季節(jié)變動回歸分析模型的構建與應用

李培軍

(東北財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，遼寧 大連 116025)

一、引 言

現(xiàn)代統(tǒng)計理論表明，某一時間序列發(fā)展水平(Y)的變動可分解為4個構成因子的影響，即長期趨勢(T)、季節(jié)變動(S)、循環(huán)波動(C)、不規(guī)則波動(I)。4個構成因子之間的數(shù)量關系可表述為乘法模式Yt= TtStCtIt，或加法模式Yt= Tt+ St+ Ct+ It。時間序列分析的一項重要內容就是將這些因子從序列中分離出來，而后分別進行分析，其中季節(jié)變動是影響序列水平變動的一個非常重要的因子。所謂季節(jié)變動是指在一年時期內某些現(xiàn)象隨著自然界季節(jié)的變換而產(chǎn)生的波動。研究季節(jié)變動對于分析時間序列的發(fā)展變化趨勢，提高管理和決策水平具有重要的現(xiàn)實意義。

多年以來，觀察國內外有關統(tǒng)計學著作或統(tǒng)計學教科書［1，2］可以發(fā)現(xiàn)，目前傳統(tǒng)的測定時間序列季節(jié)變動的方法主要有兩種:一是同期平均法或稱按月平均法;二是趨勢剔除法。兩種方法的區(qū)別在于:前者在不考慮序列長期趨勢的影響下，直接根據(jù)序列數(shù)據(jù)計算反映季節(jié)變動的指標值;而趨勢剔除法則是先將序列中的長期趨勢因子加以剔除，然后再測定反映季節(jié)變動的有關數(shù)值。許多學者認為，無論是同期平均法還是長期趨勢剔除法，在測定時間序列的季節(jié)變動時都存在著明顯的缺陷，這些缺陷主要表現(xiàn)在:

(1)在分離時間序列長期趨勢因子和季節(jié)變動因子過程中，將季節(jié)因子當作時間序列長期趨勢因子變化之后的剩余部分，人為地假設長期趨勢因子變動在前，季節(jié)因子變動在后，這種假設與時間序列的變化規(guī)律不一定完全相吻合。

(2)時間序列長期趨勢因子分離方法不同，導致季節(jié)變動因子指標值的計算結果不同，即存在著將季節(jié)因子包括到趨勢因子中去或將趨勢因子包括到季節(jié)因子中去的風險。

(3)同期平均法與趨勢剔除法具有同樣的缺點和不足，即對取得的測定季節(jié)變動指標值無法進行統(tǒng)計學的有效性檢驗，其可靠性得不到驗證和保證，因而也就不能據(jù)此進行季節(jié)變動預測區(qū)間的推算。

針對上述傳統(tǒng)測定時間序列季節(jié)變動方法的缺陷，本文擬采用虛擬變量回歸分析的原理，將季節(jié)因子作為虛擬變量，構造含有季節(jié)因子變動的回歸分析模型。利用該回歸模型對序列水平進行分析，可以在分解長期趨勢和其他影響因子對季節(jié)變動作用的同時進行有關的統(tǒng)計檢驗，并據(jù)此建立預測置信區(qū)間，對時間序列的未來變化趨勢進行預測，從而改進傳統(tǒng)測定季節(jié)變動方法的不足。

二、季節(jié)變動回歸模型的構造

虛擬變量回歸分析，是在回歸分析中引入回歸模型的屬性變量并加以量化處理的方法和技術［3］。比如人口研究中的性別、民族、籍貫，經(jīng)濟研究中的地區(qū)差異、體制改革、經(jīng)濟政策等。由于虛擬變量取值只有1 和0 兩種表現(xiàn)，所以也被稱作0，1 變量。由此可將季節(jié)變動看成是一種屬性變量，把自然界的春、夏、秋、冬4個季節(jié)變化而對社會現(xiàn)象產(chǎn)生的影響量化，即用虛實變量加以表示。取D 為季節(jié)變動的虛擬變量，并定義:

根據(jù)上述原理，就可以建立含有各種影響因子形式的季節(jié)變動回歸分析模型，并可根據(jù)研究分析的目的選擇使用。為方便起見，以下僅以季度數(shù)據(jù)為例，其余以周、旬、月等為時間單位或時間間隔相等的時間序列季節(jié)變動的回歸分析模型可照此類推設計。

模型1:序列水平趨勢的季節(jié)變動回歸方程

模型2:含有線性趨勢和季節(jié)變動的回歸方程

模型3:因果關系中的季節(jié)變動回歸方程

模型4:因果關系中的線性趨勢和季節(jié)變動混合方程

上述各回歸模型中:Yt為時間序列水平值或稱被解釋變量;t 為時間變量;xi為第i個解釋變量，i =1，2，…，k;Di為季節(jié)變動虛擬變量，i = 1，2，3，4;a1，a2，…，ak和b0，b1，b2，b3，b4為回歸模型待定參數(shù);εt為模型估計值的隨機誤差項。

應用上述各模型分析時間序列季節(jié)變動因子的影響具有以下幾個特點:

(1)各待定參數(shù)的估計計算可借助于統(tǒng)計分析軟件，應用計算機完成，減少計算工作量，使多因子的因素分析成為可能。同時還可以進行統(tǒng)計檢驗，獲得預測值的置信區(qū)間。

