng)變的增加，應(yīng)力變化極度平緩。單元失效應(yīng)變的改變對結(jié)構(gòu)承載能力的影響不大，而對伸長量的影響則更為明顯。

4.3 能量準(zhǔn)則

在裂紋板拉伸斷裂過程中，外力持續(xù)做功，所做功的大小即為位移載荷曲線下所圍的面積，是裂紋板整體抵抗外力能力的表征，如圖12 所示。

式中：P 為裂紋板拉伸載荷；δ 為裂紋板拉伸位移；E 為外力功。

圖12 外力做功圖Fig.12 Work done by external force

以外力功為依據(jù)，結(jié)合有限元計算和試驗值確定單元失效應(yīng)變。根據(jù)式（2），將各網(wǎng)格尺寸下不同失效應(yīng)變計算所得的位移載荷曲線進行積分，得出外力所作的功繪制的能量—失效應(yīng)變曲線。用試驗外力功（P020C= 670.335 kN·mm）與該曲線相交，得出對應(yīng)網(wǎng)格尺寸下能量準(zhǔn)則的單元失效應(yīng)變（εf_E），如圖13 所示。

圖13 能量準(zhǔn)則確定εf_EFig.13 Failure strain on maximum energy criterion

圖14 所示為不同網(wǎng)格尺寸下，依據(jù)能量準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算所得的位移載荷曲線。由圖可見，載荷極值和最大伸長量與試驗值均有一定的偏差，載荷極值略高于試驗值，最大伸長量略小于試驗值。當(dāng)網(wǎng)格尺度s/t = 0.625 時，載荷極值誤差約為6.31%，最大伸長量約為7.96%；當(dāng)s/t = 5時，載荷極值誤差約為14.75%，最大伸長量約為18.02%。該準(zhǔn)則綜合考慮了裂紋板拉伸過程中的載荷與位移因素，反映了裂紋板整體承受外載荷的能力，位移載荷曲線能較好地反映裂紋板的力學(xué)特性。

4.4 不同準(zhǔn)則失效應(yīng)變誤差分析

針對裂紋長度分別為30 mm 和40 mm 的裂紋板拉伸試驗，分別開展以上工作，得出了不同裂紋長度下的單元失效應(yīng)變。圖15 所示為以最大伸長量為準(zhǔn)則的3 種裂紋長度下的單元失效應(yīng)變及其平均值曲線。由圖可見，在不同裂紋長度情況下，各網(wǎng)格尺寸下的單元失效應(yīng)變很接近，取其平均值可以作為該網(wǎng)格尺寸的失效應(yīng)變。圖16 所示為分別以載荷極值、最大伸長量和能量準(zhǔn)則確定的3 種裂紋長度失效應(yīng)變平均值與網(wǎng)格尺寸的關(guān)系曲線。

圖14 εf_E 計算得位移載荷曲線Fig.14 Simulated displacement-load curves by εf_E

圖15 最大伸長量準(zhǔn)則的失效應(yīng)變曲線Fig.15 Failure strain curves on maximum displacement criterion

以裂紋長度20 mm 為例，依據(jù)3 種準(zhǔn)則的單元失效應(yīng)變計算得出了載荷極值、最大伸長量和能量，并分別將計算結(jié)果與試驗值進行了比較，誤差如表2 所示。

圖16 3 種準(zhǔn)則的失效應(yīng)變曲線Fig.16 Failure strain curves of three criterions

式中：R計算為有限元計算結(jié)果；R試驗為試驗值；ω為誤差，%。

由表可見，計算結(jié)果與試驗值的誤差是隨網(wǎng)格尺度的增加而增大。由載荷極值準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算所得的最大伸長量和能量均小于試驗值，且誤差較大。以最大伸長量和能量為準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算所得的結(jié)果與試驗值較接近，載荷極值均略高于試驗值。

5 算例驗證

本文分別用載荷極值、最大伸長量和能量準(zhǔn)則對文獻［10］中的裂紋板拉伸斷裂試驗進行了數(shù)值計算，以驗證單元失效應(yīng)變選取的合理性。裂紋板的長、寬為500 mm，厚度1.6 mm，初始裂紋長度分別為60，30 和15 mm。材料參數(shù)為：彈性模量E = 198.3 GPa，屈服應(yīng)力σy= 296.1 MPa，極限拉伸強度σT= 362.1 MPa，工程斷裂應(yīng)變εf= 0.369。根據(jù)以上參數(shù)，建立有限元計算模型。因文獻［10］中試驗材料的斷裂應(yīng)變與本文的試樣材料很接近，故以圖16 的平均網(wǎng)格尺度—失效應(yīng)變曲線得出的不同網(wǎng)格尺度所對應(yīng)的失效應(yīng)變作為數(shù)值計算中的單元失效應(yīng)變。

