善構(gòu)造巧解題——例談構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 李紅春

善構(gòu)造巧解題
——例談構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 李紅春

構(gòu)造法是一種打破常規(guī)數(shù)學(xué)解題思路，通過觀察、聯(lián)想、構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對象，使復(fù)雜的問題簡單化的一種解題方法.掌握構(gòu)造法對增強學(xué)生思維的靈活性、開拓性和和創(chuàng)新性都有著十分重要的意義.本文擷取數(shù)道運用構(gòu)造法解題的典型例子并予以簡要分析，旨在展現(xiàn)構(gòu)造法的廣泛用，希望能對廣大讀者提升解題能力有所幫助．

一、構(gòu)造函數(shù)

例1 設(shè)a、b、c為直角三角形的三條邊，且c為斜邊，求證當(dāng)m≥2時，cm≥am+bm.

評注：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，求解某些數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的條件，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，再借助函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、有界性）來解決問題是一種極為重要的方法，值得細心體會并熟練掌握．

二、構(gòu)造方程

評注：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，利用方程根的定義、判別式、韋達定理等相關(guān)知識構(gòu)造出方程，然后使用方程的知識使問題解決，是一種頗為常見的方法，值得關(guān)注．

三、構(gòu)造恒等式

評注：根據(jù)待證式的特征，聯(lián)想有關(guān)的恒等式，再借助恒等式的有關(guān)特征來解題，問題解決起來顯得熟悉、簡單．

四、構(gòu)造三角函數(shù)

評注：本題若直接從代數(shù)的角度求解，通常采用導(dǎo)數(shù)法或換元法求解，計算量大，極易出錯，通過式子的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到三角函數(shù)的萬能公式，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，簡捷、優(yōu)美．根據(jù)條件式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想與題設(shè)相關(guān)的三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)公式或性質(zhì)來解題是一種值得借鑒的解題方法．

五、構(gòu)造不等式

評注：例5、例6分別創(chuàng)造性地使用排序不等式與柯西不等式來解題，解法獨具匠心，讓人拍案叫絕！均值不等式、柯西不等式、排序不等式等都是高中數(shù)學(xué)非常重要的不等式，解答某些數(shù)學(xué)問題時，通過聯(lián)想，對式子進行“拆”、“湊”、“配”等方式進行變形，構(gòu)造使用這些典型不等式的條件，借助這些經(jīng)典不等式來解題，往往會收到意想不到的效果．

六、構(gòu)造向量

例7 若x2+2xy-y2＝7（x，y∈R），求x2+y2的最小值.

七、構(gòu)造方差

評注：根據(jù)題目的特點聯(lián)想到統(tǒng)計知識中的期望和方差， 再根據(jù)方差的非負性及公式Dξ＝Eξ2-（Eξ）2構(gòu)造不等關(guān)系解題，求解有如神來之筆，讓人回味無窮.

八、構(gòu)造數(shù)列

點評：例9、例10根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，分別聯(lián)想到“等差中項”和“等比數(shù)列前n項和”，通過構(gòu)造等差數(shù)列和等比數(shù)列來解題，解答過程思路清晰，簡捷明快．

九、構(gòu)造幾何模型（圖形）

評注：“數(shù)形結(jié)合”的思想是高中數(shù)學(xué)中極為重要的思想方法，其中“以形助數(shù)”更是每年高考的熱點，當(dāng)題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義時，構(gòu)造幾何模型或聯(lián)想某種幾何圖形來分析問題往往使問題的解決顯得簡捷、直觀．

十、構(gòu)造對偶式

評注：通過給待證式左邊的式子匹配兩個與之結(jié)構(gòu)對偶的式子，一起參與運算，使問題加以解決，給人耳目一新的感覺．

從以上例子不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中有著非常廣泛的應(yīng)用，用構(gòu)造法解題表現(xiàn)出了思維的不規(guī)則性與創(chuàng)造性，它以解題者所掌握的知識為背景，以已具備的能力為基礎(chǔ)，以觀察為先導(dǎo)，大家只有在平常的解題中細心體會，勤于想象，把握知識間的縱橫聯(lián)系，才能熟練掌握.

1.蔡勇全.從結(jié)構(gòu)聯(lián)想模型巧證不等式的著眼點［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州），2012（1）.

2.李紅春.構(gòu)造法巧解兩道三角函數(shù)題［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2009（4）.