以實(shí)際問題為背景的線性規(guī)劃問題的求解

☉江蘇省靖江市第一高級中學(xué) 侯進(jìn)杰

以實(shí)際問題為背景的線性規(guī)劃問題的求解

☉江蘇省靖江市第一高級中學(xué) 侯進(jìn)杰

近幾年的新課程試卷中經(jīng)常出現(xiàn)運(yùn)用線性規(guī)劃的思想處理實(shí)際問題的考查，通過對全國各地的高考模擬試題和真題研究分析發(fā)現(xiàn)，此類問題主要與不等式相結(jié)合，側(cè)重于基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法、運(yùn)算能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決實(shí)際問題能力的考查；本文筆者通過對兩道典型例題的解析，探析如何將復(fù)雜的、繁瑣的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成簡單線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解.

高中數(shù)學(xué)中利用線性規(guī)劃處理實(shí)際問題時(shí)，通常涉及如下兩種類型：

一、給定任務(wù)下，安排最佳方案達(dá)到消耗資源最小

例題1 兒童的午餐和晚餐關(guān)系到兒童身心健康問題，某小學(xué)餐廳中一個(gè)單位的午餐含有碳水化合物、蛋白質(zhì)和維生素分別為12個(gè)單位、6個(gè)單位和6個(gè)單位；晚餐中含有碳水化合物、蛋白質(zhì)和維生素C分別為8個(gè)單位、6個(gè)單位和10個(gè)單位；午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白質(zhì)和維生素C分別為64個(gè)單位、42個(gè)單位和54個(gè)單位才能滿足兒童正常成長的營養(yǎng)需要.一個(gè)單位午餐為2.5元，一單位晚餐為4元；求：兒童預(yù)定多少單位午餐和晚餐在所用費(fèi)最節(jié)省的情況下滿足營養(yǎng)要求.

思維引導(dǎo)：本題中所涉及的實(shí)際問題的處理，關(guān)鍵是通過審題弄清題目中涉及的各量之間的聯(lián)系和區(qū)別，準(zhǔn)確找出線性約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想處理這類問題.

解析過程：設(shè)預(yù)定x單位的午餐，y個(gè)單位的晚餐，總費(fèi)用z元，則z=2.5x+4y.

精要點(diǎn)評：解線性規(guī)劃實(shí)際問題時(shí)，首先設(shè)出變量，找出變量間的關(guān)系即約束條件，然后確定目標(biāo)函數(shù)并畫出可行域最終求得最優(yōu)解并作答；線性規(guī)劃思想處理實(shí)際問題主要涉及類型：①任務(wù)安排

問題；②配料問題；③落料問題；④布局問題；⑤庫存問題.

二、資源總量一定的情況下，精打細(xì)算獲取最優(yōu)方案實(shí)現(xiàn)最大效益

例題2 甲、乙兩個(gè)電視臺為某公司做總時(shí)間和費(fèi)用不超過300分鐘和9萬元的廣告宣傳，甲電視臺收費(fèi)500元/分鐘，乙電視臺收費(fèi)200元/分鐘；公司因甲電視臺的廣告宣傳帶來收益0.3萬元/分鐘，乙電視臺的廣告宣傳帶來收益0.2萬元/分鐘；若要使該公司的收益達(dá)到最大，甲乙電視臺的為公司的廣告宣傳將如何分配？公司獲得最大收益的具體數(shù)值是多少？

思維引導(dǎo)：本題解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出可行域的基礎(chǔ)上列出目標(biāo)函數(shù)，在可行域內(nèi)解出目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解；這正體現(xiàn)了將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.

解析過程：假設(shè)x分鐘，y分鐘分別為甲、乙電視臺做廣告宣傳的時(shí)間，收益一共z元；根據(jù)題意得：

精要點(diǎn)評：（1）要能抓住題設(shè)中的核心條件，找出約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)形結(jié)合的方法求解；（2）能準(zhǔn)確利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義尋找最優(yōu)解，最優(yōu)解通常在可行域的各項(xiàng)頂點(diǎn)處取得，在實(shí)際問題中要注意變量的實(shí)際意義是否為整數(shù)，注意調(diào)優(yōu)方法的運(yùn)用.

總之，利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題一般經(jīng)過：數(shù)學(xué)模型的建立、求解和應(yīng)用；但是有時(shí)候根據(jù)實(shí)際問題的需要，在“模型建立”之前需要作出“模型假設(shè)”，而在“模型求解”之后需要作出“模型分析”和“模型檢驗(yàn)”；解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這就需要我們一線的高中數(shù)學(xué)老師在平時(shí)的課堂教學(xué)中注重將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型方法的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)，本文中兩個(gè)范例的解答和分析過程正體現(xiàn)了讀者在處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)所要注意之處，真正體會如何利用線性規(guī)劃的思想處理實(shí)際問題的精妙之處，從而大大優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).