表2 SPVT_020C 板計算結(jié)果誤差Tab.2 The deviation of simulated results（SPVT_020C）

圖17 所 示為NP16-60，NP16-30 和NP16-15裂紋板計算位移載荷曲線與試驗結(jié)果的比較。由圖可見，計算載荷極值均略高于試驗結(jié)果，且用載荷極值準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算的位移載荷曲線與試驗偏差較大，當(dāng)NP16-30 板的網(wǎng)格尺度s/t = 6.25時，最大伸長量偏差達44.06%。能量和最大伸長量準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算結(jié)果與試驗值較接近，例如，NP16-15 板的網(wǎng)格尺度s/t = 3.125 時，計算載荷極值以最大伸長量為準(zhǔn)則所得的誤差約為6.89%，以能量為準(zhǔn)則的誤差為6.41%。

圖17 3 種裂紋板計算位移載荷曲線Fig.17 Simulated displacement-load curves of three kinds of cracked plates

6 結(jié) 論

本文通過移除單元法數(shù)值模擬了裂紋板的拉伸斷裂過程，確定了3 種準(zhǔn)則的單元失效應(yīng)變，并分析討論了數(shù)值計算結(jié)果，結(jié)論如下：

1）采用能量準(zhǔn)則確定單元失效應(yīng)變時，綜合考慮了裂紋板拉伸過程中的載荷和位移因素，且計算所得的載荷極值和最大伸長量與試驗值間的偏差均較小，能較好地反映裂紋板的力學(xué)特性。

2）依據(jù)最大伸長量準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算所得的位移載荷曲線與試驗值吻合較好，載荷極值略高于試驗結(jié)果，適用于優(yōu)先考慮裂紋板伸長位移的數(shù)值計算。而以載荷極值為準(zhǔn)則的失效應(yīng)變計算結(jié)果則偏差較大，難以全面反映裂紋板拉伸斷裂的力學(xué)特性。

3）移除單元法無法細(xì)致地描述裂紋尖端復(fù)雜的彈塑性應(yīng)力分布情況，導(dǎo)致計算結(jié)果與試驗值有一定的誤差，但對模擬大型結(jié)構(gòu)物的破壞過程仍具適用性。

［1］姚熊亮，楊樹濤，張阿漫. 爆炸載荷作用下艦船板架的變形與斷裂研究綜述［J］. 中國艦船研究，2009，4（1）：1-7，12.YAO Xiongliang，YANG Shutao，ZHANG Aman. Re?view for deformation and fracture behavior of ship stiff?ened plate subjected to blast loading［J］.Chinese Jour?nal of Ship Research，2009，4（1）：1-7，12.

［2］王善，蓋京波，楊世全. 艦船結(jié)構(gòu)在爆炸載荷作用下的破壞研究綜述［J］. 艦船科學(xué)技術(shù)，2006，28（3）：8-11.WANG Shan，GAI Jingbo，YANG Shiquan. Study sum?mary of ship structure under blast load［J］. Ship Sci?ence and Technology，2006，28（3）：8-11.

［3］祈恩榮，崔維成.船舶碰撞和擱淺研究綜述［J］.船舶力學(xué)，2001，5（4）：67-80.QI Enrong，CUI Weicheng. A state-of-the-art review on ship collision and grounding［J］.Journal of Ship Me?chanics，2001，5（4）：67-80.

［4］梅志遠(yuǎn)，朱錫，劉潤泉. 船用加筋板架爆炸載荷下動態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析［J］. 爆炸與沖擊，2004，24（1）：80-84.MEI Zhiyuan，ZHU Xi，LIU Runquan. Dynamic re?sponse researches of ship’s stiffened plate structure un?der explosive load［J］. Explosion and Shock Waves，2004，24（1）：80-84.

［5］趙效東，張樂山.海洋工程結(jié)構(gòu)物碰撞失效準(zhǔn)則探討［J］.船海工程，2012，41（2）：144-148.ZHAO Xiaodong，ZHANG Leshan. Research of failure criterion of offshore structural collision［J］. Ship and Ocean Engineering，2012，41（2）：144-148.

［6］陳永念，譚家華.數(shù)值仿真中單元密度對材料失效應(yīng)變的影響［J］.船海工程，2007，36（6）：1-4.CHEN Yongnian，TAN Jiahua. Mesh sensitivity of ele?ment failure strain in numerical simulation［J］. Ship and Ocean Engineering，2007，36（6）：1-4.

［7］SIMONSEN B C，T?RNQVIST R. Experimental and numerical modelling of ductile crack propagation in large-scale shell structures［J］. Marine Structures，2004，17（1）：1-27.

［8］SIMONSEN B C，LAURIDSEN L P. Energy absorption and ductile failure in metal sheets under lateral inden?tation by a sphere［J］. International Journal of Impact Engineering，2000，24（10）：1017-1039.

［9］LEHMANN E，PESCHMANN J. Energy absorption by the steel structure of ships in the event of collisions［J］.Marine Structures，2002，15（4/5）：429-441.

［10］PAIK J K，THAYAMBALLI A K. Ultimate strength of ageing ships［J］.Journal of Engineering for the Mar?itime Environment，2002，216（1）：57-77.