(2)季節(jié)變動因子對序列水平Yt的影響作用是通過b1，b2，b3，b4來測度的，這些回歸系數(shù)在模型中與其他參數(shù)同時被估計，不存在趨勢值估計在前、季節(jié)變動值估計在后的問題，有利于估計程序的標準化處理。

(3)回歸分析模型的綜合能力較強，使傳統(tǒng)時間序列分解因子方法的各種缺陷在回歸模型3 和模型4 中得以修復，時間序列分析與因果關系分析的結合將使預測結果更接近于客觀實際。

三、季節(jié)變動回歸模型的案例分析

以下應用一個簡單的案例說明季節(jié)變動回歸模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗過程，并與傳統(tǒng)的季節(jié)變動因子分解方法進行對比。

1.季節(jié)變動因子的回歸模型分析

設某商貿(mào)集團商品銷售額如表1所示。

表1 某商貿(mào)集團2010—2012年商品銷售額 億元

由表1顯示的時間序列變化特征可知，銷售額的變動既包含長期趨勢因子，也明顯包含季節(jié)變動的因子。因此可以選擇回歸模型2。由于表1數(shù)據(jù)是來自該集團商品銷售的樣本數(shù)據(jù)，應由樣本數(shù)據(jù)建立回歸方程，使用的方程式為

將有關數(shù)據(jù)代入線性聯(lián)立方程組(1)～(5)式，求得各待定參數(shù)的樣本估計值:

對回歸模型中的各個參數(shù)進行統(tǒng)計檢驗，給定顯著性水平α = 0.01，回歸方程的估計標準誤差Se= 3.510，判定系數(shù)R2= 0.8832，復相關系數(shù)R =0.9398。

回歸方程中各估計參數(shù)的有效性檢驗t 統(tǒng)計量為(本例為小樣本，應用t 檢驗)

由此建立的含有線性趨勢和季節(jié)變動的回歸方程式為

可以認為，在α = 0.01 的顯著性水平條件下，回歸方程中各待定參數(shù)通過了統(tǒng)計的t 檢驗，也即該回歸方程用于測定趨勢變動因子和季節(jié)變動因子是有效的，符合統(tǒng)計理論和統(tǒng)計方法的要求。

依據(jù)上式計算該商貿(mào)集團2013年各季度商品銷售額的預測值分別是:一季(t = 13)23.623 億元;二季(t = 14)38.623 億元;三季(t = 15)22.290 億元;四季(t = 16)32.956 億元。也可計算在一定顯著性水平下的預測值區(qū)間。比如，2013年第二季度銷售額在0.05 顯著性水平下的預測區(qū)間為38.623 ±2.370 ×3.510，或為(30.3，46.9)。

2.季節(jié)變動因子的傳統(tǒng)方法分析

根據(jù)表1中時間序列水平的變化特征，應用傳統(tǒng)方法對季節(jié)變動因子進行分析。首先建立測定長期趨勢因子的線性趨勢方程，設T 為時間序列的長期趨勢，則線性趨勢方程式為

由趨勢方程可求得各季度銷售額的趨勢值，將其與Yt比較(Yt－T)或(Yt/T)，再按同期平均以消除隨機因素干擾影響，得到季節(jié)比率或季節(jié)變差，如表2所示。

傳統(tǒng)的分析季節(jié)變動因子對序列水平影響的預測是先用趨勢方程求趨勢值，然后用季節(jié)比率或季節(jié)變差調整。季節(jié)比率適用于序列的乘法模式，季節(jié)變差則適用于序列的加法模式。本例用加法模式預測2013年第一季度的銷售額為

類似可計算得到2013年第二、三、四季度銷售額的預測值分別為37.87 億元，21.55 億元，32.21 億元。這個結論雖然接近于回歸模型預測的結果，但卻缺少了有效的統(tǒng)計檢驗和可信度的支持。

綜上可見，應用季節(jié)變動回歸模型對時間序列水平變化各構成因子進行研究分析，不但是有效的，而且也是可行的。當然，任何一種統(tǒng)計理論和分析方法都有它的適用性和局限性，季節(jié)變動回歸模型也不例外。經(jīng)筆者研究認為，它的局限性主要有以下幾個方面:第一，虛擬變量的陷阱問題。當選擇引入的虛擬變量不適合時，將會導致模型設計的不合理，最終將導致無法求得回歸模型的待定參數(shù)。第二，分析影響因素多少的問題。在回歸模型中，由于各因素相互干擾極易產(chǎn)生回歸分析的共線性問題，使得估計的回歸系數(shù)不夠穩(wěn)定，甚至無法通過統(tǒng)計的有效性檢驗。第三，季節(jié)變動回歸模型一般只適用于具有線性趨勢的時間序列水平的因子分解分析，對于非線性變化的時間序列，虛擬變量的引入以及模型待定參數(shù)的估計難度較大。這些局限性還有待于在理論與實踐中加以改進和完善。

［1］徐建邦，李培軍.統(tǒng)計學［M］.大連:東北財經(jīng)大學出版社，2006:305－313.

［2］徐建邦，馮 力.統(tǒng)計學［M］.大連:東北財經(jīng)大學出版社，2011:285－289.

［3］賈俊平，何曉群，金勇進.統(tǒng)計學［M］.北京:中國人民大學出版社，2008:414－423.